第08讲 拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题（讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：求三角形面积（定值问题）
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
高频考点三：求三角形面积最值
高频考点四：求三角形面积取值范围
第三部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、三角形面积的计算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
2、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式，再代入面积公式.
3、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理，，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：求三角形面积（定值问题）
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角C；
(2)若，的面积，求S.
【答案】(1)(2)
(1)因为，所以，
所以，
由正弦定理得.
因为，所以.
因为，所以，所以，则.
(2)由，根据面积公式，得，所以.
由余弦定理得，整理得，即，
所以，.
所以的面积
2．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的面积为，，求的面积.
【答案】(1)(2)
(1)因为，
由正弦定理，得，整理得，
由余弦定理，得.
因为，所以.
(2)设外接圆的半径为，则，所以.
由正弦定理，得，所以.
因为，，所以是等边三角形.
所以的面积为.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若点D在边BC上，且，，求△的面积.
【答案】(1)；(2).
(1)由已知及正弦定理得：，又，
∴，又，
∴，则，而，
∴，则，故，得.
(2)由，，则.
法一：在△中，，①
在△中，，②
∵，
∴，③
由①②③得：，又，得，
∴，不妨设，，
在△中，由余弦定理可得，，得，
所以.
法二：.
∵△的边BD与△的边DC上的高相等，
∴，由此得：，即，不妨设，，
在△中，由余弦定理可得，，得，
所以.
4．（2022·河南三门峡·模拟预测（文））已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)(2)
(1)解：由题意得：
由正弦定理得，
所以，
所以
又因为，所以.
所以 ，；
(2)若，由正弦定理，得，
则，，
则，
所以.
5．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．
在中，角，，所对的边分别为，，，且________．
(1)求角的大小；
(2)已知，为中点，且，求面积．
【答案】(1)选①；选②；选③
(2)选①；选②；选③
(1)解：选①：，
由正弦定理可得：，，，
由余弦定理可得，所以，
选②：，
由正弦定理得：，
所以，
，
所以，，，
选③：，
由正弦定理可得：，
可得：
可得：，
，，解得，
，．
(2)解：，为的中点，，
，，
，即，
，，
（另一值不符合题意，舍去，，
在中，由余弦定理有，解得，
．
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
1．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个填入横线上并解答．
在锐角三角形中，已知角，，的对边分别为，，c，．
(1)求角；
(2)若的面积为，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)(2)
(1)选择①：
因为，所以，
由正弦定理得，，
即，即，即，
即．因为，
又为锐角，所以．
选择②：
因为，
由正弦定理得，，
即．
又，
所以．
因为，所以，
又为锐角，所以，．
(2)因为，
所以，则．
(法一)由余弦定理得，．①
因为为锐角三角形，所以即
将①代入上式可得即解得．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
即，即的取值范围为．
(法二)由正弦定理得，
又，所以．
因为为锐角三角形，所以解得
因为，所以，，
即，解得．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
即，即的取值范围为．
2．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且三角形外接圆半径为.
(1)求C的大小；
(2)若的面积为，求的值.
【答案】(1);(2).
(1)因为，所以由正弦定理得,
所以，
所以,
即
，，，.
(2)因为的面积为，所以，解的，
三角形外接圆半径为，，解得，
由余弦定理可得，，所以，
,
.
3．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））如图，在中，，，是边上一点.
(1)若是以为斜边的等腰直角三角形，求的长；
(2)若是边的中点，的面积为，求的长.
【答案】(1)；(2).
(1)由，，是以为斜边的等腰直角三角形
所以，，，
则.
在△中，由正弦定理知，则.
(2)由，则.
又是边的中点，
所以，
则，
故.
4．（2022·河南郑州·高一期中）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，，且．
(1)求角A
(2)若c＝2，且△ABC的面积为，求AC边上的中线BM的大小．
【答案】(1)(2)
(1)因为，，，所以．
由正弦定理得．
因为，所以，所以．
因为，所以；
(2)因为△ABC的面积为．所以．
因为c＝2．．所以．
在三角形ABM中，∵M为AC的中点．∴，由余弦定理得
．
所以．
5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知.以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)(2)
(1)解：由，
得，
即，
即
即，∵，∴，
由正弦定理得，
∵，∴，∴，
∵，∴.
(2)解：如图，连接､，则，，
正面积，∴，
而，则，
∴中，由余弦定理得：，
有，则，
在中，，，由余弦定理得，则，
∴，，∴，所以的周长为.
高频考点三：求三角形面积最值
1．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）中，
(1)若
(2)求三角形面积的最大值
【答案】(1)1(2)
(1)已知，，由余弦定理有：，
，所以.
(2)由余弦定理有，，当且仅当“”时取等，所以.所以，三角形面积的最大值为：.
2．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（理））在中，，分别为内角，的对边长，设向量，，且有．
(1)求角的大小；
(2)若，求三角形面积的最大值．
【答案】(1)(2)
(1)由得：；即
因为，所以
(2)由得：
又∴
∴
∴ .
三角形面积的最大值为.
3．（2022·上海·高三专题练习）已知.
（1）若，求的取值范围；
（2）设的三边分别是，，，周长为2，若，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）．
（1）
，又，所以，
，故的取值范围为．
（2）由可得，，而，所以，解得．由于，又，所以，化简可得，，
而，即，所以，当且仅当时取等号，解得（舍去）或，即有，
故面积的最大值为．
4．（2022·河南·高三阶段练习（理））在中，所对的边分别为，向量，且.
（1）求角A的大小；
（2）若外接圆的半径为2，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
（1）依题意得：，则，
∴，又，
∴，，故.
（2）法一：由正弦定理得，，
∴面积
由得：，则，
∴，故，即时，.
法二：由正弦定理得：，由余弦定理得：，
∴，当且仅当时取等号，
∴，.
5．（2022·福建省厦门第六中学高一阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
(1)求A；
(2)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)；(2).
(1)解：在中，因为，
所以由正弦定理有，
即
，
所以，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
所以，解得：.
(2)解：因为，所以由（1）及余弦定理可得，
则，即，
，则，即，
即，当且仅当时，取等号，所以，
所以的面积的最大值为.
6．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知等腰三角形ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，c(c＋b)＝(a＋b)(a－b)．
(1)求A和b；
(2)若点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF＞BE，在运动过程中始终有，求△EAF面积的最小值．
【答案】(1)(2)
(1)由正弦定理得：即： (R为三角形ABC的外接圆半径)，
故 ，
由 得： ，
则 ，因为 ，故 ；
由等腰三角形ABC可得 ，故 ；
(2)由（1）知： ，
由点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF>BE，在运动过程中始终有 ，
知点在点的左边,如图：
设 ，不变，可知,
在中，由正弦定理可得，
，
在中，由正弦定理可得，
，
故
，，
，
三角形的面积的最小值为，此时．
7．（2022·福建·厦门双十中学高一期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知，，，.
(1)若时，求护栏的长度（△MNC的周长）；
(2)当为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？
【答案】(1)；(2)，最小值为.
(1)由，，，则，
所以，，则，
在△ACM中，由余弦定理得，则，
所以，即，又，
所以，则，
综上，护栏的长度（△MNC的周长）为.
(2)设，
在△BCN中，由，得，
在△ACM中，由，得，
所以，
而，
所以，仅当，即时，有最大值为，
此时△CMN的面积取最小值为.
8．（2022·上海徐汇·二模）某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区．设．
(1)求、的长（用的代数式表示）；
(2)为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？
【答案】(1)米，米；
(2)当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.
(1)由题意得，米，，则，
又由，，
，所以；
在中，由正弦定理得：
，即米；
同理，在中，
，即米；
综上所述：米，米.
(2)由（1）知，综米，米，
所以小老虎休息区面积为:
化简得：
又，，
则当，即时，取得最小值；
此时小老虎活动区面积取得最大值，即
平方米.
综上所述：
当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.
高频考点四：求三角形面积取值范围
1．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期中）已知的内角､､所对的边分别为､､，且，.
(1)求和的大小；
(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围.
【答案】(1)，(2)
(1)因为，
由正弦定理得，，即，
由余弦定理得，，所以，
又，所以.
因为，由余弦定理得，
，
可得
所以，.
(2)由（1）知，，由正弦定理得，
，.
因为为锐角三角形，所以，得.
从而的面积
，
又，，所以，
从而的面积的取值范围为.
2．（2022·四川绵阳·高一期中）在中，内角的对边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围．
【答案】(1)；(2).
(1)解：由得，
即，
又，所以
因为，故.
(2)解： ，
由正弦定理知：.
因为是锐角三角形，所以,
所以，
于是，则.
故.
3．（2022·浙江·瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习）中，角所对的边分别为，已知，且.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)解：由题意，向量，
因为，可得，
又由正弦定理得，
因为，所以，所以，
即，所以，
可得，所以或，
又因为，所以.
(2)解：由（1）结合正弦定理，可得，
所以，
所以，
又由为锐角三角形，且，则，解得，
因为在单调递增，所以，
所以，即.
4．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）在中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若为锐角三角形，且c＝1，求的面积S的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)由已知及正弦定理，得，
即，即，即．
由余弦定理，得，因为，所以．
(2)因为，c＝1，由正弦定理，
得
所以
因为为锐角三角形，则，
从而，所以
5．（2022·广东茂名·高一阶段练习）在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC的面积S的取值范围．
【答案】(1)60°；(2)﹒
(1)∵，
∴由正弦定理得，即，即，
即，
由余弦定理得，∵，∴；
(2)∵B=60°，∴，即A=120°-C，又∵，
∴由正弦定理得，
∴，
∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，
从而，∴．
6．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求角C的大小；
(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)或(2)
(1)由正弦定理可得
整理得
因为，所以，
所以，所以或
(2)因为，所以，
由正弦定理可得
因为是锐角三角形，
所以，所以
所以
所以，
可得
即面积的取值范围为
7．（2022·江苏省苏州第十中学校高一期中）已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
(1)求角C
(2)若，，为角C的平分线，求的长；
(3)若，求锐角面积的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
(1)解：由及正弦定理得
所以
∴，∴
∵，∴
(2)解：设由得
.
解得，即角平分线的长度为
(3)解：设外接圆半径为R，由
，即，即，∴
所以的面积
∵，∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴，∴，
∴
第三部分：高考真题感悟
1．（2021·北京·高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
2．（2019·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1) ;(2).
(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得.
又应用正弦定理，，
由三角形面积公式有：
.
又因,故，
故.
故的取值范围是
3．（2017·上海·高考真题）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．
【答案】（1）；（2）
（1）依题意，由得，令得.所以的单调递增区间.
（2）由于，所以为锐角，即.由，得，所以.
由余弦定理得，，解得或.
当时，，则为钝角，与已知三角形为锐角三角形矛盾.所以.
所以三角形的面积为.
4．（2013·湖北·高考真题（文））在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cs2A﹣3cs（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
【答案】（1） （2）
试题解析：（1）由cs 2A－3cs(B＋C)＝1，
得2cs2A＋3cs A－2＝0，
即(2cs A－1)(cs A＋2)＝0，
解得cs A＝或cs A＝－2(舍去)．
因为0（2）由S＝bcsin A＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝25＋16－20＝21，故a＝.
从而由正弦定理得sin B sin C＝sin A×sin A＝sin2A＝×＝.
5．（2015·山东·高考真题（理））设.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间是；
单调递减区间是（Ⅱ） 面积的最大值为
试题解析：
解：（Ⅰ）由题意知
由 可得
由 可得
所以函数 的单调递增区间是 ；
单调递减区间是
（Ⅱ）由 得
由题意知为锐角，所以
由余弦定理：
可得：
即： 当且仅当时等号成立.
因此
所以面积的最大值为