苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第10讲 平行四边形（学生版+教师版）

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知识精讲
知识点01 平行四边形的概念与性质
（一）平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条。
（二）平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
【微点拨】
（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
【即学即练1】如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F是直线BD上两点，且BE=DF，连接AF，CE．求证：∠E=∠F．
【答案】证明见解析
【分析】证明△ADF≌△CBE（SAS），由全等三角形的性质即可解决问题．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠DBC．
∵∠ADF+∠ADB=180°，∠CBE+∠DBC=180°
∴∠ADF=∠CBE．
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠E=∠F．
【即学即练2】如图，在中，，，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分．
(1)如图1，若，，求CD的长；
(2)如图2，若G为EF上一点，且，求证：．
【答案】(1)7
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB∥CD，AB=CD，可得∠EBF=∠CFB，再由∵FB平分，可得∠EFB=∠EBF，从而得到BE=EF=5，即可求解；
（2）再CF上截取FN=FG，可得，从而得到∠BGF=∠BNF，再由∠GBF=∠EFD，可得到∠BFD=∠BNC，再根据BC⊥BD，∠BCD=45°，可得BC=BD，从而证得△BDF≌△BCN，进而得到NC=FD，即可求证．
【解析】(1)解：在中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠EBF=∠CFB，
∵FB平分，
∴∠EFB=∠CFB，
∴∠EFB=∠EBF，
∴BE=EF=5，
∵AE=2，
∴CD=AB=AE+BE=7；
(2)证明：如图，再CF上截取FN=FG，
∵，
∴ ，
∴∠BGF=∠BNF，
∵ ，∠BFG+∠BGF+∠GBF=180°，∠GBF=∠EFD，
∴∠BGF=∠BFN，
∴∠BFN=∠BNF，
∴∠BFD=∠BNC，
∵BC⊥BD，
∴∠CBD=90°，
∵∠BCD=45°，
∴∠BDC=∠BCD=45°，
∴BC=BD，
∴△BDF≌△BCN（AAS），
∴NC=FD，
∴CD=DF+FN+CN=2FD+FG，
∵AB=CD，
∴FG+2FD=AB．
知识点02 平行四边形的判定与平行线间的距离
（三）平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【微点拨】
（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
（四）平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
【即学即练3】下面是小东设计的“作平行四边形ABCD，使∠B＝45°，AB＝2cm，BC＝3cm”的作图过程．作法：如图，①画∠B＝45°；②在∠B的两边上分别截取BA＝2cm，BC＝3cm．③以点A为圆心，BC长为半径画弧，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于点D；则四边形ABCD为所求的平行四边形．根据小东设计的作图过程：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵AB＝ ，CB＝ ，
∴四边形ABCD为所求的平行四边形（ ）（填推理的依据）．
【答案】(1)见解析
(2)CD；AD；两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】（1）根据题意补全作图即可；
（2）根据作图方法和平行四边形的判定条件填空即可．
【解析】(1)补全图形如下，
．
(2)∵AB=CD，CB=AD
∴四边形ABCD为所求的平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
故答案为：CD，AD，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【即学即练4】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于О点，于E点，于F．
(1)求证：四边形DEBF为平行四边形；
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)33
【分析】（1）先根据平行线的判定可得，再根据平行四边形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据平行四边形的判定即可得证；
（2）先根据平行四边形的性质可得，再根据勾股定理可得，从而可得，结合可得，然后根据线段的和差、勾股定理可得，最后根据直角三角形的面积公式即可得．
【解析】(1)证明：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
(2)解：四边形是平行四边形，，
，
，
，即，
，即，
①，
又②，
联立①、②得：，
，
则的面积为．
能力拓展
考法01 平行四边形的性质
【典例1】如图，直线与轴、轴分别交于点、，是线段上的一个动点（点与、不重合），过点作轴于点，轴于点，点的坐标为，连接．
（1）求直线所对应的函数关系式；
（2）设动点的横坐标为，的面积为．
①当为何值时，；
②写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
③求使得四边形是平行四边形时的点的坐标．
【答案】（1）；（2）①；②；③
【分析】（1）设直线AB所对应的函数关系式为y=kx+b，把点A、B坐标代入求出k、b即可求解；
（2）①是线段上的一个动点得出点的坐标为，点D的坐标为D(t,0),再结合得出即可得出答案；
②根据三角形的面积公式得出即可写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
③先得出四边形是矩形，再根据要使四边形是平行四边形，必须列出方程，求出t的值即可得出点P的坐标．
【解析】（1）设直线所对应的函数关系式为．
∵直线经过点、，
∴，解得．
∴直线所对应的函数关系式为．
（2）①∵点在直线上，
∴点的坐标为．
∵轴于点，
∴,D(t,0)∵，
∴，
∴．解得．
∴当时，．
②．
即．
③∵，，，
∴四边形是矩形．
∴．
∵轴，
∴轴，
∴要使四边形是平行四边形，必须．
∴，即．
∴，解得．
∴，
∴使得四边形是平行四边形时的点的坐标为．
考法02 平行四边形的判定
【典例2】如图①，点B是∠MAN的边AM上的定点，点是边AN上的动点，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点A的对应点D恰好落在边AN上，连结CE．
（1）若∠A＝50°，求∠BCE的度数；
（2）如图②，当BC＝AC时，
①求证：四边形ABEC是平行四边形；
②若AB＝15，AD＝18，求AC的长．
【答案】（1）50°；（2）①见解析；②
【分析】（1）由△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，知AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE，从而有∠BCE=∠A即可；
（2）①根据（1）问可证出∠ECD=∠A=∠BEC，得到，，即可证明结论；
②过点B作BH⊥AD，先得出AH=9，设AC=BC=x，则CH=x-9，在Rt△HCB中，利用勾股定理列出方程，解方程即可．
【解析】解：（1）∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE，
∴∠BDA=∠A=50°，
∴∠ABD=80°，
∴∠CBE=∠BAD=80°，
∵BC=BE，
∴∠BCE=（180°-∠CBE）÷2=50°；
（2）①∵BC=CA，
∴∠A=∠ABC，
∴∠BCD=∠A+∠ABC=2∠A，
∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠BCE=∠A，
∴∠ECD=∠A=∠BEC，
∴，，
∴四边形ABEC是平行四边形；
②如图，过点B作BH⊥AD，垂足为H，
∵BD=BA，BH⊥AD，
∴AH=AD＝9，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：，
设AC=BC=x，则CH=x-9，
在Rt△HCB中，由勾股定理得：，
解得x=，
∴AC的长为．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可．
【解析】解：A．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项正确，不符合题意；B．根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故选项正确，不符合题意；C．一组对边平行，另一组对边相等不能判断这个四边形是平行四边形，故选项错误，符合题意；D． 如图，
∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项正确，不符合题意；故选：C．
2．在中，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平行四边形的对角相等即可选择正确的选项．
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：B．
3．下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4B．1：4：2：3
C．1：2：2：1D．3：2：3：2
【答案】D
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．
【解析】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选：D．
4．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行B．一组对边平行，另一组对边相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行，一组对角相等
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．
【解析】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故本选项符合题意；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：B．
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AD＝BCB．∠DAB＝∠BCD
C．S△AOB＝S△COBD．AC＝BD
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，AB=CD，∠BAD=∠BCD，AD=BC，AD∥BC，
∴S△AOB=S△COB，
∴不能得到AC=BD，
故选：D．
6．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点在上，，∠D=105º，则∠BAC的度数为（ ）
A．24°B．25°C．26°D．28°
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质可得∠CAD=∠ACB，∠BAD=75°，再根据等腰三角形的性质，可得∠CAD=∠ACB=2∠BAC，从而得到∠CAD+∠BAC=3∠BAC，即可求解．
【解析】解：在平行四边形ABCD中，
AD∥BC，∠D+∠BAD=180°，AD=BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵∠D=105º，
∴∠BAD=75°，
∵，
∴BC=BE，
∴∠BAC=∠ABE，∠BCA=∠BEC，
∴∠BEC=2∠BAC，
∴∠CAD=∠ACB=2∠BAC，
∴∠CAD+∠BAC=2∠BAC+∠BAC=3∠BAC=75°，
∴∠BAC=25°．
故选：B．
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，与AD交于点E，BC＝5，DE＝2，则AB的长为 ___．
【答案】3
【分析】根据平行四边形的性质可得，，结合图形，利用线段间的数量关系可得，由平行线及角平分线可得，，得出，根据等角对等边即可得出结果．
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，BE平分，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：3．
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC+BD=24，△COD的周长为20，则AB的长为_________．
【答案】
【分析】由平行四边形的性质可得AO=CO=AC，BO=DO=BD，由△COD的周长是20，可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=AC，BO=DO=BD，AB=CD，
∵AC+BD=24，
∴AO+BO=12，
∵△COD的周长是20，
∴AO+BO+AB=20，
∴AB=CD=8，
故答案为：8．
9．在平行四边形中，，、的平分线分别交于点、，，则平行四边形的周长为_______．
【答案】32或40
【分析】利用平行四边形的性质结合角平分线的性质得出AM=AB，DC=DN，再分类讨论即可．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠MBC，
∴∠ABM=∠AMB，
∴AB=AM=6，
同理DC=DN=6
当N在M左边时，
AD=AM+DN-MN=10，
此时平行四边形的周长=(6+10)×2=32
当N在M右边时，
AD=AM+DN+MN=14，
此时平行四边形的周长=(6+14)×2=40
故答案为：32或40．
题组B 能力提升练
1．如图，在平行四边形中，平分，交边于，，，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】B
【分析】先由平行四边形的性质得，，再证，即可求解．
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：B．
2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．AO＝COB．AD∥BCC．AD＝BCD．∠DAC＝∠ACD
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质解答．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，故A正确；
∴，故B正确；
∴AD＝BC，故C正确；
故选：D．
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，若，，则的度数为（ ）
A．157°B．147°C．137°D．127°
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质推出AO=AB，求出∠AOB的度数，即可得到的度数．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，
∵，
∴AO=AB，
∵，
∴，
∴=，
故选：C．
4．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（ ）
A．8B．10C．16D．20
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的判定和性质，可得AE=CE，又由CE+DE+CD=8，即AD+CD=8，继而可得ABCD的周长．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥AC，
∴OE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵△CDE的周长为8，
∴CE+DE+CD=8，即AD+CD =8，
∴平行四边形ABCD的周长为2(AD+CD)=16．
故选：C．
5．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=8，BC=12，则EF的长为__________．
【答案】4
【分析】根据平行四边形的性质可得，由角平分线可得，所以，所以，同理可得，则根据即可求解．
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
故答案为：4
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，E为AB中点，若CE=3，则CD=____．
【答案】6
【分析】由AC⊥BC，E为AB中点，若CE=3，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AB的长，然后由平行四边形的性质，求得答案．
【解析】解：∵AC⊥BC，E为AB中点，
∴AB=2CE=2×3=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6．
故答案为：6．
7．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为________．
【答案】2
【分析】先根据题意得到BE为∠ABC的平分线，再根据平行四边形的定义和性质得到AD∥BC，AD=BC=6，进而得到AB=AE=4，即可求出DE=2．
【解析】解：由尺规作图得，BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=4，
∴DE=AD-AE=2．
故答案为：2
8．如图，为的对角线，M、N分别在上，且则_____（填“＜”、“＝”或“＞”）
【答案】＝
【分析】连结，根据平行四边形的性质可得，，由已知条件根据等底同高的三角形面积相等可得，即可得出答案．
【解析】连结，如图
四边形是平行四边形，
，
，,
，
,
，
．
故答案为：=
9．已知如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交CD的延长线于E，交AD于F（不写作法和证明，但要保留作图痕迹）．
（2）请在（1）的情况下，求证：DE＝DF．
【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；
（2）先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，从而可得，最后根据等腰三角形的判定即可得证．
【解析】解：（1）尺规作图如下：
（2）四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
．
10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，．
(1)请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交AC于点M，交CD交于点N；（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接ON，若，，求的周长．
【答案】(1)见解析 (2)10
【分析】（1）如图，以B为圆心、以任意长为半径画弧分别交OB、BC于E、F点，再分别以E、F为圆心，以大于EF为半径画弧，两弧交于点G，然后作射线BG即可；
（2）先根据平行四边形的性质可得OD=OB=BD=4,DC=AD，再结合可得DC=AD=4，进一步可得OB=DC，即△OBC是等腰三角形；又BN 的角平分线可得BN是线段OC的垂直平分线，则CN=ON；最后运用三角形周长公式解答即可．
【解析】(1)解：如图即为所求．
(2)解：∵平行四边形ABCD
∴OD=OB=BD=4,DC=AD
∵
∴DC=AD=4
∴OB=DC=4
∵BN是的角平分线
∴BN是线段OC的垂直平分线
∴ON=CN
∴的周长=OD+ON+DN=OD+NC+DN=OD+CD=4+6=10．
11．已知：▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，M是AO的中点，N是CO的中点，求证：BM∥DN，BM=DN．
【答案】见解析
【分析】连接，根据平行四边形的性质可得AO=OC，DO=OB，由M是AO的中点，N是CO的中点，进而可得MO=ON,进而即可证明四边形是平行四边形，即可得证．
【解析】如图，连接，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=OC，DO=OB．
∵M为AO的中点，N为CO的中点，
即
∴MO=ON．
四边形是平行四边形，
∴BM∥DN，BM=DN．
12．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，点F在线段BD上，且DE＝BF．求证：AE∥CF．
【答案】见解析
【分析】首先根据平行四边形的性质推出AD＝CB，AD∥BC，得到∠ADE＝∠CBF，从而证明△ADE≌△CBF，得到∠AED＝∠CFB，即可证明结论．
【解析】证：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
题组C 培优拔尖练
1．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】利用勾股定理逆定理证得△ABC是直角三角形，由此判断①；证明△ABC≌△DBF得到DF＝AE，同理可证：△ABC≌△EFC，得到EF＝AD，由此判断②；由②可判断③；过A作AG⊥DF于G，求出AG即可求出 S▱AEFD，判断④．
【解析】解：∵AB＝3，AC＝4，32+42＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AG＝AD＝，
∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×＝6；故④错误；
∴错误的个数是1个，
故选：A．
．
2．如图，四边形中，，对角线，相交于点，于点，于点，连接，，若，则下列结论：
①；
②；
③四边形是平行四边形；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】由DE=BF以及DF=BE，可证明Rt△DCF≌Rt△BAE，由FC=EA，以及双垂直可证，四边形CFAE是平行四边形由此可证明②③正确．
【解析】解：，
，
在和中，
，
，
，（故①正确）；
于点，于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，（故②正确）；
，
，
，
，
四边形是平行四边形，（故③正确）；
由以上可得出：，，，
，，，等．（故④错误），
故正确的有3个，
故选：．
3．如图，在平行四边形中，于点，把以点为中心顺时针旋转一定角度后，得到，已知点在上，连接．若，，则的大小为（ ）
A．140°B．155°C．145°D．135°
【答案】C
【分析】根据题意求出∠ADF，根据平行四边形的性质求出∠ABC、∠BAE，根据旋转变换的性质、结合图形计算即可．
【解析】解：∵∠ADC=70°，∠CDF=15°，
∴∠ADF=55°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=70°，AD∥BC，
∴∠BFD=125°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=20°，
由旋转变换的性质可知，∠BFG=∠BAE=20°，
∴∠DFG=∠DFB+∠BFG=145°，
故选：C．
4．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ）
A．40°B．36°C．50°D．45°
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得，，由三角形的外角性质求出，由三角形内角和定理求出，即可得出的大小．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
．
故选：B．
5．某街区街道如图所示，其中垂直平分．从B站到E站有两条公交线路；线路1是，线路2是，则两条线路的长度关系为（ ）
A．路线1较短B．路线2较短
C．两条路线长度相等D．两条线路长度不确定
【答案】C
【分析】由于路线1的路程为BD＋DA＋AE，路线2的路程为BC＋CF＋FE，将问题变为比较它们的大小这一数学问题．
【解析】解：这两条路线路程的长度一样．理由如下：
延长FD交AB于点G．
∵BC∥DF，AB∥DC，
∴四边形BCDG是平行四边形，
∴DG＝CB．
∵CE垂直平分AF，
∴FE＝AE，DE∥AG，
∴FD＝DG，
∴CB＝FD．
又∵BC∥DF，
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴CF＝BD． ①
∵CE垂直平分AF，
∴AE＝FE，FD＝DA． ②
∴BC＝DA． ③
路线1的长度为：BD＋DA＋AE，路线2的长度为：BC＋CF＋FE，
综合①②③，可知路线1路程长度与路线2路程长度相等．
故选C．
6．如图所示，已知△ABC是等边三角形，点是边上一个动点(点不与重合)，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，过点作的平行线交于点，连接，下列四个结论中：①旋转角为；为等边三角形；③四边形为平行四边形；．其中正确的结论有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由旋转的性质可知，AD=AF，∠FAB=∠DAC，∠C=∠ABF，再根据等边三角形的性质可得∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°，即可判断①②；然后证明∠FBC+∠C=180°，得到FB∥CE，即可判断③；根据平行四边形的性质得到BF=CE，由E不一定是AC的中点得到AE不一定等于EC即可判断④．
【解析】解：由旋转的性质可知，AD=AF，∠FAB=∠DAC，∠C=∠ABF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°，
∴△AFD是等边三角形，旋转的角度为60°，故①和②正确；
∵∠ABF=∠C=60°，∠ABC=60°，
∴∠FBC=120°，
∴∠FBC+∠C=180°，
∴FB∥CE，
又∵EF//BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，故③正确；
∴BF=CE，
∵E不一定是AC的中点，
∴AE不一定等于EC，即AE不一定等于BF，故④错误；
故选C．
7．如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，，BE平分交DC于点E，连接AE，若，则为______度．
【答案】22
【分析】先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的判定证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，最后根据全等三角形的性质即可得．
【解析】解：平行四边形中，，
，
，
，
平分，
，
是等边三角形，
，
，
在和中，，
，
，
故答案为：22．
8．如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，，，，则的面积为______．
【答案】27
【分析】由平行四边形的性质得到BC=，OA=，勾股定理求出AB，利用面积公式计算即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=，OA=，
在△ABC中，，AC=OA+OC=12，
∴，
∴的面积=，
故答案为：27．
9．如图，在平行四边形ABCD中，，E为BC上一点，连接AE，将沿AE翻折得到，交AC于点G，若，，则AG的长度为______．
【答案】
【分析】过点F作交于点H，由平行四边形ABCD得，由，可设，故，由求出，由折叠的性质可得，，进而求出，得出是等腰直角三角形，由勾股定理求出，故，在中，根据勾股定理求出EF，由等面积法即可得出AG的长．
【解析】
如图，过点F作交于点H，
∵平行四边形ABCD，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵沿AE翻折得到，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
在中，，
∴，即．
故答案为：．
10．如图，平行四边形ABCD，AD＝5，AB＝8，点A的坐标为（－3，0）点C的坐标为______．
【答案】（8，4）
【分析】先根据勾股定理得到OD的长，即可得到点D的坐标，再根据平行四边形的性质和平行x轴两点坐标特征即可得到点C的坐标．
【解析】解：∵点A的坐标为（－3，0），
在Rt△ADO中，AD＝5， AO=3，，
∴OD==，
∴D(0，4)，
∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD=8，AB∥CD，
∵AB在x轴上，
∴CD∥x轴，
∴C、D两点的纵坐标相同，
∴C(8，4) ．
故答案为（8，4）．
11．已知如图，在▱ABCD中，点F是▱ABCD内一点，AB⊥BF，AB＝BF，过点F作FE⊥AD，垂足为点E．
(1)如图1，若BF＝3EF＝6，求四边形ABFE的面积；
(2)如图2，连接BE、CE，若BE＝CE，求证：AE+EF＝BC．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据勾股定理求出AF、AE的长度，再根据四边形ABFE的面积=计算即可；
（2）延长EF交BC于G，过B作BH⊥AD于H，先证明BE平分，再证全等，可得到EF=ED，即可证明.
【解析】(1)∵BF＝3EF＝6
∴AB＝BF=6，EF=2
∵AB⊥BF
∴
∵FE⊥AD
∴
四边形ABFE的面积=
=
=
=
(2)延长EF交BC于G，过B作BH⊥AD于H
∵▱ABCD
∴BC=AD，AB=CD=BF，BC∥AD，
∵BC∥AD，FE⊥AD
∴FE⊥BC
∵FE⊥AD，AB⊥BF
∴
∴,
在△ABH和△BFG中
∴
∴
∴BE平分
∴
∵BE＝CE
∴
∴
在△BEF和△CED中
∴
∴EF=ED
∵BC=AD=AE+ED
∴AE+EF＝BC
12．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BFAE，∠BEA＝60°，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB=CD，AD∥BE，再证∠BAE=∠E得到AB=BE，即可得出BE=CD；
（2）先证△ABE为等边三角形得到AE=2，且AF=EF=1，则根据勾股定理得BF=，易证△ADF≌△ECF，得出平行四边形ABCD的面积等于△ABE的面积．
【解析】（1）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD；
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=2，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=1，
∴BF=，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF==．
13．已知：在中，，，的面积为9．点为边上动点，过点作，交的延长线于点．的平分线交于点．
(1)如图1，当时，求的长；
(2)如图2，当点为的中点时，请猜想并证明：线段、、的数量关系．
【答案】(1)的长为4
(2)AC=CD+DB；证明见解析
【分析】（1）根据三角形的面积公式得出CP，进而利用勾股定理得出PA即可；
（2）延长BD，过A作AO∥BC，利用平行四边形的性质解答即可．
【解析】(1)，的面积为9，，
，
，
由勾股定理得：；
(2)过作交BD的延长线于点O，
，，
四边形是平行四边形，
∴AC=BO，
是的中点，
延长肯定可以过点点，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
，
，
，
．
14．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F，作EG∥AB交CB于点G．
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）求证：CF＝BG；
（3）若F是CG的中点，EF＝1，求AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由余角的性质可得∠3=∠7=∠4，可得CE=CF，可得△CEF为等腰三角形；
（2）过E作EM∥BC交AB于M，得出平行四边形EMBG，推出BG=EM，由“AAS”可证△CAE≌△MAE，推出CE=EM，由三角形的面积关系可求GB的长；
（3）证明△CEF是等边三角形，求出BC，可得结论．
【解析】（1）证明：过E作EM∥BC交AB于M，
∵EG∥AB，
∴四边形EMBG是平行四边形，
∴BG＝EM，∠B＝∠EMD，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠1+∠7＝90°，∠2+∠3＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠7，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形；
（2）证明：
过E作EM∥BC交AB于M，则四边形EMBG是平行四边形，
∴BG=EM，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠B＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝∠EMD，
∵在△CAE和△MAE中
，
∴△CAE≌△MAE（AAS），
∴CE＝EM，
∵CE＝CF，EM＝BG，
∴CF＝BG．
（3）∵CD⊥AB，EG∥AB，
∴EG⊥CD，
∴∠CEG＝90°，
∵CF＝FG，
∴EF＝CF＝FG，
∵CE＝CF，
∴CE＝CF＝EF＝1，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠ECF＝60°，
∴BC＝3，∠B＝30°，
∴
∴Rt△ABC中
∴
解得．
课程标准
课标解读
1.探究并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；
2.探究并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题；
3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算。