广东省深圳市福田区深圳市高级中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份广东省深圳市福田区深圳市高级中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．实数的相反数是（ ）
A．3B．C．D．
2．的值为（ ）
A．2B．C．D．
3．已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．C．D．
4．下列命题中真命题是（ ）
A．三内角之比为的三角形是直角三角形B．三角形的外角等于两个内角的和
C．若有意义，则D．
5．学校篮球场上初三（1）班5名同学正在比赛，将场上五名队员的身高绘制成如图所示的统计图，其中“△”是换人前五名队员的身高，“●”是换人后五名队员的身高，与换人前相比，换人后场上队员的身高( )
A．平均数不变，方差变小B．平均数不变，方差变大
C．平均数变大，方差变小D．平均数变大，方差变大
6．《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ）
A．B．C．D．
7．某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费 用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变支出费用，提高车票价格；建议(Ⅱ)不改变车票价格，减少支出费用.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则下列说法正确的是：
A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B．②反映了建议（Ⅰ)，④反映了建议（Ⅱ）
C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）D．②反映了建议（Ⅱ），④反映了建议（Ⅰ）
8．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，交于点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段（端点除外）上一动点，点D与点C关于x轴对称，过点C作x轴的平行线交的延长线于点F，则线段的最小值是（ ）

A．B．C．D．
10．如图，四边形中，，且，若，则（ ）
A．6B．9C．12D．16
二、填空题
11．点关于轴对称的点坐标为 ．
12．某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某共享单车放在水平地面上的实物图，其示意图如图2所示，都与地面l平行，与平行．已知，则 ．

13．如图，已知函数和图象交于点P，点P的纵坐标为，则关于x、y的方程组的解是 ．
14．如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点D为第一象限内一点，连接且轴，过点且平行于x轴的直线l交于点C，交于点F，连接，，将沿着直线翻折，得到，点E正好落在直线l上，若，则的长为 ．
15．如图，在中，，，D为边上一点，，垂足为E，F在上，且，若，，则的长为 ．
三、解答题
16．计算：．
17．（1）解方程组：．
（2）求不等式的解集．
18．“感受数学魅力，提升数学素养”，某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：
A：，B：，C：．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；
八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88．
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
(3)若八年级共有500名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
19．刻漏是人类最早制造的不完全依赖天象、相对独立运行的计时仪器．刻漏以水等液体（也有少数例外，如水银或沙等）为工作物质，根据流水的量与流逝时间的对应关系，通过漏壶中的水量变化来度量时间的．我国使用刻漏的时间非常早，最早可追溯到中国历史上第一个王朝—夏朝（大约公元前2070年），约在汉武帝时期发明了浮箭漏．如图所示为单级浮箭漏示意图．某兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：

【实验观察】实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到如表：
【探索发现】
（1）在所给的平面直角坐标系中，描出以供水时间x为横坐标，箭尺读数y为纵坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
（3）供水时间达到10小时时，箭尺的读数为多少厘米？
（4）如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）
20．我校举办艺术节活动，对表现优秀的同学进行表彰奖励，计划购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知3本甲型笔记本和5本乙型笔记本共需50元，2本甲型笔记本和3本乙型笔记本共需31元．
(1)求1本甲型笔记本和1本乙型笔记本的售价各是多少元？
(2)学校准备购买这两种类型的笔记本共200本，要求甲型笔记本的本数不超过乙型笔记本的本数的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出花费最低的钱数．
21．[综合实践]请阅读下面材料完成相应的任务．
借助“鲁班尺”三等分角
如图1，“鲁班尺”也称为“木工尺”．木工师傅中有人找到了利用“鲁班尺”三等分任一角的方法．
如图2，在与尺边垂直的尺边上取一点C，使等于尺宽．如图3，任意画一个角，先用班尺画一条到的距离等于尺宽且与平行的直线l，如图4，将鲁班尺绕点O旋转并反复调整，使点A落在直线l上，点C落在上，且尺边经过点O，则沿尺边画出的直线和三等分．
[任务1]在图4中，过点A作，垂足为G．
①比较大小：______（填“＞、＝或＜”）．
②证明：和三等分．
[任务2]爱动脑筋的某同学受到阅读材料中借助“鲁班尺”三等分角方法的启发，想到了通过折叠长方形纸片三等分一个已知角的方法，他的前2个操作步骤如下：
步骤1：如图5，在长方形纸片上折出任意角．将长方形对折，折痕记为，再将长方形对折，折痕记为，展开长方形；
步骤2：如图6，将长方形沿着折叠，点B的对应点恰好落在上，再移动位置并调整使点E的对应点恰好落在上，若，请根据这位同学的操作过程求的度数．
22．如图，中，，E点为射线上一动点，连接，作且．
(1)如图1，过F点作交于D点，求证：；
(2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点；
(3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，则 （直接写出结果）．
学生
平均数
中位数
众数
七年级
86
85
b
八年级
86
a
88
供水时间x（小时）
0
1
2
3
4
箭尺读数y（厘米）
6
12
18
24
30
参考答案：
1．B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：实数的相反数是．
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查了求一个数的立方根，直接根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
3．C
【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，故本选项符合题意；
D、∵，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，注意不等式两边同除以或乘同一个负数，不等号方向发生改变．
4．A
【分析】求出三角形的最大内角、根据三角形外角的性质、二次根式有意义的条件、无理数的估算即可得到解答．此题考查了直角三角形的定义、三角形外角的性质、二次根式有意义的条件、无理数的估算等知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
【详解】解：A．三内角之比为的三角形中最大内角为，即三角形是直角三角形，故选项符合题意；
B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，故选项错误，不符合题意；
C．若有意义，则，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
5．B
【分析】分别求出换人前后的平均数和方差进行比较即可．
【详解】解：换人前平均身高为：，
换人后平均身高为：，
换人前的方差为：
，
换人前的方差为：
，
∵，，
∴平均数不变，方差变大，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方差和平均数的计算，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差．
6．B
【分析】设甲、乙的持钱数分别为x，y，根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组解答即可．
【详解】解：设甲、乙的持钱数分别为x，y，
根据题意可得：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程.
7．C
【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据题意得；（I）的平行于原图象，（II）与原图象纵截距相等，但斜率变大，进而得到答案.
【详解】∵建议（Ⅰ）是不改变支出费用，提高车票价格；也就是也就是图形增大倾斜度，提高价格，
∴③反映了建议（Ⅰ），
∵建议（Ⅱ）是不改变车票价格，减少支出费用，也就是y增大，车票价格不变，即平行于原图象，
∴①反映了建议（Ⅱ）．
故选C．
【点睛】此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键．
8．C
【分析】由作法得平分，然后利用等腰三角形底角相等计算即可．
【详解】由作法得平分，
∴
设
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，解得
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了作角平分线，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质与判定，掌握基本作图是解题的关键．
9．B
【分析】先根据两个三角形全等证明，再说明当最小时最小，然后根据三角形的面积相等求出即可．
【详解】如图所示，连接交x轴于点G，作轴，交x轴于点E．
根据题意可知，．
∵，，
∴≌，
∴，
∴．
当时，最小，即最小．
当时，；当时，，
∴点，点，
∴，，
根据勾股定理，得．
∴，
即，
解得，
则，
∴线段的最小值是．
故选：B．

【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短等，确定点C的位置是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理建立等式，结合，得到的值，利用，即可解题．
【详解】解：记交于点，如图所示：
，
，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
即，
．
故选：D．
11．
【分析】根据关于轴对称的点的坐标特点即可得出答案．
【详解】解：点坐标为，
点关于轴对称的点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，即在直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为；点关于轴对称的点的坐标为．熟练掌握对称点的坐标规律是解题关键．
12．/50度
【分析】利用两直线平行，内错角相等求得的度数，再证明，利用两直线平行，同旁内角互补即可求解．
【详解】解：∵与平行，
∴，
∵，
∴，
∵都与地面l平行，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题，把代入，得出，则两个一次函数的交点；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【详解】解：把代入，
解得，
函数和的图象交于点，
即，同时满足两个一次函数的解析式，
所以关于，的方程组的解是．
故答案为：．
14．5
【分析】本题考查了翻折的性质以及勾股定理的应用，连接，根据可求，进而得；结合即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
由题意得：，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
解得：
故答案为：
15．
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，利用勾股定理可得，最后根据线段和差求解即可得．
【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，
∵，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，实数的运算，先计算二次根式乘法，再根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
17．（1）．（2）．
【分析】（1）本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法或代入消元法，即可解题．
（2）本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的方法，即可解题．
【详解】（1）解：，
由，得③，
由，得，
把代入①得，解得，
∴原方程组的解是．
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
化系数为1得：，
原不等式的解集为．
18．(1)，，
(2)八年级，理由见解析
(3)150名
【分析】（1）八年级10名学生的竞赛成绩中，可求得A等级有2名，C等级有3名，因此将成绩从小到大排列后，处于中间的两个成绩是84和88，根据中位数的计算方法即得答案；八年级10名学生的竞赛成绩中，C等级有3名，由此即可求得m的值；
（2）先比较两个年级的平均数，再比较它们的中位数和众数，即可得到答案；
（3）由样本中优秀人数的占比来估计总体中优秀人数的占比进行计算，即可得到答案．
【详解】（1）由题意知八年级10名学生的竞赛成绩中，A等级有（名），C等级有（名），处于中间的两个成绩是84和88，故； 七年级10名学生的竞赛成绩中，众数；八年级10名学生的竞赛成绩中，等级C有3名，．
故答案为：，，．
（2）（2）八年级的成绩更好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，所以八年级的成绩更好；
（3）（3）（名），
答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数约150名．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，样本估计总体等知识，熟知相关知识是解答本题的关键．
19．（1）见解析；（2）在同一条直线上，；（3）66厘米；（4）
【分析】（1）根据题意描出各点，即可；
（2）观察上述各点的分布规律，得它们在同一条直线上，再利用待定系数法解答，即可求解；
（3）把代入函数解析式，即可求解；
（4）把代入函数解析式，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意，画出图形，如图，

（2）观察上述各点的分布规律，得它们在同一条直线上，
设这条直线所对应的函数表达式为，
根据题意得：，
解得：，
∴这条直线所对应的函数表达式为；
（3）当时，，
∴供水时间达到10小时时，箭尺的读数为66厘米；
（4）当时，，解得：，
∴供水时间为15小时，
∵本次实验记录的开始时间是上午，，
∴当箭尺读数为96厘米时是．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
20．(1)1本甲型笔记本的售价是5元，1本乙型笔记本的售价是7元
(2)当购买甲型笔记本150本，乙型笔记本50本时最省钱，最低费用为1100元
【分析】（1）设1本甲型笔记本的售价是x元，1本乙型笔记本的售价是y元，根据“3本甲型笔记本和5本乙型笔记本共需50元，2本甲型笔记本和3本乙型笔记本共需31元”列方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购买甲型笔记本a本，则购买乙型笔记本本，费用为w元，列出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据一次函数的性质即可得到答案；
此题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用等知识，根据题意准确列出函数关系式和方程组是解题的关键．
【详解】（1）解：设1本甲型笔记本的售价是x元，1本乙型笔记本的售价是y元，
，
解得，
答：1本甲型笔记本的售价是5元，1本乙型笔记本的售价是7元；
（2）设购买甲型笔记本a本，则购买乙型笔记本本，费用为w元，
，
∵要求甲型笔记本的本数不超过乙型笔记本的本数的3倍，
∴，
解得，，
∵，
∴W随x的增大而减小，
∴当时，w取得最小值，此时，，
答：当购买甲型笔记本150本，乙型笔记本50本时最省钱，最低费用为1100元．
21．[任务1]①，②见解析；[任务2]
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，全等三角形的实际应用，熟练的构建几何模型并作出辅助线是解本题的关键；
（1）①由，是尺宽，从而可得答案；②先证明，可得，再证明，可得，从而可得答案；
（2）连接，过点作，，先证明，再证明，可得，可得，从而可得答案．
【详解】解：（1）①由，是尺宽，
∴；
②证明：∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴和OA三等分．
（2）连接，过点作，．
∵，，
∴．
由翻折可知：，，
∴，
又∵，
∴，，
又∵，
∴，
又在长方形中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明：，通过全等三角形的对应边相等得到：，利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系即可得证；
（2）过F点作交于D点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据得到，根据，即可解题；
（3）过F作的延长线交于点D，易证 ，由（1）（2）可知，，可得，即可求得的值，即可解题．
【详解】（1）证明：
在和中，
，
，
即：
（2）证明：如图2，过F点作交AC于D点，
在和中，
，
，
∴ 点为中点；
（3）过F作的延长线交于点D，如
，
由(1)(2)知∶ ，
【点睛】本题考查了比例线段的性质，全等三角形的判定和性质，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，通过已知条件证明三角形全等是解题的关键．