内蒙古自治区乌海市海勃湾区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份内蒙古自治区乌海市海勃湾区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．如图所示的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．平面直角坐标系内，点关于原点对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，5）D．（﹣2，5）
4．如图，是等边三角形的外接圆，的半径为，则等边三角形的边长为（ ）
A．B．C．D．
5．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣B．k＞4C．k＜﹣1D．k＜4
6．如图所示是一个中心对称图形，点为对称中心．若，，，则的长为（ ）

A．4B．C．D．
7．如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O发，沿O-C-D-O．设运动时间为t，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A．B．C．D．
8．将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，为的直径，点C为上的一点，过点C作的切线，交直径的延长线于点D；若，则的度数是（ ）
A．23°B．44°C．46°D．57°
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，经过A，D两点的⊙O与边BC相切于点E，则⊙O的半径为（ ）

A．4B．C．5D．
11．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（ ）
A．B．C．D．
12．在平面直角坐标系中，已知点，，若点C在一次函数的图象上，且为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题
13．方程的解是 ．
14．将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm．
15．如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则 度．
16．已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则＝ ．
17．我市前年的投入资金是万元用于校舍改造，今年投入资金是万元．若设这两年投入改造资金的年平均增长率为，则根据题意可列方程为 ．
18．如图，分别是甲、乙两名同学手中的扑克牌两人在看不到对方牌的前提下，分别从对方手中随机抽取一张牌，若牌上数字与自己手中某一张牌上数字相同，则组成一对．若甲从乙手中抽取一张，恰好组成一对的概率是 ．
19．如图，在中，，将绕顶点道时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值为 ．
20．小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④2a-3b=0；⑤c-4b＞0.你认为其中正确的信息是 .(只填序号)
三、解答题
21．小颖的爸爸只有一张《阿凡达》的电影票，她和哥哥两人都很想去观看．哥哥想了一个办法：拿了8张扑克牌，将数字为2、3、5、9的四张牌给小颖，将数字为4、6、7、10的四张牌给自己，并按如下游戏规则进行：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小颖去；如果和为奇数，则哥哥去．
(1)请用画树状图或列表的方法求小颖去看电影的概率；
(2)哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平．
22．如图，四边形为菱形，点A、B在以点O为圆心的弧上，若．求扇形的面积．
23．某服装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某服装每天可售出20件，为了迎接新春佳节，服装店决定采取适当的促销措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件服装降价1元，那么每天就可多售出2件．
（1）如果服装店想每天销售这种服装盈利1050元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件服装应降价多少元？
（2）每件服装降价多少元时，服装店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
24．如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且；
(1)求证：；
(2)在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？
(3)运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长．
25．如图，等腰梯形中，，动点P从点C出发沿方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
(1)求的长；
(2)设，问当x为何值时的面积达到最大，并求出最大值；
(3)探究：在边上是否存在点M使得四边形是菱形？若存在，请找出点M，并求出的长；不存在，请说明理由．
26．已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B点坐标为．
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段上是否存在这样的点Q使得为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解.
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、即不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形也是中心对称，故本选项符合题意；
故选：D．
2．D
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故选：D．
3．A
【分析】先把抛物线的解析式配成顶点式得到y＝（x﹣2）2+1，然后根据抛物线的性质即可求解．
【详解】∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，1）．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，本题还考查了利用配方法化二次函数的一般式化为顶点式．
4．C
【分析】首先连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，由⊙O是等边△ABC的外接圆，即可求得∠OBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，又由垂径定理即可求得等边△ABC的边长．
【详解】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC=2BD，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BOC=×360°=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB= = 30°，
∵⊙O的半径为3，
∴OB=3，
∴BD=OB•cs∠OBD=2×cs30°=3×=，
∴BC=2BD=3 ，
∴等边△ABC的边长为3，
故选C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆的内接等边三角形，以及三角函数的性质等知识，解题的关键是掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法．
5．A
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0；即可得出关于k的一元一次不等式；解之即可得出结论．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4×1×k2=4k+1＞0，∴k＞﹣．
故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6．D
【分析】根据中心对称图形的特点可知：，再根据含角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，问题随之得解．
【详解】根据中心对称图形的特点可知：，
∵，，
∴在中，，
∵在中，，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的特点，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据中心对称图形的特点得到，是解答本题的关键．
7．C
【分析】根据题意，分P在OC、CD、DO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故图像都是线段，分析选项可得答案．
【详解】根据题意，分3个阶段；
①P在OC之间，∠APB逐渐减小，到C点时， ∠APB为45°，所以图像是下降的线段，
②P在弧CD之间，∠APB保持45°，大小不变，所以图像是水平的线段，
③P在DO之间，∠APB逐渐增大，到O点时， ∠APB为90°，所以图像是上升的线段，
分析可得：C符合3个阶段的描述；
故选C．
【点睛】本题主要考查了函数图象与几何变换，解题的关键是将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．
8．D
【分析】根据抛物线绕原点O旋转得到旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称，即可得到答案；
【详解】解：∵抛物线绕原点O旋转，
∴旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称，
∴旋转后的抛物线：，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是根据原点旋转得到关于原点对称．
9．B
【分析】连接，由切线的性质可得由圆周角定理可求得的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求得答案．
【详解】解：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键．
10．D
【分析】连结EO并延长交AD于F，连接AO，由切线的性质得OE⊥BC，再利用平行线的性质得到OF⊥AD，则根据垂径定理得到AF=DF=AD=6，由题意可证四边形ABEF为矩形，则EF=AB=8，设⊙O的半径为r，则OA=r，OF=8-r，然后在Rt△AOF中利用勾股定理得到（8-r）2+62=r2，再解方程求出r即可．
【详解】如图，连结EO并延长交AD于F，连接AO，

∵⊙O与BC边相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD，
∴OF⊥AD，
∴AF=DF=AD=6，
∵∠B=∠DAB=90°，OE⊥BC，
∴四边形ABEF为矩形，
∴EF=AB=8，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OF=8-r，
在Rt△AOF中，∵OF2+AF2=OA2，
∴（8-r）2+62=r2，
解得r=，
故选D．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和矩形的性质．解决本题的关键是构建直角三角形，利用勾股定理建立关于半径的方程．
11．C
【详解】解：抛物线的开口向下，则a＜0；①
抛物线的对称轴为x=1，则-=1，b=-2a；②
抛物线交y轴于正半轴，则c＞0；③
抛物线与x轴有两个不同的交点，则：△=b2-4ac＞0；故D错误；
由②知：b＞0，b+2a=0；故B错误；
又由①②③得：abc＜0；故A错误；
由图知：当x=-1时，y＜0；
即a-b+c＜0，b＞a+c；故C正确；
故选C．
12．D
【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
设．构建方程即可解决问题．
【详解】解：设．
①当时，点在线段的垂直平分线上，此时．
②当时，，
解得：，
或，
③当时，，
解得，
或；
综上所述，满足条件的点有5个，
故选：D．
13．
【分析】此题考查了因式分解法解一元二次方程．首先移项，再提取公因式x，因式分解即可求解．
【详解】解：
移项得，
因式分解得，
∴或，
解得．
故答案为：
14．2
【分析】根据弧长公式、圆锥的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，得圆锥底面周长cm，
∴这个圆锥底面圆的半径cm，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了扇形、圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握弧长公式、圆锥的性质，从而完成求解．
15．80
【分析】先根据折叠的性质可得，根据等边对等角的性质可得，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．
【详解】解：是沿直线翻折变换而来，
，
是边的中点，
，
，
，
，
．
故答案为：80．
【点睛】本题考查的是折叠的性质，以及等边对等角、三角形内角和定理，熟知折叠的性质是解答此题的关键．
16．3
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，
根据根与系数的关系有：x1+x2＝3，x1x2＝1，
所以＝＝3．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键．
17．
【分析】因两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则去年投入资金是578（1+x），今年的投入资金是578（1+x）2，所以可以列出方程．
【详解】设这两年投入改造资金的年平均增长率为x，
则去年投入资金是578(1+x)，
今年的投入资金是，
所以可以列出方程：
故答案为
【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.
18．
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出组成一对的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中组成一对的结果数为3，
所以甲从乙手中抽取一张，恰好组成一对的概率．
故答案为：．
19．6
【分析】连接CN.根据直角三角形斜边中线的性质求出CN=A′B′=4，利用三角形的三边关系即可解决问.
【详解】连接CN.
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,BC=4∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=A′B′=2BC=8，
∵NB′=NA′，
∴CN=A′B′=4，
∵CM=BM=2，
∴MN⩽CN+CM=6，
∴MN的最大值为6，
故答案为6.
【点睛】此题考查三角形三边关系，直角三角形斜边上的中线，解题关键在于作辅助线.
20．①②③⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】因为函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，
所以c＜0，∴①正确；
∵函数图象开口向上，
∴a＞0，由①知，c＜0，
由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x=-＞0，故b＜0，故abc＜0，∴②正确；
∵把x=-1代入函数解析式，由函数的图象可知，x=-1时，y＞0即a-b+c＞0，∴③正确；
∵a＞0，b＜0，
∴2a＞3b，
∴2a-3b＞0，∴④错误；
∵函数的对称轴为x=-＞0，a＞0，
∴-b＜2a，
∴2a+b＞0，∴⑤正确；
其中正确信息的有①②③⑤．
21．(1)
(2)不公平，规则见解析
【分析】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．
（1）利用画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两数和为偶数的结果数，然后根据概率公式可计算出小颖去看电影的概率；
（2）由于小颖去看电影的概率，哥哥去看电影的概率，则可判断游戏规则不公平，然后交换4和5两张牌可使游戏规则公平．
【详解】（1）解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两数和为偶数的结果数为6，
所以小颖去看电影的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则不公平．
小颖去看电影的概率，哥哥去看电影的概率，
∵
∴哥哥设计的游戏规则不公平．
修改规则：将数字为2、3、4、9的四张牌给小颖，将数字为5、6、7、10的四张牌给自己，小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小颖去；如果和为奇数，则哥哥去．
22．
【分析】本题考查了扇形面积公式以及菱形的性质，根据菱形的性质、圆的半径相等结合角的计算求出∠AOC的度数是解题的关键．连接，根据菱形的性质结合可得出为等边三角形，通过角的计算可求出，再利用扇形的面积公式即可求出结论．
【详解】解：连接，如图所示．
∵四边形为菱形，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
∴
23．（1）服装店应该降价25元；（2）每件服装降价15元服装店可获得最大利润，最大利润是1250元
【分析】（1）设每件服装降价x元，利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种服装利润列出方程解答即可；
（2）设每件服装降价a元，可获利W元，利用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．
【详解】解：（1）设每件服装降价x元,根据题意,
得(100−60−x)(20+2x)=1050，
解得：
∵要使顾客得到较多的实惠，
∴ x=25，
答：服装店应该降价元．
（2）设每件服装降价a元，可获利W元，
根据题意，得
化简得：
∴
答：每件服装降价15元服装店可获得最大利润，最大利润是1250元
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
24．(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】本题是几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
（1）利用已知条件，可证出，即；
（2）根据全等的性质得出，进而得出，即，可证，可得结论；
（3）过C作，交延长线于G，先证四边形是正方形，由（2）结论可知，，设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可求出的长．
【详解】（1）证明：在正方形中，
，，，
．
；
（2）解：成立，理由如下：
，
．
．
即．
，
．
，，，
．
．
；
（3）解：如图，过C作，交延长线于G，
在直角梯形中，，，
，，
四边形为正方形．
．
，
由（2）结论可知，，
，
设，则，
，．
在中，，
，
解得：．
．
25．(1)5
(2)，
(3)存在，
【分析】（1）过点作于点，利用等腰梯形中，，，，即可得出的长，进而得出的长；
（2）可通过求的面积与的函数关系式来得出的最大值．由于、速度相同，因此，那么可用表示出，而中，边上的高，由此可根据三角形的面积公式求出与之间的函数关系式，可根据函数的性质求出的最大值以及对应的的值．
（3）假设存在这样的点，那么就是的垂直平分线，可得出、，然后证即可．根据（2）中得出、的表达式，可求出，即是的中点，不难得出为等边三角形，因此，因此，即，在直角三角形中，为斜边的中点，因此，即可得出四边形是菱形．那么此时根据可求出的长．
【详解】（1）解：如图1，过点作于点，
等腰梯形中，，，，
，，
；
（2）解：如图2，
，为边上的高，依题意，
的面积可表示为：
，
由题意知，，
当时（满足，．
（3）解：如图3，
存在满足条件的点，则必须等于．
于是，．
此时，点、的位置如图3所示，恰为等边三角形．
过点作于点，延长交于点，连接、，则垂直平分，
．
易知．
．
又，
即
四边形是菱形
所以存在满足条件的点，且．
【点睛】本题是一道压轴题，也是一道开放探索题，第（3）问是条件开放，第（4）问是结论开放．本题既考查了学生的分析作图能力，又考查学生综合运用平行线、等腰梯形、等边三角形、菱形、二次函数等知识．这里设计了一个开放的、动态的数学情境，为学生灵活运用基础知识、分析问题、解决问题留下了广阔的探索、创新的思维空间．
26．(1)
(2)存在，点，，
【分析】（1）根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式，然后把点B的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；
（2）先根据顶点坐标求出点D的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得到的长度，根据勾股定理列式求出的长度，然后根据锐角三角函数求出的正弦值与余弦值，再分三种情况求解：①时，②时，③时．
【详解】（1）∵抛物线顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为，
∵抛物线过点，
∴，
解得，
所以，抛物线解析式为，
即；
（2）存在点，，．
理由如下：∵抛物线顶点坐标为，
∴点D的坐标为，
令，则，
令，则，
整理得，，
解得，，
∴点，，
∴，，，
在中，根据勾股定理，，
∴，
，
①时，过作轴于点，
根据等腰三角形三线合一的性质，，
，
，
所以，，
所以，点的坐标为；
②时，过作轴于点，
，
，
所以，，
所以，点的坐标为；
③时，过作轴于点，
则，
所以，，
∵轴，，
∴，
∴，
即，
解得，
所以，点的坐标为，
综上所述，在线段上存在点，，，使得为等腰三角形．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，数形结合是解答本题的关键．