第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 (精讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

这是一份第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 (精讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考），文件包含第04讲直线与圆圆与圆的位置关系精讲原卷版-高考数学一轮复习讲练测新教材新高考docx、第04讲直线与圆圆与圆的位置关系精讲解析版-高考数学一轮复习讲练测新教材新高考docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：直线与圆的位置关系
题型二：圆的切线与弦长问题
角度1：弦长问题
角度2：切线问题
题型三：圆与圆的位置关系
角度1：圆与圆的位置关系
角度2：圆与圆的公共弦问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：直线与圆的位置关系
1、直线与圆的三种位置关系
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法
几何法（优先推荐）
代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
①直线与圆相交
②直线与圆相切
③直线与圆相离
知识点二：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
2、圆与圆的位置关系的判定
几何法
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.
①当时，两圆相交；
②当时，两圆外切；
③当时，两圆外离；
④当时，两圆内切；
⑤当时，两圆内含.
代数法
设:
:
联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其
①与设设相交
②与设设相切（内切或外切）
③与设设相离（内含或外离）
知识点三：直线与圆相交
记直线被圆截得的弦长为的常用方法
1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
2、代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
弦长公式：
知识点四：圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设:
:
联立作差得到：即为两圆共线方程
知识点五：圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·四川甘孜·高二期末（文））若直线 ​与圆​相交于​两点， 且​(其中​为原点)， 则​的值为（ ）
A．​或​B．​C．​或​D．​
【答案】A
由可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得
故选：A
【点睛】
2．（2022·广西桂林·模拟预测（文））圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
【答案】A
由与圆，
可得圆心，半径，
则，且，
所以，所以两圆相交.
故选：A.
3．（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））已知圆，若直线被圆截得的弦长为1，则_______.
【答案】
解：将化为标准式得，故半径为1；
圆心到直线的距离为，由弦长为1可得，解得.
故答案为：.
4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期末）实数满足，则的取值范围是___________.
【答案】
设，
故直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离，
解得，
故答案为：.
5．（2022·全国·高三专题练习）若直线被圆截得线段的长为6，则实数的值为__________.
【答案】
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离．
据题意，得，解得．
故答案为：
6．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________.
【答案】3
两圆有三条公切线，则两圆外切，∴∴
故答案为：3
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线与圆的位置关系
1．（2022·重庆一中高一期末）若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：由得，
所以直线与半圆有个公共点，
作出直线与半圆的图形，如图：
当直线经过点时，，
当直线与圆相切时，，解得或（舍），
由图可知，当直线与曲线有个公共点时，，
故选：B.
2．（2022·贵州遵义·高二期末（文））若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
圆的圆心为，由题意可知，直线过圆心，则，
因为，则且，
因此，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：A.
3．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（文））若直线y＝kx与圆的两个交点关于直线对称，则k，b的值分别为（ ）
A．k＝2，b＝－1B．k＝－2，b＝1
C．，D．，
【答案】A
由题意可知，直线过圆心，且直线y＝kx与直线垂直，
所以，，解得.
故选：A
4．（2022·全国·高二专题练习）不论k为何值，直线kx－y＋1－3k＝0都与圆相交，则该圆的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
， 直线恒过点
将点 代入 中可得；
将点 代入 中可得；
将点 代入 中可得；
将点 代入 中可得；
所以直线恒过的定点 在 内，
所以当 为任意实数时，直线都与圆相交，
故选：B
题型二：圆的切线与弦长问题
角度1：弦长问题
典型例题
例题1．（2022·四川乐山·高一期末）已知直线过点交圆于、两点．
(1)当直线的倾斜角为时，求的长；
(2)当最小时，求直线的方程．
【答案】(1)(2)
(1)圆的圆心，半径
因为直线l的斜率为，
则过点的直线l的方程为，即，
则圆心到直线l的距离，
所以．
(2)由题知，当直线时，最小，此时，
故直线l的方程为，即．
例题2．（2022·陕西渭南·高一期末）已知圆的圆心为点，且与坐标轴相切.
(1)求圆的方程；
(2)求直线被圆所截得的弦长.
【答案】(1)(2)
(1)∵圆C的圆心为点，且与坐标轴相切，
∴圆C的半径为，
∴圆C的方程为.
(2)∵圆C的圆心，
∴圆心C到直线l的距离为.
∴所求的弦长为.
例题3．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知圆：，其中．
(1)已知圆与圆：外切，求的值；
(2)如果直线与相交所得的弦长为，求的值．
【答案】(1)；(2).
（1）解：由圆，可得，则圆心，半径，由圆，可得圆心，半径，因为两圆外切，则，解得．
（2）解：圆的圆心坐标为，半径为．圆心到直线的距离，又直线与圆相交所得的弦长为，，解得．的值为．
同类题型归类练
1．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
圆的圆心，
所以圆心到直线的距离为，则，
而，所以，解得：.
故选：B.
2．（2022·全国·高二）已知圆C：，直线l恒过点
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.
【答案】(1)或(2)或
(1)由题意可知，圆C的圆心为，半径，
①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为，
化为一般式：，若直线l与圆相切，
则，即，解得，
：，即l：，
综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为或；
(2)由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，
直线l的方程为，即，
设圆心到直线l的距离为d，则，
由垂径定理可得，，即，
整理得，，解得或，
则直线l的方程为或
3．（2022·全国·高二专题练习）已知圆M过点．
(1)求圆M的方程；
(2)若直线与圆M相交所得的弦长为，求b的值．
【答案】(1)(2)6或16
(1)设圆M的方程为，
因为圆M过三点，
则
解得，
所以圆M的方程为，
即；
(2)由题意，得圆心到直线l的距离，
故，即，
解得或16．
故所求b的值为6或16．
角度2：切线问题
典型例题
例题1．（2022·广东·高二期末）已知圆，为抛物线上的动点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】C
解：圆的圆心为，半径，
因为为抛物线上的动点，设，
则，
所以当时，过点作圆的切线，此时切线长最小，最小为；
故选：C
例题2．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））过点的直线经轴反射后与圆相切，则切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
圆的圆心，半径
点关于轴对称的点为，则过点与圆相切的直线即为所求．
由题意可知切线的斜率存在，可设切线的斜率为
则的方程为即
圆心到的距离为，解得，
故选：D．
例题3．（2022·河北廊坊·模拟预测）已知：，点，，从点观察点，要使视线不被挡住，则实数的取值范围是（ ）
A．（－∞，－2）∪（2，＋∞）B．∪
C．∪D．
【答案】B
解：易知点在直线上，过点作圆的切线，
设切线的斜率为，则切线方程为，
即，
由，得，
∴切线方程为，和直线的交点坐标分别为，
故要使视线不被挡住，则实数的取值范围是.
故选：B.
同类题型归类练
1．（2022·江苏盐城·高二期末）已知直线与圆相切，则实数a的值为_________．
【答案】
解：由题可得圆的圆心为，半径为，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
即，解得.
故答案为：.
2．（2022·天津·静海一中高三阶段练习）过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为______．
【答案】x-2y-5=0
根据题意易知直线得斜率存在，则，即．
则直线得方程为：即：x-2y-5=0．
故答案为：x-2y-5=0．
3．（2022·全国·高二专题练习）经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程为__________．
【答案】
由题意，圆，可得圆心坐标为，
因为，则，
则过点且与圆相切的直线的斜率为，
根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即，
即点且与圆相切的直线的一般式方程为.
故答案为：
4．（2022·湖北·模拟预测）已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是__________.
【答案】
由题，直线的斜率为，故直线的斜率为，故的方程为，即.又到的距离，故切线长的最小值是
故答案为：
5．（2022·全国·高二专题练习）已知圆．求满足下列条件的切线方程．
(1)过点；
(2)过点．
【答案】(1)(2)或
(1)解：因为圆的圆心为，半径为，点在圆上，
所以过点的切线斜率存在，且其与直线垂直，
因为，所以，所求切线的斜率为，
所以，所求切线方程为，即：.
(2)解：因为圆的圆心为，半径为，
所以，当过点的切线斜率不存在时，其方程为，满足题意；
当切线斜率存在时，设斜率为，则其方程为，即，
所以，圆心到切线的距离为，解得，
所以，切线方程为，即：.
综上，所求切线方程为或
题型三：圆与圆的位置关系
角度1：圆与圆的位置关系
典型例题
例题1．（2022·广东江门·高二期末）直线：与圆：的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
【答案】A
解：圆：的圆心为，半径，
圆心到直线：的距离，
所以直线与圆相切；
故选：A
例题2．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于（ ）
A．14B．34C．14或45D．34或14
【答案】D
圆：的圆心为,
圆：的圆心为,
，
因为圆与圆有且仅有一个公共点，故圆与圆相内切或外切，
故或，从而或，
所以或，解得：或
所以实数a等于34或14
故选：D
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆与圆相切，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．8
【答案】B
由题，圆的圆心为，半径为3，圆的圆心为，半径为1.
若圆与圆外切，则，即，则，即，当且仅当时等号成立.
若圆与圆内切，则，即，则，即，当且仅当时等号成立.
综上，的最小值为2.
故选：B.
例题4．（2022·全国·高二专题练习）已知圆与圆内切，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由题设，，，
又与内切，而，且，
所以内切于，则，故，当时等号成立.
所以的最小值为.
故选：B
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线与圆交于两个不同点，则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相离C．外切D．相交
【答案】D
易知直线过定点，弦最短时直线垂直，
又，所以，解得，
此时圆的方程是.
两圆圆心之间的距离，
又，所以这两圆相交.
故选：D.
2．（2022·全国·模拟预测）已知点为圆上一点，点，，，若对任意的点，总存在点，，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由题可得点，在直线上，
圆的方程为，则圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线的距离的范围为.
因为对任意的点，总存在点，，使得，
所以以为直径的圆包含圆，故，
所以，得，
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
圆的圆心坐标为，半径为，
过圆心与直线垂直的直线方程为，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为，则所求圆的半径为，
设所求圆的圆心为，且圆心在直线的上，
所以，且，解得（不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为.
故选：C．
4．（2022·全国·高二专题练习）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条B．2条C．1条D．0条
【答案】B
由，得圆，半径为，
由，得，半径为
所以，
，，
所以，所以圆与圆相交，
所以圆与圆有两条公共的切线.
故选：B.
5．（2022·湖南岳阳·高二期末）圆与圆外切，则实数_________．
【答案】9
圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则
根据题意可得：，即，∴
故答案为：9．
角度2：圆与圆的公共弦问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知两圆和.圆和公共弦方程为___________；圆和公共弦的长度为___________.
【答案】
和两式相减得出，即圆和公共弦方程为
设圆和相交于两点，由可得
则圆和公共弦的长度为
故答案为：；
例题2．（2022·全国·高二课时练习）过点作圆的两条切线，切点分别为，，求直线的方程．
【答案】
圆化为标准方程为，设圆心为，半径R=5.
所以连线中点坐标,而.
故以为直径的圆的方程为.
因为是圆的两条切线，切点分别为A，B，
所以A，B为圆和的交点，
所以直线为两圆的公共弦，两圆方程相减，消去二次项，可得：
.
所以直线的方程：.
例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知圆和圆，若点(，)在两圆的公共弦上，求的最小值．
【答案】8
圆和圆的两个方程相减即可得到两圆的公共弦所在直线方程为，
∵点(，)在两圆的公共弦上，∴，
∴，当且仅当，即、时等号成立，
∴的最小值为8．
例题4．（2022·江苏镇江·高二期末）圆经过两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)求圆与圆的公共弦的长.
【答案】(1)(2)
(1)设圆的方程为，
，
，
所以圆的方程为；
(2)由圆的方程和圆的方程可得公共弦的方程为：
，
整理得到：，
到公共弦的距离为，
故公共弦的弦长为：.
同类题型归类练
1．（2022·河南·二模（文））已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由，
两式相减得公共弦所在直线方程为：，
分别取，得，解得，即
故选：A
2．（2022·山东威海·三模）圆与圆的公共弦长为______．
【答案】
设圆：与圆：交于，两点
把两圆方程相减，化简得
即：
圆心到直线的距离，又
而，所以
故答案为：
3．（2022·江苏·高二）已知圆与相交于两点，则公共弦的长是___________.
【答案】
解：由题意所在的直线方程为：，即，
因为圆的圆心，半径为，
所以，圆心到直线的距离为1，
所以.
故答案为：
4．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）若圆与圆相交，且公共弦长为，则__________.
【答案】
圆与圆的方程相减即为公共弦所在直线方程：
，
圆圆心(0，0)到公共弦距离d＝，
则公共弦长度为，解得a＝．
故答案为：．
5．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知圆，直线的斜率为2，且过点．
(1)判断与的位置关系；
(2)若圆，求圆与圆的公共弦长．
【答案】(1)与相切；(2)
(1)由圆，可得，
所以圆心为，半径，
直线的方程为，即．
因为圆心到的距离为，
所以与相切．
(2)联立方程可得，作差可得，
即，即公共弦所在直线的方程为．
易知圆的半径，圆心到直线的距离为，
则公共弦长．
6．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（文））已知圆与．
(1)过点作直线与圆相切，求的方程；
(2)若圆与圆相交于、两点，求的长．
【答案】(1)或(2)
(1)解：圆的方程可化为：，即：圆的圆心为，半径为．
若直线的斜率不存在，方程为：，与圆相切，满足条件．
若直线的斜率存在，设斜率为，方程为：，即：
由与圆相切可得：，解得：
所以的方程为：，即：
综上可得的方程为：或．
(2)联立两圆方程得：，
消去二次项得所在直线的方程：，
圆的圆心到的距离，
所以.
直线与圆
的位置关
系的图象
直线与圆的
位置关系
相交
相切
相离
图象
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相交。
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相切。
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相离。
图象
位置关系
图象
位置关系
外
离
外
切
相
交
内
切
内
含