浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题4.5 因式分解全章五类必考压轴题（学生版+教师版）

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必考点1
利用因式分解的结果求参数
1．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）在中，若有一个因式为，则k的值为（ ）
A．2B．C．6D．
2．（2022秋·四川南充·九年级四川省南充高级中学校考期末）若能分解成两个一次因式的积，则整数k=_________.
3．（2022春·浙江·七年级期末）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____．
4．（2022秋·四川宜宾·八年级校考期末）若是的一个因式，求的值．
5．（2022秋·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考期末）已知是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解．
6．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：．
解：观察可知，当时，原式．
∴原式可分解为与另一个整式的积．
设另一个整式为．则，
∵，
∴
∵等式两边同次幂的系数相等，
则有：，解得．
∴．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知，当______时，原式，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为．则______，______．
(2)已知多项式（为常数）有一个因式是，求另一个因式以及的值．
下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程．
解：设另一个因式为，则．
……
(3)已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为______，的值为______．
7．（2022秋·全国·八年级期末）方法探究：
已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
(1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立；
(2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值；
(3)对于多项式，用“试根法”分解因式．
必考点2
利用因式分解进行有理数的简算
1．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）计算的值为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2017秋·山东日照·八年级校联考期末）如果能被n整除，则n的值可能是
A．20B．30C．35D．40
3．（2022春·浙江杭州·七年级期末）能被（ ）整除
A．76B．78C．79D．82
4．（2022春·江苏无锡·七年级统考期末）计算：__．
5．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级校联考期末）计算：__________．
6．（2022秋·江西南昌·八年级期末）计算的结果是______．
必考点3
利用因式分解探究三角形形状
1．（2022秋·四川内江·八年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）若a、b、c是的三边，且满足，，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
2．（2018秋·江西·八年级校考阶段练习）先阅读下面的材料，再解决问题：
要把多项式因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出；把它的后两项分成一组，并提出，从而得到.这时，由于，又有因式，于是可提公因式，从而得到.因此有 .这种因式分解的方法叫做分组分解法.
在三角形中，若任意两条边的差均为0，则这个三角形是等边三角形；若只有两条边的差为0，则这个三角形是等腰三角形；若有两条边的平方和与第三边的平方的差为0，则这个三角形是直角三角形。
请用上面材料中提供的方法解决问题：
（1）将多项式分解因式；
（2）若的三边、、满足条件：，试判断的形状.
3．（2022秋·八年级课时练习）（1）若、、是三角形的三条边，求证：．
（2）在中，三边分别为、、，且满足，，试探究的形状．
（3）在中，三边分别为、、，且满足，试探究的形状．
4．（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）求解下列问题：
(1)若，求的值；
(2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，请问是什么形状的三角形？请说明理由．
5．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）若的三边长分别为，，，且满足等式，试确定该三角形的形状.
6．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组法．请回答下列问题：
(1)尝试填空：______；
(2)解决问题：因式分解；
(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
7．（2022春·山东青岛·八年级校考期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．
8．（2020秋·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）阅读材料：若，求m、n的值．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知一个不等边三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b、c都是正整数，并满足求c的值．
（2）已知a、b、c是的三边长，且满足，试判断的形状．
（3）试探究关于x、y的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
9．（2021春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系，点A（a，0），点B（0，b），已知a，b满足a2+b2+8a+8b+32=0．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE，且AF=AE，连接BF交x轴于点D，若点F的坐标为（-2，c），求c的值及OE的长；
（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EG⊥AB于点G，过点B作BC//x轴交EG的延长线于点C，连接OC、AC，试判断△AOC的形状，并说明理由．
必考点4
利用拆项或添项进行因式分解
1．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：___________；
(2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值；
(3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
2．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
3．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为与
例如：
分析：
解：原式
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）
②（拆项法）
③________．
已知：、、为的三条边，，求的周长．
4．阅读下列分解因式的过程：
x2+2ax-3a2
=x2+2ax+a2-a2-3a2
=(x+a)2-4a2
=(x+a+2a)(x+a-2a)
(x+3a)(x-a)．
像上面这样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法，请你用配方法将下面的多项式因式分解：
（1）m2-4mn+3n2；
（2）x2-4x-12．
5．阅读以下文字并解决问题：
对于形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了。此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变。即： ，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法.
（1）利用“配方法”因式分解：.
（2）若，，求：①，②的值.
（3）如果，求的值.
6．阅读理解：
添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：
例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
解：原式＝(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
……
＝
例2：因式分解：x4+x2+1
解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2
＝(x2+1)2﹣x2
＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)
根据材料解决下列问题：
(1)计算：；
(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：
①分解因式：x4+4；
②计算：.
7．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：．
②拆项法：
例如：．
仿照以上方法分解因式：
(1)；
．
8．阅读下面的材料：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键是“拆两头，凑中间”，例如，分解因式，方法如下：拆两头，拆为拆为，然后排列如下：交叉相乘积相加得，凑得中间项，所以．利用材料解决问题的策略解答下列问题：
(1)解方程：
(2)已知，求的值．
必考点5
因式分解的应用
1．王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，a，分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学B．爱河南C．河南数学D．我爱河南
2．已知、、是一个三角形的三边，则的值是（ ）
A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负
3．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数．例如，，11是一个“可拆分”整数．下列说法：
①最小的“可拆分”整数是5；
②一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种；
③最大的“不可拆分”的两位整数是96．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（ ）
A．16B．22C．34D．36
5．若一个正整数是两个连续奇数或连续偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“半平分数”，为的“半平分点”．例如，，则35是“半平分数”，5为35的半平分点．
(1)是80的“半平分点”，则______；的“半平分数”“半平分点”为1，则______；当为正整数时，整数______．
(2)把“半平分数”与“半平分数”的差记为，其中，，例如，，，则．若“半平分数”的“半平分数”为，“半平分数”的“半平分点”为，当时，求的值．
6．阅读理解应用:要想比较和的大小关系，可以进行作差法，结果如下:若，则;若，则;若，则.
(1)比较与的大小，并说明理由.
(2)比较与的大小，并说明理由.
(3)直接利用(2)的结论解决:求的最小值.
(4)已知如图，直线于，在上各有两点和, ，且，求四边形面积的最小值.