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重难点突破02 函数的综合应用（九大题型）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）
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这是一份重难点突破02 函数的综合应用（九大题型）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考），文件包含重难点突破02函数的综合应用原卷版docx、重难点突破02函数的综合应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
2、函数的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数，图（2）函数
（1）当为奇数时，函数的图象是一个“”型，且在“最中间的点”取最小值；
（2）当为偶数时，函数的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
若为等差数列的项时，奇数的图象关于直线对称，偶数的图象关于直线对称．
3、若为上的连续单峰函数，且为极值点，则当变化时，的最大值的最小值为，当且仅当时取得．
题型一：函数与数列的综合
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，满足，，设数列的前项和为，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，且，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．数列是递增数列D．
变式3．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）无穷数列满足：，且对任意的正整数n，均有，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为严格减数列B．存在正整数n，使得
C．数列中存在某一项为最大项D．存在正整数n，使得
题型二：函数与不等式的综合
例4．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式，解集为___________.
例5．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契年~年）以兔子繁殖数量为例，引人数列：，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为__________．
例6．（2023·辽宁·高三校考阶段练习）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的最小值为______________.
变式4．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型三：函数中的创新题
例7．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中．
例8．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
(1)判断函数和是否具有C关系；
(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．
例9．（2023·重庆·高三统考阶段练习）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；
①；
②；
③.
(2)求证：，.
变式5．（2023·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点．
(1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由
(2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值：
(3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
例10．（2023·浙江绍兴·高三浙江省柯桥中学校考开学考试）已知函数，对于任意的实数a，b，总存在，使得成立，则当m取最大值时，（ ）
A．7B．4C．D．
例11．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实数的最大值为（ ）
A．－1B．0C．D．1
例12．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若对任意的正实数，总存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式7．（2023·高一课时练习）已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
变式8．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数，且，满足，当时，设函数的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）若a、，且对于时，不等式均成立，则实数对_________．
题型五：倍值函数
例13．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是
A．函数存在“和谐区间”
B．函数不存在“和谐区间”
C．函数存在“和谐区间”
D．函数（，）不存在“和谐区间”
例15．（2023·安徽·高三统考期末）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有
①； ②；
③； ④
A．①②③④B．①②④C．①③④D．①③
变式10．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”.下列结论错误的是（ ）
A．函数（）存在1级“理想区间”
B．函数（）不存在2级“理想区间”
C．函数（）存在3级“理想区间”
D．函数，不存在4级“理想区间”
变式11．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
题型六：函数不动点问题
例16．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例17．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
例18．（2023·江苏·高二专题练习）若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数为自然对数的底数，定义在R上的连续函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型七：函数的旋转问题
例19．（2023·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（ ）
A．πB．C．D．
例20．（2023·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）
A．B．C．D．
例21．（2023·全国·高三专题练习）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（ ）
①f（x）是奇函数；
②f（x）的图象过点或；
③f（x）的值域是；
④函数y＝f（x）－x有两个零点．
A．4个B．3个C．2个D．1个
变式14．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
题型八：函数的伸缩变换问题
例22．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例23．（2023·全国·高三专题练习）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，当时，，设在上的最大值为则数列的前n项和的值为（ ）
A．B．C．D．
变式15．（2023·甘肃·高三西北师大附中阶段练习）定义域为R的函数满足，当时， ，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
题型九：V型函数和平底函数
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有__个元素．
例26．（浙江省衢州市2022-2023学年高三数学试题）已知等差数列满足：，则的最大值为（ ）
A．18B．16C．12D．8
例27．（上海市川沙中学2022-2023学年高三第二学期数学试题）等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值为50B．的最小值为50
C．的最大值为51D．的最小值为51
变式16．（上海市青浦区2023届高三二模数学试题）等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值是50B．的最小值是50
C．的最大值是51D．的最小值是51
变式17．（浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三第一次联考数学试题）设等差数列，，…，（，)的公差为，满足，则下列说法正确的是
A．B．的值可能为奇数
C．存在，满足D．的可能取值为
1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
2、函数的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数，图（2）函数
（1）当为奇数时，函数的图象是一个“”型，且在“最中间的点”取最小值；
（2）当为偶数时，函数的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
若为等差数列的项时，奇数的图象关于直线对称，偶数的图象关于直线对称．
3、若为上的连续单峰函数，且为极值点，则当变化时，的最大值的最小值为，当且仅当时取得．
题型一：函数与数列的综合
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，满足，，设数列的前项和为，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，且，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．数列是递增数列D．
变式3．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）无穷数列满足：，且对任意的正整数n，均有，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为严格减数列B．存在正整数n，使得
C．数列中存在某一项为最大项D．存在正整数n，使得
题型二：函数与不等式的综合
例4．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式，解集为___________.
例5．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契年~年）以兔子繁殖数量为例，引人数列：，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为__________．
例6．（2023·辽宁·高三校考阶段练习）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的最小值为______________.
变式4．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型三：函数中的创新题
例7．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中．
例8．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
(1)判断函数和是否具有C关系；
(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．
例9．（2023·重庆·高三统考阶段练习）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；
①；
②；
③.
(2)求证：，.
变式5．（2023·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点．
(1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由
(2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值：
(3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
例10．（2023·浙江绍兴·高三浙江省柯桥中学校考开学考试）已知函数，对于任意的实数a，b，总存在，使得成立，则当m取最大值时，（ ）
A．7B．4C．D．
例11．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实数的最大值为（ ）
A．－1B．0C．D．1
例12．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若对任意的正实数，总存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式7．（2023·高一课时练习）已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
变式8．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数，且，满足，当时，设函数的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）若a、，且对于时，不等式均成立，则实数对_________．
题型五：倍值函数
例13．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是
A．函数存在“和谐区间”
B．函数不存在“和谐区间”
C．函数存在“和谐区间”
D．函数（，）不存在“和谐区间”
例15．（2023·安徽·高三统考期末）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有
①； ②；
③； ④
A．①②③④B．①②④C．①③④D．①③
变式10．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”.下列结论错误的是（ ）
A．函数（）存在1级“理想区间”
B．函数（）不存在2级“理想区间”
C．函数（）存在3级“理想区间”
D．函数，不存在4级“理想区间”
变式11．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
题型六：函数不动点问题
例16．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例17．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
例18．（2023·江苏·高二专题练习）若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数为自然对数的底数，定义在R上的连续函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型七：函数的旋转问题
例19．（2023·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（ ）
A．πB．C．D．
例20．（2023·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）
A．B．C．D．
例21．（2023·全国·高三专题练习）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（ ）
①f（x）是奇函数；
②f（x）的图象过点或；
③f（x）的值域是；
④函数y＝f（x）－x有两个零点．
A．4个B．3个C．2个D．1个
变式14．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
题型八：函数的伸缩变换问题
例22．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例23．（2023·全国·高三专题练习）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，当时，，设在上的最大值为则数列的前n项和的值为（ ）
A．B．C．D．
变式15．（2023·甘肃·高三西北师大附中阶段练习）定义域为R的函数满足，当时， ，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
题型九：V型函数和平底函数
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有__个元素．
例26．（浙江省衢州市2022-2023学年高三数学试题）已知等差数列满足：，则的最大值为（ ）
A．18B．16C．12D．8
例27．（上海市川沙中学2022-2023学年高三第二学期数学试题）等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值为50B．的最小值为50
C．的最大值为51D．的最小值为51
变式16．（上海市青浦区2023届高三二模数学试题）等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值是50B．的最小值是50
C．的最大值是51D．的最小值是51
变式17．（浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三第一次联考数学试题）设等差数列，，…，（，)的公差为，满足，则下列说法正确的是
A．B．的值可能为奇数
C．存在，满足D．的可能取值为
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