浙教版八年级下册6.1 反比例函数综合训练题

这是一份浙教版八年级下册6.1 反比例函数综合训练题，文件包含浙教版八年级下册数学举一反三系列专题65反比例函数全章七类必考压轴题教师版docx、浙教版八年级下册数学举一反三系列专题65反比例函数全章七类必考压轴题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共141页， 欢迎下载使用。

必考点1
反比例函数k的几何意义
1．（2022秋·山东济宁·九年级统考期中）函数 和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论：
①与的面积相等；
②与始终相等；
③四边形的面积大小不会发生变化；
④．
其中所有正确结论有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由于是反比函数上的点，可得出故①正确；当P的横纵坐标相等时，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形的面积为定值，故③正确；连接，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
【详解】解：∵是反比函数上的点，
，故①正确；
∵由图的直观性可知，P点至上而下运动时，在逐渐增大，而在逐渐减小，只有当P的横纵坐标相等时，故②错误；
∵P是的图像上一动点，
∴矩形的面积为4，
∴，故③正确；
连接，

∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
2．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B在第一象限，点C在x轴上，点A在y轴上，D，E分别是中点．过点D的双曲线与交于点G．连接，F在上，且，连接．若的面积为4，则k的值为（ ）
A．8B．16C．24D．32
【答案】A
【分析】设矩形中，然后表示出点D、E的坐标，过点F作于点P，证明四边形是矩形，证明，根据相似三角形的性质，得出，根据的面积为4，列出关于a、b的方程，求出，即可得出答案．
【详解】解：设矩形中，
∵D、E分别是中点，
∴点，
过点F作于点P，延长交于点Q，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
可得：，
则，，
∵的面积为4，
∴，
即，
可得，
则，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义及相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的面积、坐标与图形，利用相似三角形的判定与性质表示是解题的关键．
3．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）如图，点在x轴上，且，分别过点作y轴的平行线与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点，分别过点作x轴的平行线，分别于y轴交于点，连接，那么图中从左到右第2022个阴影部分的面积为 _____．
【答案】
【分析】根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的，则有，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积，找出规律即可得出结论．
【详解】解：根据题意可知，
∵轴，
设图中阴影部分的面积从左向右依次为
则，
∵，
∴，，
∴•••，
∴第n的阴影部分的面积是：，
∴图中从左到右第2022个阴影部分的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，综合性比较强，解题的关键要熟练掌握反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的．
4．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点在第二象限，以为边在的左侧作菱形，满足轴，过点作交于点，，反比例函数的图象经过点，与边交于点，分别连接，，．若，则的值为__________．
【答案】
【分析】延长交轴于点，先证明，由，及四边形是菱形，；在直角三角形中，，得出
，；再根据的图象经过点和，得，设，有，得，即可求解．
【详解】解：延长交轴于点，
在中，
，
根据，
，
，
；
由，
，
又四边形是菱形，
；
在直角三角形中，
，
，；
又反比例函数的图象经过点和，
，
设，
，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数，三角形全等的判定及性质、菱形，解题的关键是掌握反比例函数的几何意义．
5．（2022秋·山东滨州·九年级滨州市滨城区第三中学校考期末）如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是_________．
【答案】11
【分析】过点作于点，过点作轴于点，因为四边形是平行四边形，可证得，，即，，再根据反比例函数的的几何意义即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
同理可得：，，
点在反比例函数上，
，
点在反比例函数上，
，
平行四边形的面积为：，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
6．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，点M在函数（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数（x＞0）的图像于点B、C，连接OB、OC，则△OBC的面积为_________．
【答案】2.1
【分析】延长MB、MC，分别交y轴、x轴于点E、D，根据MB∥x轴，MC∥y轴，得到MB⊥y轴，MC⊥x轴，得到∠MEO=∠MDO=90°，根据∠EOD=90°，推出四边形EODM是矩形，设，推出，，得到 =2.1．
【详解】延长MB、MC，分别交y轴、x轴于点E、D，
∵MB∥x轴，MC∥y轴，
∴MB⊥y轴，MC⊥x轴，
∴∠MEO=∠MDO=90°，
∵∠EOD=90°，
∴四边形EODM是矩形，
设，
则，，
∴
=2.1．
故答案为：2.1．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质，k的几何意义．
7．（2022春·四川乐山·八年级统考期末）如图，点、分别在反比例函数和的图象上，线段与轴相交于点．
(1)如图①，若轴，且，．求、的值；
(2)如图②，若点是线段的中点，且的面积为2．求的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）连接、，根据反比例函数系数的几何意义以及得到，即①，由②．①②得，，进而求得；
（2）作轴于，轴于，则，，根据题意得到，，即可得到，整理得．
【详解】（1）解：如图①，连接、，
轴，
，，
，
，即，
①，
②．
①②得，，
；
（2）如图②，作轴于，轴于，则，，
点是线段的中点，且的面积为2，
，
在和中，
，
，
，
，
整理得．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
必考点2
反比例函数与x=a或y=a
1．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，边平行于y轴，函数的图象经过点B，交边于点C，且，连结．若的面积为5，则k的值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】D
【分析】连接，过C作，交x轴于E，延长与x轴交于点D，得到，根据的中点C，利用得到面积比为，代入可得结论．
【详解】解：连接，过C作，交x轴于E，延长与x轴交于点D，
∵轴，
∴，反比例函数的图象经过于点C，且，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，对角线平行于轴，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，菱形的面积为6，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】过点H作HM⊥BD,HN⊥AC，垂足为M、N，可设D（a,b），先通过菱形的面积和，设出点D，点H的坐标，代入反比例函数，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点H作HM⊥BD,HN⊥AC，垂足为M、N，可设D（a,b）．
∵菱形的面积为6，BD=b．
∴S菱形ABCD= =6,则AC=，．
∴PC=．
∵对角线平行于轴，HM⊥BD，HN⊥AC
∴
∵
∴PN=PC=，DM=DP=
又∵D（a,b）
∴H（）即H（）
将D（a,b），H（）代入得
解得k=8
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象点的特点，菱形的性质和面积．通过菱形面积确定点的坐标是解题的关键．
3．（2022秋·湖南株洲·九年级校考期末）如图，直线与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线交反比例函数的图像于点M，交AB于点N，连接BM．
(1)求m的值和反比例函数的表达式；
(2)当n为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）将点代入直线即可求得m，代入反比例函数解析式接可求出；
（2）由求得M、N的坐标，进而求得面积的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∵反比例函数经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：由题意可知，
函数中，当时，
函数中，当时，
∴点M，N的坐标为，，
∵，即直线在点A下方，
∴，
∴时，的面积最大，最大值为．
【点睛】题考查了一次函数与反比例函数的综合，二次函数的最值；掌握数形结合的思维是解题关键．
4．（2022秋·河北唐山·九年级校考期末）如图直线与交于A，B两点，且点A的坐标为．
(1)求此直线和双曲线的表达式；
(2)求点B的坐标；
(3)过x轴正半轴上一点M作平行于y轴的直线l，分别与直线和双曲线交于点P，Q，如果，求点M的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)
(3)或
【分析】（1）将点A的坐标为代入与得出m和n的值即可求出答案；
（2）将两个解析式组成方程组，解之即可；
（3）设，根据题意得出，，再根据得出方程，解之得出a的值即可得出M点的坐标．
【详解】（1）解：∵直线与交于A，B两点，且点A的坐标为
∴；
∴
∴直线的解析式为，反比例函数的解析式为
（2）解得：或
∴点B的坐标
（3）设，
∵轴，∴，，
∵
∴，
∴或
∴M或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．用待定系数法求函数解析式是解题关键．
5．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数的图像交于点A（a，4－a）点B（b，4－b），其中，与坐标轴的交点分别是C、D．
(1)求的值；
(2)求直线l的函数表达式
(3)若，过点作平行于x轴的直线与直线AB和反比例函数的图象分别交于点E、F．
①当时，求t的取值范围．
②若线段EF上横坐标为整数的点只有1个（不包括端点），直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②或
【分析】（1）把、点坐标代入反比例函数解析式，得、的关系，再通过因式分解，解方程可得的值；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）①当时，可得反比例函数的解析式为：，；根据题意可知，，，，再根据题意，对进行讨论即可；②根据题意，作直线，，，，分别与反比例函数交于点，，，，结合图形可直接得出结论．
（1）
解：直线与反比例函数的图象交于点，点，
，
，
，
，
，
；
（2）
设直线的解析式为，把，点代入得，
，
解得，，
直线的解析式为；
（3）
①当时，，
，
反比例函数的解析式为：，
令，解得或，
．
过点，作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点、，
，，，
当时，点在点的左侧，
，整理得，方程恒成立；
当或时，，重合，则；
当或时，，
整理得，，解得，
或，
综上，当时，的取值范围为：．
②如图，作直线，，，，分别与反比例函数交于点，，，，
，，，．
由图可知，若线段上横坐标为整数的点只有1个（不包括端点），则的取值范围为：或．
【点睛】本题主要考查反比例函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数上的点的特征，数形结合思想，方程思想等相关内容，利用数形结合思想，画出给出图象是解题关键．
6．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，一次函数()的图像与轴交于点，与反比例函数()的图像交于点．
（1） ； ；
（2）点是线段上一点(不与重合)，过点且平行于轴的直线交该反比例函数的图像于点，连接，若四边形的面积，求点的坐标；
（3）将第（2）小题中的沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点 的对应点恰好落在该反比例函数图像上(如图)，求此时点的对应点的坐标．
【答案】（1）2，-1；（2）；（3）
【分析】（1）先把B点坐标代入反比例函数求出b的值，得到完整的B点坐标，再代入一次函数求出k的值；
（2）设C点坐标为，再用m表示D点坐标，再表示出CD长，根据四边形OCBD的面积等于CD长乘以B、O两点之间的水平距离再除以2，列式求出m的值，得C点坐标；
（3）根据平移的性质得到直线的解析式，求出它与反比例函数图象的交点，即点坐标，就知道图象是怎么平移的了，然后根据点坐标的平移求出点．
【详解】（1）将坐标代入反比例函数，得，解得，
则B点坐标为，再代入一次函数，得，解得，
故答案是：；；
（2）设（），则，
∴，
∵，四边形OCBD的面积可以用CD长乘以B、O两点之间的水平距离再除以2得到，
∴，
∴，
∴，，
经检验：，是原方程的解，
∵，∴，∴；
（3）由平移可知：，
∴直线的解析式为，
由，解得或（舍去），
∴，
∴O到是向左平移个单位，向上平移个单位，D到也是一样，
∵，∴，
答：点D的对应点的坐标．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及函数解析式系数的求解，四边形面积的求解，函数图象的平移，解题的关键是掌握这些题型的解题技巧，并熟练掌握函数题的一些基本运算方法．
7．（2022·北京·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xy中，函数（x＜0）的图象与直线y=x+2交于点A（－3，m）．
（1）求k，m的值；
（2）已知点P（a，b）是直线y=x上，位于第三象限的点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x+2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数（x＜0）的图象于点N．
①当a=－1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM结合函数的图象，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）k=3，m=－1；（2）①PM=PN；②-1≤b﹤0或b≤-3．
【详解】试题分析：（1）将A点代入y=x+2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．
（2）①当a=-1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；
②由题意可知：P的坐标为（b，b）(b<0)，由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出b的范围．
解：（1）∵函数的图象与直线交于点A（-3，m），
∴m=-3+2=-1，
∴A（-3，-1）． k=-1×（-3）=3
即k的值是3，m的值是-1
（2）①当a =-1时，又点P（a，b）是直线y=x-2上，
∴P（-1，-1）
令y=-1，代入,得：x=-3，
∴M（-3，-1），
PM=2
令x=-1，代入，得y=-3，
∴N（-1，-3），
∴PN=2
∴PM=PN
②P（b，b），b<0
点P在直线y=x上，
过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x+2于点M，
M（b+2，b），
∴PM=2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∵PN=||,
∴||≥2
∴-1≤b﹤0或b≤-3
必考点3
反比例函数与全等
1.（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标中，平行四边形顶点A的坐标为，点D在反比例函数的图像上，点B，C在反比例函数的图像上，与y轴交于点E，若，，则k的值为______．
【答案】
【分析】过D作于F，过C作于M，过B作于G，过D作于M,交于E，设D的横坐标为，结合已知通过求出，由，依次求出K、C的坐标即可，结合是平行四边形证依次求出B、G的坐标，即可求解．
【详解】如图：
过D作于F，过C作于M，过B作于G，过D作于M,交于E，
设D的横坐标为，
点D在反比例函数的图像上，
，点A的坐标为，
，，
，
，
即：，
解得，（舍去），
，
，
，
由题意可知，，
，
，
C在反比例函数的图像上,
，
是平行四边形，
，，
在与中，
，
，，
所以B的横坐标为5，
B在反比例函数的图像上,
，则，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质、菱形的性质、平行线分线段成比例以及全等三角形的判定和性质；巧设未知数，建立方程求相关点的坐标是解题的关键．
2.（2022秋·湖南益阳·九年级校联考期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到对应线段，反比例函数的图像恰好经过，两点，连接，．
(1) ， ；
(2)求反比例函数的表达式；
(3)点在轴正半轴上，点是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标 ．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）利用坐标轴上的点的特点即可得出结论；
（2）先表示出点 ， 坐标，进而代入反比例函数解析式中求解得出 ，再判断出 ，最后用对角线积的一半即可求出四边形的面积；
（3）分两种情况，构造全等的直角三角形即可得出结论．
【详解】（1）将点 代入 ，得， ，
直线的解析式为 ，
将 代入，得 ，
（2）由（）知，，
，
由平移可得：设点，．
将点， 分别代入 ，得

反比例函数的解析式为
（3）①当 、 时，如图2，过点 作直线 轴，交 轴于点 ．过点 作于点 ，交 轴于点 ．过点 作于点
设点 （其中 ），则 ， ．
，
．
于点E，
，
．
， ，
，
， ，
，
．
将 代入 ，得 ，
点 ；
②当 、 时，如图3，过点 作直线 轴与点 ，则
．过点 作 轴于点 ， 交直线 与点E，则于点 ， ．
，
．
于点 ，
，
．
又 ， ， ， ， ．
设 ，则 ， ， 点 ．
将点 代入 ，得 ．解得，，
，
点
综合①②可知：点M的坐标为 或．
【点睛】本题是综合考查反比例函数待定系数法，全等三角形的判定和性质，四边形的面积的计算方法，构造出全等三角形是解本题的关键．
3.（2022春·吉林长春·八年级统考期末）如图，点是函数图像上的任意一点，过点作ABx轴，交另一个函数的图像于点．
(1)若，则________．
(2)当时，若点的横坐标是1，则线段________．
(3)若无论点在何处，函数图像上总存在一点，使得四边形为平行四边形，求的值．
【答案】(1)－6
(2)
(3)存在，
【分析】（1）如图：AB交y轴于M，根据反比例函数的比例系数的几何意义得，，由于，则，即可得出k的值；
（2）由可得出，再由可得出，即可得出的长度；
（3）如图，作轴于点，于点，证，得出D点的坐标即可得出的值．
【详解】（1）解：如图：AB交y轴于M，
∵点是函数，点是函数，
∴由反比例函数的比例系数的几何意义得：，,
∵,
∴,
∴；
故答案为：；
（2）由题意得：
当时，，
∴，
当时，，
当时，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）存在，点在点上方，
如图，作轴于点，于点，
设，则，则，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义和平行四边形的性质是解题的关键．
4.（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，正方形的边长为6，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，M是边上的一点，且．反比例函数的图象经过点M，并与边相交于点N．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)求证：垂直平分线段．
【答案】(1)
(2)16
(3)见解析
【分析】（1）根据正方形的性质及条件确定点M坐标，利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）令，在上，则，解得，得到，则点，，利用即可求解；
（3）根据点N在反比例函数图象上求点N坐标，通过全等证得，进而证明，即可证得垂直平分线段.
【详解】（1）设反比例函数的解析式为：，
正方形边长为6，，
，，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上
，
解得：，
反比例函数的解析式为：；
（2）令，在上，则，解得，
所以，
∴点，，则
；
即的面积为16；
（3）在和中，
，
，
，
在的中垂线上，
，
，
，
在的中垂线上
垂直平分线段
【点睛】本题主要考查了反比函数和正方形的性质以及垂直平分线的判定，点坐标和线段长度的相互转换，即数形结合是解答此题的关键.
5.（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，函数的图象过点和两点．
(1)求n和k的值；
(2)将直线沿x轴向左移动得直线，交x 轴于点D，交y 轴于点E，交于点C，若，求直线解析式；
(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得n、k的值；
（2）设点，过点C做轴于点G，交于点H，以为底，由的面积解出点C坐标，进而求出直线的解析式；
（3）分两种情况进行讨论：①以为直角边，D为直角顶点；②以为直角边，E为直角顶点．再观察图形并利用点的移动特点写出答案．
【详解】（1）解：函数的图像过点和两点，
，
解得，
故n和k的值分别为4，8；
（2）解：，
，直线OA的解析式为：，
过点C作轴于点G，交直线于点H，
设，
，
，
，
或（不符合题意舍去）
，
，
设直线的解析式为：，
点C在直线上，
，即，
直线的解析式为：；
（3），
解：∵直线的解析式为：，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
根据题意，分两种情况进行讨论：
①以为直角边，D为直角顶点；
如图，过做轴于点K，可知：，
，
，
又，
，又，
，
，
故点D到点的平移规律是：D向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标，
，且F在第二象限，
即；
②以为直角边，E为直角顶点；同①理，将E点向左移3个单位，向上移6个单位得点F坐标，得．
综上所述：点或
【点睛】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键．
必考点4
反比例函数与勾股定理
1．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A．36B．25C．16D．9
【答案】A
【分析】过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图，利用勾股定理计算出，根据角平分线的性质得，设，利用面积的和差求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入中求出k的值．
【详解】解：过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴，
∴，
设，则PC＝t，
∵，
∴，
解得，
∴，
把代入得．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．
2．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，点为坐标原点，菱形的边在轴的正半轴上，对角线、交于点，反比例函数的图象经过点和点，若菱形的面积为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，n），根据题意将点D的坐标表示出来，即可求出AD所在直线的函数表达式，再求出点C的坐标；根据菱形的性质可得AO=CO，结合勾股定理即可表示出AE，最后根据菱形的面积求出m即可．
【详解】
过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，
设点A（m，n），
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴，
∵四边形OABC为菱形，则点D为AC中点，
∴DF=，即点D的纵坐标为，
∵反比例函数的图象经过点和点，
∴D（2m，），
设AD所在的直线函数表达式为：y=kx+b，
将A（m，n），D（2m，）代入得：，
解得：，
∴AD所在的直线函数表达式为：，
当y=0时，解得x=3m，
∴C（3m，0），
∴OA=OC=3m，
在Rt△OAE中，AE=，
∵菱形的面积为，
∴OC×AE=，解得：m=，
∴AE=，
∴A（，2），
故选：A
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及反比例函数的图象和性质，熟练地掌握相关性质内容，结合图形表示出点C的坐标是解题的关键．
3．（2022秋·山东威海·九年级统考期中）如图，在直角坐标系中，以坐标原点为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数的图象上，则P点的横坐标为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】如图，过点分别作：，利用角平分线的性质，可得：，进而得到四边形为正方形，通过全等，得到，设，列方程求出的值，进而确定点的横坐标．
【详解】解：如图，过点分别作：，
∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴，
∴四边形为正方形，
∵，
∴（），
∴，
同法可得：，
设，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴；
∴点的横坐标为：．
故选B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
4.（2022秋·山东烟台·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在反比例函数的图像上，点C的坐标为，则k的值为______．
【答案】32
【分析】根据点C的坐标为，得到，根据菱形，将点C向上平移5个单位长度，得到点，根据题意计算即可．
【详解】解：因为点C的坐标为，
所以，
因为菱形，
所以将点C向上平移5个单位长度，得到点，
所以．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了原点的距离，菱形的性质，平移的性质，反比例函数的解析式，熟练掌握菱形的性质，平移的规律和反比例函数的性质是解题的关键．
5．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点B的坐标为，点A在y轴正半轴上，将沿y轴向下平移得到，点B的对应点E恰好在反比例函数的图象上．
(1)求m的值；
(2)求平移的距离；
(3)点P是x轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标及的周长．
【答案】(1)；
(2)5个单位长度；
(3)，
【分析】（1）过点作轴，易得为等腰直角三角形，即可得解；
（2）根据平移规则，点横坐标为，设，根据点E在反比例函数的图象上，求出的值，即可得解；
（3）的周长，为定长，则当的值最小时，的周长最小，作点关于轴的对称点，，当且仅当三点共线时，的值最小，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点坐标，即可得解．
【详解】（1）解：过点作轴于点，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，即：；
（2）解：将沿y轴向下平移得到，点B的对应点为E，
∴点横坐标为，设，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴；
∴平移的距离为：；
（3）解：∵的周长，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
作点关于轴的对称点，，当且仅当三点共线时，的值最小，连接，与轴的交点即为点，如图，
则：，根据平移规则，可得：，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵，，，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查坐标与图形，以及坐标系下的平移，轴对称，同时考查了反比例函数图象上的点的特征，以及一次函数与坐标轴的交点．本题的综合性较强，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
6．（2022秋·辽宁朝阳·九年级统考期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，点．
(1)求m和k的值；
(2)x轴上是否存在一点D，使为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，或或或
【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式中求出m的值即可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（2）先由对称性求出点B的坐标，设点D的坐标为，利用勾股定理求出，；再分当时，当时，当时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把将代入中得：，
∴，
将代入中得：，
∴，；
（2）解：∵直线和交于点A、B，
∴A和B关于原点成中心对称，
∴，
设点D的坐标为，
∴，；
当时，则，
∴，
解得，
∴点D的坐标为；
当时，则，
∴，
∴，
解得，
∴点D的坐标为或，
当时，则，
∴，
解得，
∴点D的坐标为；
综上所述，x轴上是否存在一点D或或或使得为直角三角形．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
7．（2022春·黑龙江大庆·八年级大庆市第六十九中学校考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为
(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)观察图象直接写出时x的取值范围是 ；
(4)直接写出：P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时点P的坐标 ．
【答案】(1)，；
(2)
(3)或
(4)或，或或
【分析】（1）利用待定系数法求两函数的解析式；
（2）根据两三角形面积和可得结论；
（3）直接由图象一次函数在反比例函数上边时对应的取值；
（4）存在三种情况：，，，根据点的坐标综合图形可得点的坐标．
【详解】（1）解：点坐标为
把点的坐标代入中得：
反比例函数的解析式是：
把点的坐标为代入中，得：，
把、两点的坐标代入中得：，解得：
一次函数的解析式为：；
（2）解：如图1，当时，，，
，
；
（3）解：由图象得：时的取值范围是：或；
（4）解：当是等腰三角形时，存在以下三种情况：
①当时，如图2，
，
，
，或，；
②当时，如图3，
；
③当时，如图4，过作轴于，
设，则，，
，
，
，
，；
综上，的坐标为或，或或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形面积公式，本题难度适中，并运用了分类讨论的思想解决问题．
必考点5
反比例函数与图形变换
1．（2022秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为x轴上的一点，将绕点O按顺时针旋转60°至，反比例函数的图象经过点B，过A作交反比例函数图象于点C，若的面积为，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过B点作于E点，根据旋转的性质可得：，，即有是等边三角形，则有，，根据，可得，即可得，解方程可得（负值舍去），则有，问题随之得解．
【详解】解：过B点作于E点，如图，
根据旋转的性质可得：，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，根据，得到，是解答本题的关键．
2．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A．1+B．4+C．4D．-1+
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反比例函数解析式为y=-，且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B的坐标可表示为（-，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-|=，然后解方程可得到满足条件的t的值．
【详解】如图，
∵点A坐标为（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∴反比例函数解析式为y=-，
∵OB=AB=2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（- ，t），
∵PB=PB′，
∴t-2=|-|=，
整理得t2-2t-4=0，解得t1= ，t2=1- （不符合题意，舍去），
∴t的值为．
故选A．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质及会用求根公式法解一元二次方程．
3．（2022春·江苏南京·八年级期末）“卓越数学兴趣小组”准备对函数图像和性质进行探究，他们制定了以下探究步骤：
(1)该小组认为此函数与反比例函数有关，于是他们首先画出了反比例函数y＝的图像（如图1），然后画出了的图像，请在图1中画出此图像（草图）．
(2)他们发现函数图像可以由y＝的图像平移得到，请写出平移过程．
(3)他们发现可以根据函数图像画出函数的图像，请在图2中画出此图像（草图），并写出其中的两条函数性质．
(4)他们研究后发现，方程中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化，请结合图像，就a的取值范围讨论方程解的情况．
【答案】(1)见解析
(2)向左平移1个单位，再向下平移3个单位
(3)见解析
(4)当a＜0时，方程无解；当a＞3或0＜a＜3时，方程有两个解；当a＝0或a＝3时，方程有一个解
【分析】（1）画出函数的图像即可；
（2）观察图像即可得到结论；
（3）作出函数值小于零的部分图像关于x轴的轴对称图形得到函数图像，然后根据图像写出两条性质即可；
（4）分a＜0，a=0或a=3，0＜a＜3或a＞3三种情况，分别根据函数图像求解即可．
【详解】（1）解：如图①所示即为所求．
（2）解：将y＝的图像向左平移1个单位，再向下平移3个单位可得y＝－3的图像．
（3）解：函数图像如图②，性质如下（不唯一）：
①函数有最小值，最小值为0，
②当x＞1时，y随着x的增大而增大，x＜－1时，y随着x的增大而增大．
（4）解：方程中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化
当a＜0时，方程无解；
当a＞3或0＜a＜3时，方程有两个解；
当a＝0或a＝3时，方程有一个解．
【点睛】本题主要考查了函数图像的平移、反比例函数图像和性质、函数与方程的关系等知识点，正确画出函数图像是解答本题的关键．
4．（2022春·江苏南京·八年级校联考期末）我们研究反比例函数图像平移后的性质．初步探究
(1)将反比例函数的图像向左平移一个单位，可以得到函数的图像（如图① ），观察图像，判断以下结论是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）：
①该函数图像与y轴的交点坐标是（0，4）；（ ）
②该函数图像是中心对称图形，对称中心是（－1，0）；（ ）
③当x<0时，y随x的增大而减小．（ ）
(2)在图② 中画出函数的图像，根据图像写出其两条不同类型的性质；
(3)问题解决：若函数的图像可以由函数的图像通过平移得到，求m的值；
(4)深入思考：当a>0时，对于任意正数k，方程均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系．
【答案】(1)①对；②对；③错
(2)图见解析，性质见解析
(3)m＝6
(4)a－b＋k＝0
【分析】（1）通过观察图象，分析图象性质即可判断是否正确；
（2）利用5点作图法在坐标轴上描点即可作图；
（3）通过化简运算，结合题意，即可求m的值；
（3）由反比例函数无解时的性质，即可写出a，b，k满足的数量关系．
【详解】（1）观察图可得，该函数图象与y轴的交点坐标是（0，4），故①√；
该函数是反比例函数，是中心对称图形，对称中心易知是（-1，0），故②√；
当-1＜x＜0时，y随x的增大而减小，当x＜-1，y随x的增大而减小，但并不连续区间，故不为单调递减，③错误；
故答案为：①√；②√；③×；
（2）函数图像如图所示．
两条不同类型的性质是：
例如：
① 当x<－1时，y随x的四大而被小，当x>－1时，y随x的增大而减小；
② 无论x取何值，图数值不等于－1；
③ 该图数图像与y轴的交点坐标是（0，3）；
④该图数图像与x轴的交点坐标是（3，0）；
⑤该函数图像是中心对称图形，对称中心是（－1，－1）；
⑥ 该函数图像是轴对称图形，对称轴是直线y＝x和y＝－x－2．
（3）；
根据题意，得m－2＝4，
解得m＝6．
（4），
，
，
∵对于任意k，方程均无解，当x=-1时分式无意义，
∴a+k-b=0
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质；正确作图、理解题意、综合分析是本题解题的关键．
5．（2022秋·山西朔州·九年级统考期末）如图，所在直线的解析式为，反比例函数的图象过点A，现将射线绕点O顺时针旋转与反比例函数的图象交于点B，若，求k的值．
【答案】8
【分析】设，分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，证明，得到，代入得到，根据，利用勾股定理求出，从而得到点B坐标，即可求出k值．
【详解】解：∵点A在上，
∴设，
分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，
由旋转可知：，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点B坐标为，
∴k的值为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是构造相似三角形，找到边与边之间的关系．
6．（2022秋·山东济南·九年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴和轴正半轴上，连接．将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为点，点的对应点为点，且点在轴正半轴上，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点，点的坐标是．
(1)如图1，k＝______，点E的坐标为______；
(2)若P为第三象限反比例函数图象上一点，连接，当线段被y轴分成长度比为的两部分时，求点P的横坐标；
(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”（如图2）．设M是第三象限内的反比例函数图象上一点，N是平面内一点，连接，当四边形是“完美筝形”时，直接写出M，N两点的坐标．
【答案】(1)8；
(2)或
(3)，
【分析】（1）在中，，在中，，解得：，即可求解；
（2）当线段被轴分成长度比为的两部分时，则或2，即或2，即可求解；
（3）证明，则，求出的坐标为，进而求解．
【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得：，
则反比例函数表达式为：，
由图形的旋转知：，，
在中，，
在中，，解得：，
当时，，故点的坐标为，
故答案为：8，；
（2）设交轴于点，
当线段被轴分成长度比为的两部分时，则或2，
过点作轴于点，
，
或2，
，
解得或1，
即点的横坐标为或；
（3）过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，
由（1）知，点、、，设点，
，，
，
①，
②，
联立上述①②并解得，
即点的坐标为，
由点、的坐标得，直线得表达式为③，
根据筝形的定义，设交于点，则是的中点，
则设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式得：，解得，
故直线得表达式为④，
联立③④并解得，
即点的坐标为，，
是的中点，
由中点坐标公式得，点的坐标为，，
即点、的坐标分别为、，．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、解直角三角形和待定系数法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
7．（2022秋·甘肃白银·九年级校联考期末）如图1，的边在y轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过的B．
(1)求点B的坐标和反比例函数的关系式；
(2)如图2，直线分别与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点，若点O和点B关于直线成轴对称，求线段的长；
(3)如图3，将线段延长交的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，请探究线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为；
(2)；
(3)结论：理由见解析.
【分析】（1）利用平行四边形的性质求出点的坐标即可解决问题；
（2）根据两直线垂直的条件，求出直线的解析式即可解决问题；
（3）结论：．如图3中，延长交轴于，作轴于，作交轴于．设，，．则，．由，推出，即，可得，由，推出，再证明四边形是平行四边形，即可解决问题；
【详解】（1）如图1中，
四边形是平行四边形，
，
，
，
把代入中，得到，
反比例函数的解析式为．
（2）如图2中，设是的中点，则．
直线的解析式为，
直线的解析式为，
，
．
（3）结论：．理由如下：
如图3中，延长交轴于，作轴于，作交轴于．设，，．则，．
，
，
，可得，
，
，
∵，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
．
【点睛】本题考查一次函数，反比例函数、平行四边形，全等三角形，相似三角形等几何知识结合在一起，综合性比较强，要求学生有较强的分析问题好解决问题的能力．
8．（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学统考一模）若将函数的图象沿直线l对折，与函数的图象重合，则称函数与互为“轴对称函数”，直线l叫作函数与函数的“轴直线”．如函数关于直线y轴的轴对称函数是．
(1)若轴直线为x轴，求函数的关于x轴的轴对称函数的解析式；
(2)若函数F：，轴直线为y轴，此时的轴对称函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，求b的值；
(3)若函数F：，轴直线为，函数的轴对称函数是，当时，的图象恒在的图象的下方，求k的取值范围．
【答案】(1)（1）
(2)（2）
(3)（3）
【分析】（1）在函数y=x+1轴对称函数上任意一点（x，y）则该点关于x轴的对称点（x，-y），代入函数解析式y=x+1即可求解；
（2）由（1）先求出C2的解析式为y=-2x+b，再联立-2x+b=，根据题意Δ=0即可；
（3）设函数C2上任意一点（x，y），则该点关于x=1的对称点为（2-x，y），将点（2-x，y）代入y=-x2+9即可求出C2的解析式为y=-（2-x）2+9，联立kx+3k=-（2-x）2+9，求出Δ=0时k的值，再由题意可得k的取值范围．
（1）
设函数y=x+1的轴对称函数上任意一点（x，y），则该点关于x轴的对称点为（x，-y），
∴点（x，-y）在y=x+1的上，
∴C2的解析式为y=-x-1；
（2）
设函数y=2x+b上任意一点（x，y），则该点关于y轴的对称点为（-x，y），
∴点（-x，y）在y=2x+b的轴对称函数上，
∴C2的解析式为y=-2x+b，
联立-2x+b=，
得2x2-bx+2=0，
∵函数C2的图象与函数y＝的图象有且只有一个交点，
∴Δ=b2-16=0，
∴b=±4；
（3）
设函数C2上任意一点（x，y），则该点关于x=1的对称点为（2-x，y），
∵点（2-x，y）在y=-x2+9的轴对称函数上，
∴C2的解析式为y=-（2-x）2+9，
∵y=kx+3k=k（x+3），
∴直线y=kx+3k恒过定点（-3，0），
联立kx+3k=-（2-x）2+9，
得x2+（k-4）x+3k-5=0，
∴Δ=（k-4）2-4（3k-5）=0，
∴k=2或k=18（舍），
∴k＞2时，C2的图象恒在y=kx+3k的图象的下方．
【点睛】本题考查函数的综合应用，理解轴对称函数的概念，利用点的对称关系求函数解析式是解题的关键．
必考点6
反比例函数与定值、最值
1．（2022春·江苏苏州·八年级统考期中）如图，点，都在双曲线()上，分别是轴，轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的表达式为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出A、B的坐标，如下图，分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点C、D，连接CD与x轴、y轴的交点即为点P、Q，从而求出PQ所在直线解析式．
【详解】∵点，都在双曲线上
∴A(-3，1)，B(-1，3)
如下图，分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点C、D，连接CD与x轴、y轴交于点M、N
则点C(-3，-1)，D(1，3)
∵四边形ABQP的周长=AB+BQ+PQ+PA
其中，AB是定值，BQ=DQ，AP=CP，PQ=PQ
如上图，当点P、Q为M、N两点时
则CP、PQ、QD三段直线共线，距离最小
∴上图中点M、N即为P、Q
则将C、D两点代入，可求得PQ所在直线解析式为：
故选：C．
【点睛】本题考查最值问题，解题关键是利用对称，将几段线段长转化为一段线段的长，从而求得最短距离．
2．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图像上的一个动点，过点作轴交函数的图像于点，点在轴上（在的左侧），且，连接，．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是______．
【答案】①④
【分析】①由轴得到，结合，得到四边形是平行四边形，设点，则，得到的长，再表示的长，利用菱形的性质列出方程求得的值，即可判断结论；
②当时，求得点的坐标，然后判断四边形是否为正方形；
③任取两个点的坐标，求得和的长，然后判断四边形的周长是否为定值；
④过点作轴于点，过点作轴于点，将四边形的面积转化为四边形的面积，进而利用反比例系数的几何意义判断四边形的面积是否为定值．
【详解】①如图，过点作轴于点，
∴，
∵轴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵点在函数图像上，点在函数图像上，
设，则，
∴，
又∵点的坐标是，
在中，，
当时，，，
此时，，
∴四边形可能是菱形，
∴①符合题意；
②由①得，当时，，，
∴，
此时，
∵点的坐标是，
∴轴，
∴，
由①知，四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是矩形，但，
∴四边形不为正方形，
∴②不符合题意；
③由①得，当点的横坐标为时，，，
∴四边形的周长为：，
当点的横坐标为时，，则，
∴，，
∴四边形的周长为：，
∴四边形的周长不为定值，
∴③不符合题意；
④如图，过点作轴于点，
又∵，
∴
∵轴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴四边形的面积为定值，
∴④符合题意．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键是熟知反比例函数图像_上点的坐标特征．
3．（2022秋·河南平顶山·九年级校考期中）阅读理解：已知，对于实数，，满足，当且仅当时，等号成立，此时取得代数式的最小值．根据以上结论，解决以下问题：
(1)若，当且仅当______时，有最小值，最小值为______．
(2)①如图13—1，已知点P为双曲线上的任意一点，过点P作轴，轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标及周长最小值；
②如图13—2，已知点Q是双曲线上一点，且轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内是否存在一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1，2
(2)①，周长最小值为；②存在，或或
【分析】（1）根据题意即可完成解答；
（2）①设，则可得周长，由题意即可求得周长的最小值及点P的坐标；
②由于，由题意可求得的最小值，从而求得点P的坐标；由轴且点Q在，可求得点Q的坐标，再分三种情况考虑，利用平行四边形的性质即可求得点C的坐标．
【详解】（1）解：由题意，当且仅当，即（负值舍去）时，，即有最小值，最小值为2；
故答案为：1，2；
（2）解：①∵点P为双曲线上的任意一点，
∴设，
∴四边形OAPB的周长，
当四边形OAPB的周长取得最小值时，即，
即的最小值为，此时，解得：（负值舍去），
∴，周长最小值为；
②存在．
∵点P为双曲线上的任意一点，
∴设，
，
，
当时，解得：（负值舍去），
即当时，有最小值，从而有最小值，
；
轴，且点Q在，
∴点Q的纵坐标为，且
，即，
；
当以、为平行四边形的邻边时，则，，
；
当以、为平行四边形的邻边时，则，，
；
当以、为平行四边形的邻边时，则，
只要把点Q沿方向平移，平移距离为长度，即可得到点C，
综上，点C坐标为或或．
【点睛】本题是材料阅读题，考查了反比例函数的图象与性质，坐标与图形、平行四边形的性质，勾股定理等知识，读懂材料提供的方法并能灵活运用是解题的关键．
4．（2022秋·重庆·九年级重庆第二外国语学校校考期中）如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段为边在第一象限作等边， ，且轴．
(1)若点C在反比例函数（）的图象上，求该反比例函数的解析式；
(2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，取的中点M，将线段沿着y轴上下移动，线段的对应线段是，直接写出四边形周长的最小值．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）如图1中，作轴于．首先证明四边形是矩形，利用反比例函数的几何意义解决问题即可．
（2）如图2中，作于，交反比例函数图象于，连接，．求出的坐标，证明四边形是菱形即可．
（3）作点C关于y轴对称点，过点N作轴，交延长线于点D，在上截取，连接交y轴于，此时，四边形最小，最小值为，求得，，，代入即可求解．
【详解】（1）解：（1）如图1中，作轴于．
轴，轴，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
反比例函数的解析式为．
（2）解：如图2中，作于，交反比例函数图象于，连接，．
是等边三角形，面积为，设，则，
，
或（舍弃），
，，，
N点纵坐标为1，
代入可得，
，
，
，
，，
，
，
四边形是菱形，
存在点N，使四边形是菱形，此时．
（3）解：如图，作点C关于y轴对称点，过点N作轴，交延长线于点D，在上截取，连接交y轴于，此时，四边形最小，最小值为，

∵点M是的中点，
∴，
∴，
由（2）知，，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵C关于y轴对称点，
∴，
∵ ，，
∴四边形是平行四边形，
∴
∴
∴
∴四边形周长的最小值为．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，利用轴对称求最短距离问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
5．（2022春·江苏泰州·八年级校考期末）如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+2及双曲线y＝（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m（m＞0）．
(1)如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．
(2)如图②过C、D两点分别作轴交直线AB于C'，D'，当CDAB时，
①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．
②若k＝6，且满足m＝a﹣4+，求d的最大值．
【答案】(1)k＝6
(2)①见解析；②当a＝1时，d的最大值为14
【分析】（1）先求出点，点坐标，由平行四边形的性质列出方程组，即可求解；
（2）①先证四边形是平行四边形，可得，列出方程可求解；
②将和代入，再利用二次函数的性质可求解．
【详解】（1）解：直线交轴于点，交轴于点，
点，点，
、为双曲线上的两点，
点，点，
四边形为平行四边形，
与互相平分，
，，
解得：，；
（2）证明：∵轴，CDAB，
四边形是平行四边形，
，
、为双曲线上的两点，
点，点，
∵轴，
点的横坐标为，点的横坐标为，
点，点，
，
，
当为定值时，为定值；
②解：，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为14．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，二次函数的性质等知识，利用参数表示点的坐标是解题的关键．
6．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图1，在菱形中，对角线、相交于点，顶点、在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，轴．
(1)若，，则菱形的面积为______；
(2)①当点、在坐标轴上时，求的值．
②如图2，当点、、三点在同一直线上时，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)9；
(2)①；②是，的值为
【分析】（1）设点的横坐标为，则，由题意可知， 轴，则，，．所以，，由菱形的性质可知，，，所以．
（2）①由题意可知，点在轴上，点在轴上，设点的横坐标为，则，同上可知 轴，所以，，．因为点是的中点，，，．由点，在坐标轴上，建立方程即可得出结论；
②设点的横坐标为，则，同上可知，，，．，，．设直线所在的直线为，利用待定系数法可求出．所以直线的解析式为：．因为点，，三点共线，所以将点的坐标代入可得，整理该等式即可得出结论．
（1）
解：设点的横坐标为，则，
轴，，
轴，
，，．
，，
，，
．
故答案为：9．
（2）
解：①由题意可知，点在轴上，点在轴上，
设点的横坐标为，则，
轴，，
轴，
，，．
点是的中点，
，，，即，，．
点在轴上，点在轴上，
且，
；
②是，理由如下：
设点的横坐标为，则，
轴，，
轴，
，，．
，，，即，，．
设直线所在的直线为，
，即．
直线的解析式为：．
点，，三点共线，
，整理得或1（舍．
综上，的值为．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合题，待定系数法求函数解析式，菱形的性质，中点坐标公式等知识，解题的关键是设出关键点的坐标，利用菱形的性质去表达，，，的坐标．
7．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，动点M在函数（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y平行线，交函数 （x＞0）的图像于点B、C，作直线BC，设直线BC的函数表达式为y ＝kx＋b．
(1)若点M的坐标为（1，4）．
①直线BC的函数表达式为______；
②当 时，x的取值范围是______；
③点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标；
(2)连接BO、CO．求证：△BOC的面积是个定值．
【答案】(1)①y＝－4x＋5；② 0＜x＜或x＞1；③ D（，0）E（0，3）或D（－，0）E（0，－3）
(2)见解析
【分析】（1）①首先求出点B和C的坐标，代入直线BC的函数表达式为y＝kx+b，解方程即可；
②首先求出直线BC与x轴交点横坐标，再根据图象可得答案；
③设D（m，0），E（0，n），分三种情形，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式可得答案；
（2）延长MC、MB分别交x轴于G，交y轴于H，设m（a，），表示出△OBC的面积即可．
（1）
解：①当M（1，4）时，则B，C（1，1），
∴ ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣4x+5，
故答案为：y＝﹣4x+5；
②当y＝0时，x＝，
由图象知，当0＜x＜或1＜x＜时，y＜y2，
故答案为：0＜x＜或1＜x＜；
③设D（m，0），E（0，n），
当BD、CE为对角线时， ，
∴ ，
∴D（，0）E（0，3），
当BC、DE为对角线时，，
∴，
此时点B、C、D、E共线，故舍去，
当BE、CD为对角线时，，
∴，
∴D（，0）E（0，﹣3），
综上：D（，0）E（0，3）或D（，0）E（0，﹣3）；
（2）
解：证明：延长MC、MB分别交x轴于G，交y轴于H，设m（a，），
∴B（），C（a，），
∴S△OBC＝S矩形OGMH﹣S△OCG﹣S△BCM﹣S△BHO
＝a×﹣﹣（）×﹣
＝4﹣
＝，
∴△BOC的面积是个定值．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，由特殊到一般，设出点M的坐标，从而得出点B和C的坐标是解决问题（2）的关键．
8．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转至点B，恰好落在反比例函数的图像上，连接OA，OB，过点B作轴交于点C，点是第一象限内双曲线上一动点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若，求P的坐标；
(3)如图2，连接PO并延长交双曲线于，平面内有一点，PQ与GA的延长线交于点H；
①若，求点H的坐标；
②当时，记H的坐标为，试判断是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为（1，2）或
(3)①点H（0，5）；②（a+2）（b-4）=2，为定值．
【分析】（1）过点A作AH⊥x轴于点H，根据旋转的性质易证△AHO≌△OCB（AAS），根据全等三角形的性质可得点B坐标，进一步即可求出反比例函数解析式；
（2）设点P坐标为（p，），表示出△POC的面积，当点P在点B左侧的双曲线上，当点P在点B右侧的双曲线上，分别表示出△PBC的面积，根据S△POC=4S△PBC，列方程，求解即可；
（3）①先求出点P坐标，进一步求出点G和点Q坐标，待定系数法求直线AG和直线PQ的解析式，联立两直线解析式即可求出交点H的坐标；
②先待定系数法求出直线AG和直线PQ的解析式，联立两解析式求出交点H的坐标，可得a=m-2，b=n+4，进一步即可求出（a+2）（b-4）的值．
（1）
解：过点A作AH⊥x轴于点H，如图所示：
则∠AHO=90°，
∴∠HAO+∠AOH=90°，
∵BC⊥x轴，
∴∠BCO=90°，
∴∠AHO=∠BCO，
∵点A（-1，2）绕原点顺时针旋转90°至点B，
∴AO=BO，∠AOB=90°，AH=2，OH=1，
∴∠AOH+∠BOC=90°，
∴∠HAO=∠BOC，
∴△AHO≌△OCB（AAS），
∴OC=AH=2，BC=OH=1，
∴点B坐标为（2，1），
将点B坐标代入反比例函数，
得k=2×1=2，
∴反比例函数解析式：；
（2）
设点P坐标为（p，），
则S△POC＝×2×=，
当点P在点B左侧的双曲线上，
S△PBC＝×1×(2−p)，
∵S△POC=4S△PBC，
∴=4×，
解得p1=p2=1，
∴点P坐标为（1，2）；
当点P在点B右侧的双曲线上，
S△PBC＝×1×(p−2)= ，
∵S△POC=4S△PBC，
∴=4×，
解得（不符合题意，舍去），
∴点P坐标为，
∴符合条件的点P坐标为（1，2）或；
（3）
①当m=2时，
根据题意，可得mn=2，
即2n=2，
∴n=1，
∴点P坐标为（2，1），点G坐标为（-2，-1），点Q坐标为（1，3），
设直线GA的解析式为y=kx+b（k≠0），
将点A和点G坐标代入解析式，
得，
解得，
∴直线AG的解析式为y=3x+5，
设直线PQ的解析式为 ，
将点P和点Q坐标代入解析式，
得，
解得，
∴直线PQ的解析式为y=-2x+5，
联立，
解得，
∴点H坐标为（0，5）；
②（a+2）（b-4）是定值，
∵P（m，n），G（-m，-n），A（-1，2），Q（m-1，n+2），
设直线AG的解析式为y=dx+c（d≠0），
代入点A和点G的坐标，得，
解得，
∴直线AG的解析式为，
设直线PQ的解析式为y=ex+f（e≠0），
代入点P和点Q坐标，得，
解得，
∴直线PQ的解析式为y=-2x+2m+n，
联立，
解得，
∴点H（m-2，n+4），
∵记H的坐标为（a，b），
∴a=m-2，b=n+4，
∴（a+2）（b-4）=mn，
∵点P（m，n）是第一象限内双曲线上一动点，
∴mn=2，
∴（a+2）（b-4）=2．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，全等三角形的性质和判定，一次函数的交点，旋转的性质，三角形的面积，定值问题等，本题综合性较强，难度较大．
必考点7
反比例函数的应用
1．（2022秋·江西宜春·九年级校考期末）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)求与（）的函数表达式；
(2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
(3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】(1)
(2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间为
(3)恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害
【分析】（1）当时，设双曲线的解析式为，把的坐标代入，得出，解出即可得出答案；
（2）根据待定系数法求出线段解析式，再根据题意：大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，结合图象，把代入线段的解析式，得出时间，再把代入（1）中双曲线，得出时间，两时间相减，即可得出答案；
（3）先求解时，对应的双曲线函数图象上点的横坐标，再利用坐标含义可得答案．
【详解】（1）解：当时，设双曲线的解析式为，
∵过双曲线，
∴把的坐标代入，
可得：，
解得：，
∴函数表达式为：；
（2）解：设线段解析式为，
∵线段过点，，
代入得，
解得：，
∴解析式为：，
∵大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，
当时，代入，
可得：，
解得：，
当，代入，
可得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∵（），
∴这种蔬菜一天内最适合生长的时间为；
（3）解：当时，可得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴（），
∴恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式和一次函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数图象上的点的坐标含义是解本题的关键．
2．（2022秋·陕西西安·九年级统考期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米()的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题：
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？
(3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？
【答案】(1)y=；
(2)半径为28米；
(3)最多是0.4厘米．
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，解方程即可得到结论；
（2）把x=0.5代入反比例函数的解析式即可得到结论；
（3）根据题意列不等式即可得到结论．
【详解】（1）设y与x之间的函数表达式为，
∴7=，
∴k=14，
∴y与x之间的函数表达式为y=；
（2）当x=0.5时，y==28米，
∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米；
（3）当y≥35时，即≥35，
∴x≤0.4，
∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
3．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）为了预防新冠病毒的传播，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过5分钟的集中药物喷洒，再封闭教室10分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（分钟）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．
（1）问：室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间可达到几分钟？
（2）当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于30分钟时，才能完全有效杀灭传染病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？
【答案】（1）11分钟；（2）此次消毒不完全有效，分析见解析．
【分析】（1）由题意得，由可求得直线的解析式，将代入即可求出时间，从而得出答案；
（2）利用求出反比例函数的解析式再分别计算出时的的值，进而可得答案．
【详解】（1）解：由题意得：，，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
，
把代入得：，
解得：，
（分钟），
答：室内空气中的含药量不低于的持续时间可达到11分钟．
（2）解：设反比例函数的解析式为，
把代入得：，
解得：，
，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：
，
此次消毒是不完全有效．
答：此次消毒不完全有效．
【点睛】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的应用，掌握正比例函数和反比例函数图象的形状，掌握两个函数的解析式的形式是解题的关键．
4．（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】（1）；（2）至少需要30分钟；（3）消毒有效，理由见解析
【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y=，把点（8，6）代入即可；
（2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于或等于10就有效．
【详解】（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x（k1＞0）代入（8，6）为6=8k1
∴k1=
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=（k2＞0）代入（8，6）为6=，
∴k2=48
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为（0≤x≤8），药物燃烧后y关于x的函数关系式为（x＞8）
∴
（2）结合实际，令中y≤1.6得x≥30
即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．
（3）把y=3代入，得：x=4
把y=3代入，得：x=16
∵16﹣4=12
∴这次消毒是有效的．
故答案为（1）；（2）至少需要30分钟；（3）消毒有效，理由如上．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
5．（2022春·河南洛阳·八年级统考期中）超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
（2）汽车上午7：30从超越公司出发，能否在上午10：00之前到达新时代市场？请说明理由．
【答案】（1），（2）不能在上午10：00之前到达新时代市场，见解析.
【分析】根据数据猜想v是t的反比例函数，应用待定系数法求k，将t＝10﹣7.5＝2.5代入比较即可．
【详解】（1）根据表格中数据，可知V＝，
∵v＝75时，t＝4，
∴k＝75×4＝300
∴V＝
经检验，其它数据满足该函数关系式．
（2）不能
∵10﹣7.5＝2.5
∴t＝2.5时，V＝＝120＞100，
∴汽车上午7：30从超越公司出发，不能在上午10：00之前到达新时代市场
【点睛】本题为反比例函数的应用题，考查了反比例函数的待定系数法及应用函数解析式解决实际问题．
6．（2022·河北·统考中考真题）长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置开始行进的时间为，排头与的距离为
（1）当时，解答：
①求与的函数关系式（不写的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置的距离为，求与的函数关系式（不写的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为，求与的函数关系式（不写的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
【答案】（1）①；②；（2）与的函数关系式为：，此时队伍在此过程中行进的路程为．
【分析】（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2m/s，可以求出S头与t的函数关系式；
②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间=总时间t－甲从排尾赶到排头的时间，于是可以求S甲与t的函数关系式；
（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程=队伍速度×返回时间．
【详解】（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头=2t+300；
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）=300÷v=300÷2=150 s，此时S头=2t+300=600 m，甲返回时间为：（t﹣150）s，∴S甲=S头﹣S甲回=2×150+300﹣4（t﹣150）=﹣4t+1200；
因此，S头与t的函数关系式为S头=2t+300，当甲赶到排头位置时，S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲=﹣4t+1200．
（2）T=t追及+t返回，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v400；
因此T与v的函数关系式为：T，此时队伍在此过程中行进的路程为400m．
【点睛】本题考查了行程问题中相遇、追及问题，同时还考查了函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误．
7．（2022·山东青岛·统考一模）某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重秤，已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间满足一次函数关系，共图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为3伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，然后把代入相应的关系式，该读数就可以换算为人的质量，
知识小链接：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
(1)求可变电阻与人的质量之间的函数关系；
(2)用含的代数式表示；
(3)当电压表显示的读数为0.75伏时，求人的质量．
【答案】(1)
(2)
(3)70
【分析】（1）设可变电阻与人的质量之间的函数关系为，直接用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得，，再结合（1）的解析式，求解即可；
（3）将代入，计算即可．
【详解】（1）解：设可变电阻与人的质量之间的函数关系为，
把（0，260），（130，0）代入得，
，
解得，
可变电阻与人的质量之间的函数关系为；
（2）由题意得，可变电阻两端的电压之和=电源电压-电表电压，
即可变电阻两端的电压之和，
，串联电路中电流处处相等，
，
定值电阻的阻值为40欧，，
，
整理得 ；
（3）当时，
.
【点睛】本题以物理中的电路问题为背景，考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式即代入求值，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键．v（千米/小时）
75
80
85
90
95
t（小时）
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16