重难点突破11 导数中的同构问题（六大题型）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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方法技巧总结一、常见的同构函数图像
方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
3、常见的指数放缩：
4、常见的对数放缩：
5、常见三角函数的放缩：
6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
（1） 且时，有
（2） 当 且时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）
（3）
（4）
（5）
（6）
再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：
（7）；
（8）；
7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有：
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②；
= 3 \* GB3 ③
8、乘法同构、加法同构
（1）乘法同构，即乘同构，如；
（2）加法同构，即加同构，如，
（3）两种构法的区别：
= 1 \* GB3 ①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；
= 2 \* GB3 ②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；
题型一：不等式同构
例1．（2023·四川达州·高二校考阶段练习）已知，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·湖北黄石·高二校考期中）已知．且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2023·陕西榆林·高二校考期末）已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·河南·高二校联考期中）已知，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2023·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
题型二：同构变形
例4．（2023·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
题型三：零点同构
例5．（2023·全国·高三专题练习）设，满足，则（ ）
A．B．C．D．6
例6．（2023·全国·高二专题练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（ ）
A．B．eC．D．1
例7．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
变式4．（2023·安徽安庆·高三校联考阶段练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.
（1）求的值；
（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.
变式5．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中，则称为区间上的“倍缩函数”.
(1)证明：函数为区间上的“倍缩函数”；
(2)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围；
(3)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
变式7．（2023·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数和有相同的最大值，并且.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
变式9．（2023·江苏常州·高三统考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.
(1)求实数的值；
(2)证明：存在直线，其与两曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
例8．（2023·全国·高三专题练习）完成下列各问
（1）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（2）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（3）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（4）已知不等式对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（5）已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是_______；
（6）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（7）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（8）已知不等式，对恒成立，则k的最大值为_______；
（9）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______；
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为___________.
例10．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.
变式10．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为
A．B．C．D．
变式11．设实数，若对任意的，，不等式恒成立，则的最大值为
A．B．C．D．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式13．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若恒成立，求实数的取值范围；
②若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围.
题型五：利用同构求最值
例11．（2023·全国·高二专题练习）“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023·全国·高二期末）已知函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例13．（2023·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数，，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7B．8C．5D．11
变式16．（2023·安徽淮南·统考一模）已知两个实数、满足，在上均恒成立，记、的最大值分别为、，那么
A．B．C．D．
题型六：利用同构证明不等式
例14．已知函数，．
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，证明．
例15．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：在上恒成立；
（3）求证：当时，．
例16．已知函数．
（1）讨论函数的零点的个数；
（2）证明：．
变式17．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：．
变式18．已知函数，函数，，．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
（3）证明：当时，．
函数表达式
图像
函数表达式
图像
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点