重难点突破09 函数零点问题的综合应用（八大题型）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
2、函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将整理变形成的形式，通过两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.
4、利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
题型一：零点问题之一个零点
例1．（2023·江苏南京·南京市第十三中学校考模拟预测）已知函数,.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）设，.
①求证：函数存在零点；
②设，若函数的一个零点为.问：是否存在，使得当时，函数有且仅有一个零点，且总有恒成立？如果存在，试确定的个数；如果不存在，请说明理由.
例2．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知函数，，在上有且仅有一个零点.
(1)求的取值范围；
(2)证明：若，则在上有且仅有一个零点，且.
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，有且只有一个零点；
(3)若在区间各恰有一个零点，求的取值范围.
变式1．（2023·广东茂名·高三统考阶段练习）已知，函数，.
(1)证明：函数，都恰有一个零点；
(2)设函数的零点为，的零点为，证明.
题型二：零点问题之二个零点
例4．（2023·海南海口·统考模拟预测）已知函数.
(1)求的最小值；
(2)设.
（ⅰ）证明：存在两个零点，；
（ⅱ）证明：的两个零点，满足.
例5．（2023·甘肃天水·高三天水市第一中学校考阶段练习）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，证明：函数有且仅有两个零点，两个零点互为倒数．
例6．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考期中）已知函数．
（1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，，证明：函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若.证明函数有且仅有两个零点；
（2）若函数存在两个零点，证明：.
变式3．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数在其定义域内有两个不同的零点．
（1）求的取值范围；
（2）记两个零点为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围．
变式4．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数，，．
(1)若，求证：
（ⅰ）在的单调减区间上也单调递减；
（ⅱ）在上恰有两个零点；
(2)若，记的两个零点为，求证：．
题型三：零点问题之三个零点
例7．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数有三个零点.
(1)求的取值范围；
(2)设函数的三个零点由小到大依次是.证明：.
例8．（2023·广东深圳·校考二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)①当时，试证明函数恰有三个零点；
②记①中的三个零点分别为，，，且，试证明.
例9．（2023·广西柳州·统考三模）已知．
（1）若函数有三个不同的零点，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的前提下，设三个零点分别为且，当时，求实数a的取值范围．
变式5．（2023·贵州遵义·遵义市南白中学校考模拟预测）已知函数（，）.
（1）若，且在内有且只有一个零点，求的值；
（2）若，且有三个不同零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
变式6．（2023·浙江·校联考二模）设，已知函数有个不同零点.
(1)当时，求函数的最小值：
(2)求实数的取值范围；
(3)设函数的三个零点分别为、、，且，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列.
变式7．（2023·山东临沂·高三统考期中）已知函数和有相同的最大值.
(1)求，并说明函数在（1，e）上有且仅有一个零点；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
题型四：零点问题之max，min问题
例10．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数．
(1)当时，求函数在上的极值；
(2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．
例11．（2023·四川南充·统考三模）已知函数，．
(1)当时，求函数在上的极值；
(2)用表示，中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．
例12．（2023·四川南充·统考三模）已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)用表示，中的最大值，记函数，当时，讨论函数在上的零点个数.
变式8．（2023·广东·高三专题练习）已知函数，，.
(1)若函数存在极值点，且，其中，求证：；
(2)用表示m，n中的最小值，记函数，，若函数有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)若直线与曲线相切，求a的值；
(2)用表示m，n中的最小值，讨论函数的零点个数．
变式10．（2023·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数.
(1)若过点可作的两条切线，求的值.
(2)用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数.
题型五：零点问题之同构法
例13．已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围
例14．已知．
（1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围．
（2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围．
例15．已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围．
题型六：零点问题之零点差问题
例16．已知关于的函数，与，在区间上恒有．
（1）若，，，求的表达式；
（2）若，，，，求的取值范围；
（3）若，，，，，，求证：．
例17．已知函数．
（1）如，求的单调区间；
（2）若在，单调增加，在，单调减少，证明：．
例18．已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当，时，函数有两个极值点，，证明：．
题型七：零点问题之三角函数
例19．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知函数．
(1)若对时，，求正实数a的最大值；
(2)证明：；
(3)若函数的最小值为m，试判断方程实数根的个数，并说明理由．
例20．（2023·全国·高三专题练习）设函数.
(1)证明：当时，；
(2)记，若有且仅有2个零点，求的值.
例21．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知，且0为的一个极值点．
(1)求实数的值；
(2)证明：①函数在区间上存在唯一零点；
②，其中且．
变式11．（2023·山东济南·济南市历城第二中学校考二模）已知，（n为正整数，）．
(1)当时，设函数，，证明：有且仅有1个零点；
(2)当时，证明：．
题型八：零点问题之取点技巧
例22．已知函数为自然对数的底数，且．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
例23．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
例24．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
变式12．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．