高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示完美版作业ppt课件

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01空间向量的坐标运算
02解决空间中的平行、垂直问题
03向量夹角与长度的计算
04利用空间向量解决探索性问题
1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．(数学运算)2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(逻辑推理、数学运算)
一、空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
思考　空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？答案　空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致；如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
二、空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
三、空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
思考　已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？
1.已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n=　　　　　 ,3m-n=　　　　　 ,(2m)·(-3n)=　　　　　. 
(5,-11,19)
解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.
2.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=　　　　,若a⊥b,则 λ=　　　　. 　　　　　. 
因此，a＝(0,1，－2).
用坐标表示空间向量的步骤如下:
空间向量的坐标运算注意以下几点:(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算,牢记运算公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算:(a ± b)2=a2±2a·b+b2; (a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,
判断空间向量垂直或平行的步骤
(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行．
2　如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝ ，AF＝1，M是线段EF的中点.
求证：(1)AM∥平面BDE；
证明　如图，建立空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE，
又NE与AM不共线，∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.
(2)AM⊥平面BDF.
又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，∴AM⊥平面BDF.
例3如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.
(1)求BM,BN的长.(2)求△BMN的面积.
思路分析建立空间直角坐标系,写出B,M,N等点的坐标,从而得出 的坐标.然后利用模的公式求得BM,BN的长度.对于(2),可利用夹角公式求得cs∠MBN,再求出sin∠MBN的值,然后套用面积公式计算.
解:以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).
3　如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点.(1)求BN的长；
解　如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值.
解　依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
又异面直线所成角为锐角或直角，
1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角． 2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．　　　　
例4　正方体ABCD－A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置.
利用空间向量解决探索性问题
设正方体的棱长为1，则D(0,0,0) ，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
因为点H在平面ABCD上，设点H的坐标为(m，n，0)，
即当H为线段AB的中点时，GH∥BD1.
(1)解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数运算问题.(2)通过计算解决几何中的探索性问题，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3) C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)
2.下列向量中与向量a=(0,1,0)平行的向量是(　　)A.b=(1,0,0)B.c=(0,-1,0) C.d=(-1,-1,1) D.e=(0,0,-1)
解析:比较选项中各向量,观察哪个向量符合λa=(0,λ,0)的形式,经过观察,只有c=-a.
3.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,则k的值等于(　　)
4.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点的距离的最小值为(　　)
解析:因为点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),所以|AB|2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2=5t2-2t+2,
5.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4).(1)计算2a-3b和|2a-3b|.(2)求.
解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
1.知识清单：(1)向量的坐标的运算.(2)向量的坐标表示的应用.2.方法归纳：类比、转化.3.常见误区：(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等.(2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况.