第03讲 函数的奇偶性、对称性与周期性（讲+练）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数奇偶性
①判断函数奇偶性
②根据函数奇偶性求解析式
③函数奇偶性的应用
④由函数奇偶性求参数
⑤奇偶性+单调性解不等式
高频考点二：函数周期性及其应用
①由函数周期性求函数值
②由函数周期性求解析式
高频考点三：函数的对称性
①由函数对称性求解析式
②由函数对称性求函数值或参数
③对称性+奇偶性+周期性的综合应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分： 第03讲 函数的奇偶性、对称性与周期性（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的奇偶性
（1）函数奇偶性定义
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）常用结论与技巧：
①对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性.
②，在它们的公共定义域上有下面的结论：
③若是定义在区间上奇函数，且，则（注意：反之不成立）
2、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
3、函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数，.
①若，则函数的周期；
②若，则函数的周期；
③若，则函数的周期；
④若，则函数的周期；
⑤，则函数的周期
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·北京·高三学业考试）已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
2．（2022·浙江台州·高一期末）设f（x）是定义在R上的奇函数，若，则f（1）=（ ）
A．-1B．0C．1D．2
3．（2022·全国·高三专题练习）若是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A．1B．2C．0D．
4．（2021·全国·高一课时练习）若的偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则与得大小关系是
A．B．C．D．不能确定
5．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且，则（ ）
A．2019B．3C．－3D．0
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数奇偶性
①判断函数奇偶性
1．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）下列函数在其定义域内为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·江苏·高一单元测试）函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
3．（2021·广东·龙门县高级中学高一期中）给定函数：①；②；③；④.其中奇函数是（ ）.
A．①②B．③④C．②④D．①③
②根据函数奇偶性求解析式
1．（2021·四川省南充高级中学高一阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）
A．10B．5C．3D．2
2．（2021·宁夏·银川一中高一期中）已知是定义域为R的偶函数，当时，，则函数在时，=___________.
3．（2021·江苏·南京外国语学校高一期中）设m为实数，若函数（）是偶函数，则m的值为__________.
4．（2021·全国·高一课前预习）已知是上的奇函数，且当时，，求的解析式．
③函数奇偶性的应用
1．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x，则＝________.
2．（2022·广东茂名·高一期末）若函数是奇函数，则__________.
3．（2022·四川凉山·高一期末）已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.
4．（2022·湖南·一模）已知是奇函数，且，若，则___．
④由函数奇偶性求参数
1．（2022·内蒙古包头·高三期末（文））已知函数是偶函数，则______．
2．（2022·海南·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则______.
3．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）已知函数为奇函数，则_______．
4．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）为偶函数，则___________.
⑤奇偶性+单调性解不等式
1．（2022·广西南宁·高一期末）若函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则使得的的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
2．（2022·云南丽江·高一期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·四川绵阳·高一期末）若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·广东汕尾·高一期末）函数为奇函数，且对任意互不相等的，，都有成立，且，则的解集为______．
5．（2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试）设偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是___________.
6．（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习）是奇函数
(1)求
(2)判断并证明的单调性
(3)若，求的取值范围
高频考点二：函数周期性及其应用
①由函数周期性求函数值
1．（2021·北京·人大附中高一期中）已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·甘肃·一模（文））定义在上的奇函数，满足，且当时，，则（ ）
A．8B．2C．-2D．-8
3．（2021·广东汕头·高二期末）已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则________.
②由函数周期性求解析式
1．（2021·北京市十一学校高一期中）若定义在R上的奇函数满足，且时，则：
（1）__________；
（2）当时，_________.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为R的偶函数，且周期为2，当时，，则当时，________.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对任意实数都有，且当时，.
（1）求，的值；
（2）写出在，上的解析式；
（3）当，时，求不等式的解集.
4．（2021·山东师范大学附中高三期中）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，.
(1)当时，求的解析式；
(2)计算.
高频考点三：函数的对称性
①由函数对称性求解析式
1．（2022·广东·高三开学考试）下列函数与关于对称的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数的图象与函数的图象关于轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，满足，则______.
③由函数对称性求函数值或参数
1．（2021·江西·景德镇一中高二期末（文））已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．2B．C．4D．
2．（2021·全国·高一专题练习）已知函数，记，则
A．B．C．D．
3．（2022·四川雅安·高一期末）若，则___________.
4．（2021·上海·高一专题练习）的对称中心为，则a的值为___________．
5．（2021·全国·高一专题练习）已知函数f（x）＝.
（1）求f（2）与f ，f（3）与f ；
（2）由（1）中求得的结果，你能发现f（x）与f 有什么关系？证明你的发现；
（3）求f（2）＋f ＋f（3）＋f ＋＋f（2019）＋f 的值.
④对称性+奇偶性+周期性的综合应用
1．（2022·四川凉山·二模（文））定义在上的奇函数，满足，当时，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（ ）
A．1010B．1011C．1012D．1013
3．(多选）（2022·甘肃·兰州一中高一期末）定义在R上的偶函数f（x）满足，且在上是增函数，则下列关于f（x）的结论中正确的有（ ）
A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）在[0，1]上是增函数
C．f（x）在[1，2]上是减函数D．
4．(多选）（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．为奇函数B．的图象关于对称
C．为偶函数D．是周期为4的函数
5．（2022·重庆九龙坡·高一期末）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．4
4．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·湖南·高考真题）已知函数为奇函数，.若，则____________
6．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
第五部分：第03讲 函数的奇偶性、对称性与周期性 （精练）
1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（理））已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
2．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知定义在上的偶函数，对，有成立，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·陕西咸阳·二模（理））已知函数为定义在R上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．2021B．1C．D．0
7．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）已知在R上的函数满足对于任意实数都有，，且在区间上只有和两个零点，则在区间上根的个数为（）
A．404B．405C．406D．203
二、填空题
9．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）已知，若，则实数的取值范围是______
10．（2022·江西·新余市第一中学高一开学考试）已知函数满足，且当时，，则________．
11．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）已知定义在区间上的奇函数满足：，且当时，，则____________.
12．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，，有下列个命题：
①若为偶函数，则的图象自身关于直线对称；
②函数与的图象关于直线对称：
③若为奇函数，且，则的图象自身关于直线对称；
④若为奇函数，且，则的图象自身关于直线对称；
其中正确命题的序号为______.
三、解答题
13．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）已知函数．
(1)判断的奇偶性，并加以证明；
(2)求函数的值域．
14．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．
15．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当，时，．
（1）求证：是周期函数；
（2）当，时，求的解析式；
（3）计算的值．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数y＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）+f（1﹣x）＝1；
（3）求的值．
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数
图象关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数
图象关于原点对称
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数