中考数学一轮复习专题02+实数运算精练（含解析）(1)

这是一份中考数学一轮复习专题02+实数运算精练（含解析）(1)，共8页。
【高频考点精讲】
1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根。
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根。4．平方根和立方根的性质
（1）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（2）立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
【热点题型精练】
1．（2019•滨州）若8xmy与6x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根为（ ）
A．4B．8C．±4D．±8
2．（2020•烟台）4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．
3．（2020•恩施州）9的算术平方根是 ．
4．（2020•金昌）若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）
A．2B．3C．3D．4
5．（2020•广东）若+|b+1|＝0，则（a+b）2020＝ ．
6．（2019•陕西）﹣8的立方根是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
7．（2020•黄冈）计算＝ ．
二、无理数定义及估算
【高频考点精讲】
1．无理数定义
（1）定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）常见三种类型
①开不尽的方根，如等．
②特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
③含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
2．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法，即用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
【热点题型精练】
8．（2019•陕西）已知实数﹣，0.16，，π，，，其中为无理数的是 ．
9．（2020•遂宁）下列各数3.1415926，，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，中，无理数的个数有 个．
10．（2020•赤峰）估计（2+3）×的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
11．（2020•黔南州）已知a＝﹣1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．3＜a＜4D．4＜a＜5
12．（2020•南通）若m＜2＜m+1，且m为整数，则m＝ ．
13．（2020•自贡）与﹣2最接近的自然数是 ．
三、实数的运算
【高频考点精讲】
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
【热点题型精练】
14．（2020•阜新）计算：（）﹣1+（π﹣）0＝ ．
15．（2020•威海）计算﹣﹣（﹣1）0的结果是 ．
16．（2020•西藏）计算：（π﹣1）0+|﹣2|+＝ ．
17．（2020•恩施州）在实数范围内定义运算“☆”：a☆b＝a+b﹣1，例如：2☆3＝2+3﹣1＝4．如果2☆x＝1，
则x的值是（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
18．（2020•十堰）对于实数m，n，定义运算m*n＝（m+2）2﹣2n．若2*a＝4*（﹣3），则a＝ ．
19．（2020•青海）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b＝，如：3⊕2＝＝，那么12⊕4＝ ．
专题02 实数运算
一．平方根、算术平方根、立方根
【高频考点精讲】
1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根。
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根。4．平方根和立方根的性质
（1）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（2）立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
【热点题型精练】
1．（2019•滨州）若8xmy与6x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根为（ ）
A．4B．8C．±4D．±8
解：由8xmy与6x3yn的和是单项式，得
m＝3，n＝1．
（m+n）3＝（3+1）3＝64，64的平方根为±8．
故选：D．
2．（2020•烟台）4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．
解：4的平方根是±2．
故选：C．
3．（2020•恩施州）9的算术平方根是 3 ．
解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是3．
故答案为：3．
4．（2020•金昌）若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）
A．2B．3C．3D．4
解：∵正方形的面积是12，
∴它的边长是＝2．
故选：A．
5．（2020•广东）若+|b+1|＝0，则（a+b）2020＝ 1 ．
解：∵+|b+1|＝0，
∴a﹣2＝0且b+1＝0，
解得，a＝2，b＝﹣1，
∴（a+b）2020＝（2﹣1）2020＝1，
故答案为：1．
6．（2019•陕西）﹣8的立方根是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
解：﹣8的立方根为﹣2，
故选：B．
7．（2020•黄冈）计算＝ ﹣2 ．
解：＝﹣2．
故答案为：﹣2．
8．（2019•陕西）已知实数﹣，0.16，，π，，，其中为无理数的是 ，π， ．
解：，、0.16是有理数；
无理数有、π、．
故答案为：、π、．
二、无理数定义及估算
【高频考点精讲】
1．无理数定义
（1）定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）常见三种类型
①开不尽的方根，如等．
②特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
③含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
2．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法，即用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
【热点题型精练】
9．（2020•遂宁）下列各数3.1415926，，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，中，无理数的个数有 3 个．
解：在所列实数中，无理数有1.212212221…，2﹣π，这3个，
故答案为：3．
10．（2020•赤峰）估计（2+3）×的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
解：原式＝2+，
∵，
∴，
故选：A．
11．（2020•黔南州）已知a＝﹣1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．3＜a＜4D．4＜a＜5
解：∵4＜＜5，
∴3＜﹣1＜4，
∴﹣1在3和4之间，即3＜a＜4．
故选：C．
12．（2020•南通）若m＜2＜m+1，且m为整数，则m＝ 5 ．
解：2＝，
∵＜＜，
∴5＜2＜6，
又∵m＜2＜m+1，
∴m＝5，
故答案为：5．
13．（2020•自贡）与﹣2最接近的自然数是 2 ．
解：∵3.5＜＜4，
∴1.5＜﹣2＜2，
∴与﹣2最接近的自然数是2．
故答案为：2．
三、实数的运算
【高频考点精讲】
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
【热点题型精练】
14．（2020•阜新）计算：（）﹣1+（π﹣）0＝ 4 ．
解：（）﹣1+（π﹣）0
＝3+1
＝4．
故答案为：4．
15．（2020•威海）计算﹣﹣（﹣1）0的结果是 ﹣﹣1 ．
解：﹣﹣（﹣1）0
＝
＝．
故答案为：．
16．（2020•西藏）计算：（π﹣1）0+|﹣2|+＝ 3+2 ．
解：（π﹣1）0+|﹣2|+
＝1+2+2
＝3+2．
故答案为：3+2．
17．（2020•恩施州）在实数范围内定义运算“☆”：a☆b＝a+b﹣1，例如：2☆3＝2+3﹣1＝4．如果2☆x＝1，则x的值是（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
解：由题意知：2☆x＝2+x﹣1＝1+x，
又2☆x＝1，
∴1+x＝1，
∴x＝0．
故选：C．
18．（2020•十堰）对于实数m，n，定义运算m*n＝（m+2）2﹣2n．若2*a＝4*（﹣3），则a＝ ﹣13 ．
解：∵m*n＝（m+2）2﹣2n，
∴2*a＝（2+2）2﹣2a＝16﹣2a，4*（﹣3）＝（4+2）2﹣2×（﹣3）＝42，
∵2*a＝4*（﹣3），
∴16﹣2a＝42，
解得a＝﹣13，
故答案为：﹣13．
19．（2020•青海）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b＝，如：3⊕2＝＝，那么12⊕4＝ ．
解：12⊕4＝＝．
故答案为：．