第08讲 拓展一：分离变量法解决导数问题（讲+练）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数范围
①完全分离参数法
②部分分离参数法
高频考点二：已知零点个数求解参数范围
①完全分离参数法
②部分分离参数法
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第08讲 拓展一：分离变量法解决导数问题（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、分离变量法
在处理含参的函数不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程，转化为这样就将把研究含参函数与轴的位置关系的问题转化为不含参的函数与动直线的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。
（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；
（2）解题过程中可能遇到的问题：
①参数无法分离；
②参数分离后的函数过于复杂；
③讨论位置关系时可能用到的函数极限，造成说理困难.
2、分类：
分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种
注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！
3、常见题型1：恒成立/存在问题求解参数范围
核心知识点：将与0的大小关系转化成和的大小关系
①恒成立
②恒成立
③恒成立
④恒成立
4、常见题型2：已知零点个数求解参数范围
核心知识点：
将转化成，应用导数方法绘制函数的大致图象（注意绘制图象时，可能需要用到极限思想，才能精确确定图象的轮廓）.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2021·江苏·高二单元测试）若函数在区间上只有一个零点，则常数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2009·福建·高考真题（文））若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是_________
3．（2015·浙江金华·高二期中（理））若对恒成立，则实数的取值范围是：___________．
4．（2022·全国·高三专题练习）若存在，使得成立，则实数的取值范围是___________.
5．（2022·四川省泸县第四中学高二阶段练习（理））若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________.
6．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数范围
①完全分离参数法
1．（2022·江西·临川一中高二期末（文））已知不等式只有一个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·新疆昌吉·高三阶段练习（理））若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数，若不等式恒成立，则a的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．e
4．（2022·山东省东明县第一中学高二阶段练习）已知函数.（1）当时，的极小值为______；（2）若，在上恒成立，则实数a的取值范围为______.
5．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）若对恒成立，则的取值范围是__________;
6．（2022·江苏·金陵中学高二期末）已知函数f(x)＝ax－2lnx．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
7．（2022·广西·宾阳中学高二阶段练习（理））已知函数．
(1)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
(2)若在时恒成立，求实数的取值范围．
8．（2022·陕西榆林·三模（理））已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求的取值范围．
9．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
②部分分离参数法
1．（2022·广东·铁一中学高二阶段练习）已知函数，若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式恰有2个整数解，求实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
（1）当时，求函数的最值；
（2）若存在唯一整数，使得，求实数的取值范围．
高频考点二：已知零点个数求解参数范围
①完全分离参数法
1．（2022·全国·高二期末）已知函数若函数有三个零点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知函数，若有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3.（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知函数有唯一零点，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．0D．1
4．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习（理））若函数存在零点，则实数a的取值范围是______．
5．（2022·福建·启悟中学高二阶段练习）函数仅有一个零点，则实数的取值范围是_________．
6．（2022·四川宜宾·二模（文））已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在上有两个零点，求的取值范围．
7．（2022·内蒙古包头·一模（文））已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有三个零点，求a的取值范围.（注：）
8．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数，则方程的根为________．若函数有三个零点，则实数a的取值范围是________．
②部分分离参数法
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义为R的奇函数满足：，若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数是上的奇函数，且当时，，若关于的方程恰有四个互不相等的实数根，则实数的取值范围是___________.
4．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若存在，，…，，使得，则n的最大值为______.
5．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知若方程有一个实数根，则实数的取值范围是___________.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有个1零点；
③存在负数，使得恰有个3零点；
④存在正数，使得恰有个3零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
2．（2020·全国·高考真题（理））已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
3．（2021·全国·高考真题（理））已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
4．（2020·浙江·高考真题）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
5．（2020·全国·高考真题（文））已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
第五部分：第08讲 拓展一：分离变量法解决导数问题（精练）
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，直线与函数的图象分别交于点，若对任意，不等式成立，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
3．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）若函数在内单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高二）若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全国·高二）若关于的方程有且只有2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数且关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2022·全国·高三专题练习）方程在上的实数根的个数为___________.
10．（2022·河南·高三阶段练习（理））若不等式在上仅有一个整数解，则a的取值范围是______．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是____.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知的最小值为0，则正实数的值为__．
三、解答题
13．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围.
14．（2022·全国·高三专题练习）若存在x∈，不等式2xln x＋x2－mx＋3≥0成立，求实数m的取值范围．
15．（2022·宁夏银川·一模（文））已知函数在处的切线为.
(1)求实数a的值及函数的单调区间；
(2)用表示不超过实数t的最大整数，如：，，若时，，求的最大值.
16．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知.
（1）若，求的极值.
（2）若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.