浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题4.1 因式分解【九大题型】（学生版+教师版）

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\l "_Tc31800" 【题型1 因式分解的意义】 PAGEREF _Tc31800 \h 1
\l "_Tc2059" 【题型2 利用因式分解求系数的值】 PAGEREF _Tc2059 \h 3
\l "_Tc16636" 【题型3 利用公式法进行因式分解求代数式的值】 PAGEREF _Tc16636 \h 4
\l "_Tc27223" 【题型4 利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】 PAGEREF _Tc27223 \h 6
\l "_Tc30064" 【题型5 因式分解】 PAGEREF _Tc30064 \h 7
\l "_Tc29594" 【题型6 利用添项进行因式分解】 PAGEREF _Tc29594 \h 9
\l "_Tc15336" 【题型7 利用拆项进行因式分解】 PAGEREF _Tc15336 \h 10
\l "_Tc30474" 【题型8 利用因式分解确定三角形的形状】 PAGEREF _Tc30474 \h 12
\l "_Tc13364" 【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】 PAGEREF _Tc13364 \h 13
【知识点1 因式分解】
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【题型1 因式分解的意义】
【例1】（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；
D选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（2022秋•儋州校级期末）下列各式不能因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2B．a2﹣2a+1C．ab﹣aD．a2+b2
【分析】利用平方差公式，完全平方公式，以及提取公因式方法判断即可．
【解答】解：A、原式＝（a+b）（a﹣b），不符合题意；
B、原式＝（a﹣1）2，不符合题意；
C、原式＝a（b﹣1），不符合题意；
D、原式不能分解，符合题意，
故选：D．
【变式1-2】（2022春•青川县期末）下列各式因式分解正确的是（ ）
A．a2+aa2+2a+1＝（a+1）2
B．a2+ab﹣6b2＝a（a+b）﹣6b2
C．a2﹣b2﹣a﹣b＝（a+b）（a﹣b）﹣a﹣b
D．a﹣2a2+a3＝a（1﹣2a+a2）＝a（1﹣a）2
【分析】直接利用因式分解定理判断即可．
【解答】解：A选项的系数不正确；
B、C选项不是因式乘积形式，不正确；
D，a﹣2a2+a3＝a（1﹣2a+a2）＝a（1﹣a）2是正确的．
故选：D．
【变式1-3】（2022秋•德惠市期末）给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mnn2．其中，能够分解因式的是 ②③④⑤⑥ （填上序号）．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：①x2+y2不能因式分解，故①错误；
②﹣x2+y2利用平方差公式，故②正确；
③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确；
④x4﹣1平方差公式，故④正确；
⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正确；
⑥m2﹣mnn2完全平方公式，故⑥正确；
故答案为：②③④⑤⑥．
【题型2 利用因式分解求系数的值】
【例2】（2022•攀枝花模拟）若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（ ）
A．﹣5B．5C．﹣1D．1
【分析】设x2﹣px﹣6＝（x﹣2）（x﹣a），右边利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值．
【解答】解：根据题意设x2﹣px﹣6＝（x﹣2）（x﹣a）＝x2﹣（a+2）x+2a，
∴﹣p＝﹣a﹣2，2a＝﹣6，
解得：a＝﹣3，p＝﹣1．
故选：C．
【变式2-1】（2022春•聊城期末）如果100x2+kxy+49y2能分解为（10x﹣7y）2，那么k＝ ﹣140 ．
【分析】根据完全平方公式展开，再根据对应项系数相等即可求解．
【解答】解：∵（10x﹣7y）2，
＝100x2﹣140xy+49y2，
＝100x2+kxy+49y2，
∴k＝﹣140．
故应填﹣140．
【变式2-2】（2022春•南山区校级期中如果x3+ax2+bx+4有两个因式（x+1）和（x+2），则a+b的值为 13 ．
【分析】根据题意，可得x3+ax2+bx+4＝（x+1）（x+2）（x+k）（k为任意实数），再根据多项式乘多项式的乘法法则，求出a与b，进一步求得a+b．
【解答】解：由题意知：x3+ax2+bx+4＝（x+1）（x+2）（x+k）（k为任意实数）．
∴x3+ax2+bx+4＝（x2+3x+2）（x+k）．
∴x3+ax2+bx+4＝x3+（3+k）x2+（3k+2）x+2k．
∴3+k＝a，3k+2＝b，2k＝4．
∴k＝2．
∴a＝5，b＝8．
∴a+b＝5+8＝13．
故答案为：13．
【变式2-3】（2022秋•青羊区校级期中）已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式，则a＝ 16 ；b＝ 3 ．
【分析】设另一个因式是：2x2+mx+n，计算（x2+x﹣6）（2x2+mx+n），展开以后与多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1对应项的系数相同，即可列方程组求a、b的值．
【解答】解：设另一个因式是：2x2+mx+n，则（x2+x﹣6）（2x2+mx+n）
＝2x4+（m+2）x3+（m+n﹣12）x2+（n﹣6m）x﹣6n
则：
解得：
故答案是：16，3．
【题型3 利用公式法进行因式分解求代数式的值】
【例3】（2022春•渠县校级期中）若a＝1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】将多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca转化为几个完全平方式的和，再将a＝1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002分别代入求值．
【解答】解：∵2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）
＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca
＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（1999x+2000﹣1999x﹣2001）2+（1999x+2000﹣1999x﹣2002）2+（1999x+2001﹣1999x﹣2002）2
＝1+4+1
＝6．
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝63．
故选：D．
【变式3-1】（2022春•新吴区校级期中）（1）已知x+y＝4，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值；
（2）已知x，化简并计算：（1﹣2x）2（2x+1）2﹣（3+2x）2（3﹣2x）2．
【分析】（1）原式提取公因式后，利用完全平方公式分解，将x+y与xy的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用积的乘方变形，利用平方差公式分解得到结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵x+y＝4，xy＝2，
∴原式＝2xy（x+y）2＝64；
（2）原式＝（1﹣4x2）2﹣（9﹣4x2）2
＝﹣8（10﹣8x2）
＝﹣80+64x2，
当x＝1时，原式＝﹣80+144＝64．
【变式3-2】（2022春•洪泽区期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则m2n+mn2的值为 48 ．
【分析】根据长方形周长与面积公式求出mn与m+n的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值．
【解答】解：∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，
∴2（m+n）＝16，mn＝6，
即m+n＝8，mn＝6，
则原式＝mn（m+n）＝48，
故答案为：48
【变式3-3】（2022•安顺模拟）已知m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（ ）
A．16B．12C．10D．无法确定
【分析】将m2＝4n+a与n2＝4m+a相减可得（m﹣n）（m+n+4）＝0，根据m≠n，可得m+n+4＝0，即m+n＝﹣4，再将m2+2mn+n2变形为（m+n）2，整体代入即可求解．
【解答】解：将m2＝4n+a与n2＝4m+a相减得m2﹣n2＝4n﹣4m，
（m+n）（m﹣n）＝﹣4（m﹣n），
（m﹣n）（m+n+4）＝0，
∵m≠n，
∴m+n+4＝0，即m+n＝﹣4，
∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣4）2＝16．
故选：A．
【题型4 利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】
【例4】（2022秋•新泰市月考）两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（ ）
A．6B．8C．6的倍数D．8的倍数
【分析】首先设两个奇数分别是2n﹣1和2n+1，把两个数的平方差进行分解因式，即可求得．
【解答】解：设两个奇数分别是2n﹣1和2n+1．
则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝4n×2＝8n
则两个连续的奇数的平方差总可以被8整除．
故选：B．
【变式4-1】（2022秋•河北区期末）对于任意整数n，多项式（n+7）2﹣n2都能被（ ）
A．2整除B．n整除C．7整除D．n+7整除
【分析】逆用平方差公式进行运算后即可判断．
【解答】解：（n+7）2﹣n2，
＝（n+7+n）（n+7﹣n），
＝7（2n+7）．
∵n为整数，
∴7（2n+7）是7的倍数，能被7整除．
故选：C．
【变式4-2】（2022秋•荔城区校级期中）对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣n）（3+n）的整数是（ ）
A．3B．6C．10D．9
【分析】根据平方差公式，可化简整式，根据提取公因式，可得因数．
【解答】解：（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣n）（3+n）＝9n2﹣1﹣（9﹣n2）
＝10n2﹣10
＝10（n2﹣1），
10能整除（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣n）（3+n），
故选：C．
【变式4-3】（2022春•招远市期末）已知424﹣1可以被60﹣70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61，63B．63，65C．65，67D．63，64
【分析】先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．
【解答】解：424﹣1＝248﹣1＝（224+1）（224﹣1），
＝（224+1）（212+1）（212﹣1），
＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）；
∵26＝64，
∴26﹣1＝63，26+1＝65，
∴这两个数是65、63．
故选：B．
【题型5 因式分解】
【例5】（2022秋•梅里斯区期末）因式分解
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式；
（2）先利用相反数把（b﹣a）转化为（a﹣b），再提取公因式．
【解答】解：（1）原式＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3xy2（x﹣y）2；
（2）原式＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）
＝3（a﹣b）（x+2y）．
【变式5-1】（2022春•聊城期末）把下列各式分解因式：
（1）9xy2﹣15x3y；
（2）﹣9x2y+3xy2﹣6xyz；
（3）3m2n﹣6mn+3m；
（4）﹣24a2b﹣8ab2+28ab3．
【分析】（1）提取公因式3xy进行因式分解．
（2）提取公因式﹣3xy进行因式分解．
（3）提取公因式3m进行因式分解．
（4）提取公因式﹣4ab进行因式分解．
【解答】解：（1）9xy2﹣15x3y＝3xy（3y﹣5x2）．
（2）﹣9x2y+3xy2﹣6xyz＝﹣3xy（3x﹣y+2z）．
（3）3m2n﹣6mn+3m＝3m（mn﹣2n+1）．
（4）﹣24a2b﹣8ab2+28ab3＝﹣4ab（6a+2b﹣7b2）．
【变式5-2】（2022•碑林区校级开学）把下列各式分解因式：
（1）4xyz﹣4x2yx﹣12xy2z；
（2）20am+1b2m+4﹣12a2m+1bm+2；
（3）﹣20c（a﹣b）2﹣25（b﹣a）3；
（4）x（x﹣2）﹣x+2．
【分析】（1）利用提公因式分解即可解答；
（2）利用提公因式分解即可解答；
（3）利用提公因式分解即可解答；
（4）利用提公因式分解即可解答．
【解答】解：（1）4xyz﹣4x2yx﹣12xy2z＝4xyz（1﹣x﹣3y）；
（2）20am+1b2m+4﹣12a2m+1bm+2＝4am+1bm+2（5bm+2﹣3am）；
（3）﹣20c（a﹣b）2﹣25（b﹣a）3
＝﹣20c（b﹣a）2﹣25（b﹣a）3
＝﹣5（b﹣a）2[4c+5（b﹣a）]
＝﹣5（b﹣a）2（4c+5b﹣5a）；
（4）x（x﹣2）﹣x+2
＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）
＝（x﹣2）（x﹣1）．
【变式5-3】（2022•寻乌县模拟）把下列各式分解因式：
（1）6（a﹣b）2+3（a﹣b）；
（2）x（x﹣1）﹣3x+4；
（3）x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）；
（4）．
【分析】（1）利用提公因式法分解；
（2）先利用乘法法则化简整式，再利用完全平方公式因式分解；
（3）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解；
（4）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解．
【解答】解：（1）6（a﹣b）2+3（a﹣b）
＝3（a﹣b）[2（a﹣b）+1]
＝3（a﹣b）（2a﹣2b+1）；
（2）x（x﹣1）﹣3x+4
＝x2﹣x﹣3x+4
＝x2﹣4x+4
＝（x﹣2）2；
（3）x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）
＝（y2﹣1）（x2+2x+1）
＝（y+1）（y﹣1）（x+1）2；
（4）．
＝a（a4a2b2b4）
＝a（a2b2）2
＝a（ab）2（ab）2．
【题型6 利用添项进行因式分解】
【例6】（2022春•市中区期末）因式分解：x4+4y4
【分析】运用添项法因式分解．
【解答】解：x4+4y4＝x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，
＝（x2+2y2）2﹣4x2y2，
＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）
【变式6-1】（2022秋•鱼台县期末）因式分解：x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
【分析】运用添项法因式分解．
【解答】解：x2﹣2ax﹣b2﹣2ab，
＝x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，
＝（x﹣a）2﹣（a+b）2，
＝（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），
＝（x+b）（x﹣2a﹣b）．
【变式6-2】（2022春•永定区期中）把多项式x4+324因式分解．
【分析】原式变形后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x4+324＝x4+36x2+324﹣36x2
＝（x2+18）2﹣36x2
＝（x2+18）2﹣（6x）2
＝（x2+18+6x）（x2+18﹣6x）．
【变式6-3】（2022•柳南区二模）分解多项式a5﹣1的结果是 ．
【分析】补上比第一项的指数小1的项逐次分解因式即可．
【解答】解：原式＝a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a+a﹣1
＝a4（a﹣1）+a3（a﹣1）+a2（a﹣1）+a（a﹣1）+（a﹣1）
＝（a﹣1）（a4+a3+a2+a+1）．
故答案为：（a﹣1）（a4+a3+a2+a+1）．
【题型7 利用拆项进行因式分解】
【例7】（2022秋•江油市期末）分解因式：m2+6m+8．
【分析】把8变为9﹣1，利用拆项法分解．
【解答】解：m2+6m+8
＝m2+6m+9﹣1
＝（m+3）2﹣1
＝（m+3+1）（m+3﹣1）
＝（m+4）（m+2）
【变式7-1】（2022春•市中区期末）分解因式：a2﹣6a+8．
【分析】加1再减1，可以组成完全平方式；
【解答】解：a2﹣6a+8，
＝a2﹣6a+9﹣1，
＝（a﹣3）2﹣1，
＝（a﹣3﹣1）（a﹣3+1），
＝（a﹣2）（a﹣4）
【变式7-2】（2022•寻乌县模拟）把x2﹣4x+3因式分解．
【分析】常数项先加上1再减1，前三项构成完全平方式，再利用平方差公式因式分解，亦可把﹣4x写出﹣3x﹣x的形式，分组后提取公因式．
【解答】解：法一、x2﹣4x+3+1﹣1
＝x2﹣4x+4﹣1
＝（x﹣2）2﹣1
＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）
＝（x﹣1）（x﹣3）．
法二、x2﹣4x+3
＝x2﹣x﹣3x+3
＝x（x﹣1）﹣3（x﹣1）
＝（x﹣1）（x﹣3）．
【变式7-3】（2022秋•微山县月考）分解因式：a4+10a2b2+9b4．
【分析】把9b4变为25b4﹣16b4，利用拆项法分解．
【解答】解：a4+10a2b2+9b4
＝a4+10a2b2+25b4﹣16b4
＝（a2+5b2）2﹣（4b2）2
＝（a2+5b2+4b2）（a2+5b2﹣4b2）
＝（a2+9b2）（a2+b2）．
【题型8 利用因式分解确定三角形的形状】
【例8】（2022秋•鱼台县期末）已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
【分析】先根据完全平方公式进行变形，求出a＝b＝c，即可得出答案．
【解答】△ABC是等边三角形．
证明如下：
∵2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
∴a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝0，
∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（a﹣c）2＝0，（b﹣c）2＝0，得a＝b且a＝c且b＝c，
即a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．
【变式8-1】（2022秋•鱼台县期末）△ABC三边a，b，c满足2a2+b2+c2＝2a（b+c），判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】通过分组分解法把2a2+b2+c2＝2a（b+c）化为（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0，然后利用平方的非负性，得出a＝b＝c，判断出△ABC是等边三角形．
【解答】解：△ABC是等边三角形．理由如下：
∵2a2+b2+c2＝2a（b+c），
∴a2+a2+b2+c2＝2ab+2ac，
a2+a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac＝0，
（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，
（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，
∴（a﹣b）2＝0，且（a﹣c）2＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
【变式8-2】（2022春•乐平市期末）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【分析】先把a2﹣ab﹣ac+bc＝0因式分解，得出（a﹣b）（a﹣c）＝0，由此得出a＝b，或a＝c，或a＝b＝c，从而判断出△ABC是等腰三角形或等边三角形．
【解答】解：∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，
∴（a2﹣ab）+（﹣ac+bc）＝0，
a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，a＝b且a＝c，
即a＝b，或a＝c，或a＝b＝c，
∴△ABC是等腰三角形或等边三角形．
【变式8-3】（2022秋•临沂期末）已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab＝c2+2ac，试判断△ABC的形状并说明理由．
【分析】把b2+2ab＝c2+2ac进行整理可得：（2a+b+c）（b﹣c）＝0，而2a+b+c≠0，只能是b﹣c＝0，则有b＝c，即可判断△ABC是等腰三角形．
【解答】解：△ABC是等腰三角形，
理由：∵b2+2ab＝c2+2ac，
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac＝0，
（b﹣c）（b+c）+2a（b﹣c）＝0，
（2a+b+c）（b﹣c）＝0，
∵2a+b+c≠0，
∴b﹣c＝0，即b＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】
【例9】（2022春•市中区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 提公因式法 ，共用了 2 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是 （1+x）2022 ．
（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；
（2）仿照已知的计算过程，即可解答；
（3）仿照已知的计算过程，即可解答．
【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，
则需要用上述方法2021次，结果是（1+x）2022，
故答案为：（1+x）2022；
（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）
＝（1+x）[1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣1]
＝（1+x）2[（1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣2]
..．
＝（1+x）n+1．
【变式9-1】（2022秋•徐闻县期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【分析】（1）利用十字相乘法变形即可得；
（2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；
②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【变式9-2】（2022春•盱眙县期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算（a+b+c）2”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路；
①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：[（a+b）+c]2或[a+（b+c）]2，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；
②可以用“数形结合”的方法，画出表示（a+b+c）2的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面方框中画出图形，并作适当标注．
（2）利用（1）的结论分解因式：x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y＝ （x﹣y﹣2）2 ；
（3）小明根据“任意一个数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下：
请你参考小明的方法，求当x，y取何值时代数式2x2+y2﹣2xy﹣2x+20有最小值，并确定它的最小值．
【分析】（1）①将前两项看作一个整体后用完全平方公式求解．
②利用面积关系画图．
（2）分组后用完全平方公式分解．
（3）配方后求最值．
【解答】解：（1）①（a+b+c）2＝[（a+b）+c]2
＝（a+b）2+2（a+b）×c+c2
＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
②如图：
（2）x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y＝x2﹣2xy+y2+4（x﹣4）+4
＝（x﹣y）2﹣4（x﹣y）+4
＝（x﹣y﹣2）2．
故答案为：（x﹣y﹣2）2．
（3）2x2+y2﹣2xy﹣2x+20＝x2﹣2xy+y2+x2﹣2x+1+19
＝（x﹣y）2+（x﹣1）2+19，
∵（x﹣y）2≥0，（x﹣1）2≥0，
∴当x﹣y＝0，x﹣1＝0，
即当x＝y＝1时，原式有最小值＝0+0+19＝19．
【变式9-3】（2022秋•丰台区校级期中）阅读下列材料
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2+4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2+4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 C ．
A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： （x+2）4 ．
（3）请你用换元法对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解
（4）当x＝ 1 时，多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）﹣1存在最 小 值（填“大”或“小”）．请你求出这个最值
【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式；
（4）先配方，再根据非负数的性质即可求解．
【解答】解：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法；
（2）（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9，
设x2+4x＝y，
原式＝（y+1）（y+7）+9
＝y2+8y+16
＝（y+4）2
＝（x2+4x+4）2
＝（x+2）4；
（3）设x2﹣2x＝y，
原式＝y（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2﹣2x+1）2
＝（x﹣1）4；
（4）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）﹣1
＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）﹣1
＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1﹣2
＝（x2﹣2x+1）2﹣2
＝（x﹣1）4﹣2，
故当x＝1时，多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）﹣1存在最小值，最小值为﹣2．
故答案为：C；（x+2）4；1，小．①x2﹣6x+7
＝x2﹣6x+9﹣2
＝（x﹣3）2﹣2
∵（x﹣3）2≥0
∴（x﹣3）2﹣2≥﹣2．
故当x＝3时代数式x2﹣6x+7的最小值为﹣2
②﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x+1）+4
＝﹣（x+1）2+4
∵﹣（x+1）2≤0
∴﹣（x+1）2+4≤4
故当x＝﹣1时代数式﹣x2﹣2x+3的最大值为4