安徽省六安市霍邱县2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份安徽省六安市霍邱县2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共计40分）
1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x+2B．s＝3t2﹣1C．y＝ax2+bx+cD．
2．抛物线y＝﹣2（x+3）2+2的顶点坐标为（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（2，3）D．（2，﹣3）
3．已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若a＝2，c＝4，则b的值是（ ）
A．2B．3C．D．
4．若反比例函数y＝的图象在其所在的每一个象限内，y都是随x的增大而减小，则（ ）
A．k＜2B．k＞2C．k＜﹣2D．k＞﹣2
5．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
6．已知，且a+b+c≠0，则k的值是（ ）
A．2B．3C．D．
7．如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数图象交于A（2，m）、B（﹣1，n）两点，则当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或x＞2B．﹣1＜x＜0或x＞2
C．﹣1＜x＜2D．x＜﹣1或0＜x＜2
8．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A．B．3C．2D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②④C．③④D．②③
10．如图，在等边△ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为s，则能反映s与x之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共计20分）
11．已知是，则的值是 ．
12．如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于 ．
13．已知点，B（2，y2），在二次函数y＝﹣ax2+2ax+1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是 ．
14．如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N．
①∠AFB的度数是 ；
②线段MN的长为 ．
三、解答题（本大题共有9小题，共计90分）
15．已知抛物线y＝﹣2x2+4x+6与x轴交于A、B两点．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）求线段AB的长．
16．如图，a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，DF＝10，求EF的长．
17．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过x轴上的点A，B．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）试判断点P（3，6）是否在此抛物线上．
18．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB（AP＞BP）上一点，若满足，则称点P是AB的一个黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走多少米时恰好站在舞台的黄金分割点上？（结果保留根号）
19．如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC＝CD．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若AB＝4，BC＝8，AE＝2，求CE长．
20．如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）若EF＝CF，△AEF的面积等于2，求△CBF的面积．
21．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
22．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（6，4）．反比例函数（x＞0）的图象交矩形OABC的边BC、AB于D、E两点，连接AC，DE．
（1）当点D是BC的中点时，k＝ ，点E的坐标为 ；
（2）设点D的横坐标为m．
①请用含m的代数式表示点E的坐标为 ；
②求证：△BDE∽△BCA．
23．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）
（1）求b，c，m的值；
（2）如图，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标．
（3）若第（2）问中的D点的横坐标为n，≤n≤4，则四边形DEFG的周长是否有最大值或最小值，若有，直接写出这个值；若没有，填写“不存在”．最小值： 最大值： ．
参考答案
一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共计40分）
1．
解：A．y＝2x+2是一次函数，不符合题意；
B．s＝3t2﹣1是二次函数，符合题意；
C．y＝ax2+bx+c，当a＝0时，不是二次函数，不符合题意；
D．不是二次函数，不符合题意；
故选：B．
2．
解：抛物线y＝﹣2（x+3）2+2的顶点坐标为（﹣3，2）．
故选：B．
3．
解：根据题意得a：b＝b：c，
即2：b＝b：4，
解得或（舍去），
所以b的值为．
故选：C．
4．
解：∵反比例函数y＝的图象在其所在的每一个象限内，y都是随x的增大而减小，
∴﹣k+2＞0，
解得：k＜2．
故选：A．
5．
解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
故选：D．
6．
解：∵，a+b+c≠0，
∴，整理得：，
∴．
故选：D．
7．
解：∵图象交于A（2，m）、B（﹣1，n）两点，
∴当y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞2．
故选B．
8．
解：在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵BD＝CB＝6，
∴AD＝AB﹣BC＝4，
由作图可知EF垂直平分线段AD，
∴AF＝DF＝2，
∵∠A＝∠A，∠AFE＝∠ACB＝90°，
∴△AFE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
故选：A．
9．
解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由题意可知：＝﹣，
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故选：D．
10．
解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，
在等边△ABC中，∠ACB＝60°，
在Rt△DEF中，∠F＝30°，
∴∠FED＝60°，
∴∠ACB＝∠FED，
∴AC∥EF，
在等边△ABC中，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，
∴S△ABC＝BC•AM＝4，
①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，
此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，
由题意可得CD＝x，DG＝x
∴S＝CD•DG＝x2；
②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，
此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，
由题意可得：CD＝x，
则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），
∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），
∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，
③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，
过点G作GM⊥BC，交BC于点M，
此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，
由题意可得CD＝x，
则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，
∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，
∴BM＝4﹣x
在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），
∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），
∴S＝（x﹣8）2，
综上，选项C的图像符合题意，
故选：C．
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共计20分）
11．
解：∵，
∴设a＝4k，b＝3k，
∴．
故答案为：．
12．
解：∵△POM的面积等于2，
∴|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
13．
解：该二次函数的对称轴为：，
∵a＞0，则﹣a＜0，
∴函数开口向下，
点到对称轴的距离：，
点B（2，y2）到对称轴的距离：2﹣1＝1，
点到对称轴的距离：，
∵，
∴y2＞y1＞y3．
故答案为：y2＞y1＞y3．
14．
②DE和CB的延长线交于H，如图，先利用勾股定理得到，利用AD∥BH得到，则可计算出BH＝AD＝3，接着利用AD∥FH得到＝＝，则可计算出，然后利用AD∥BF得到，可计算出NF＝，最后根据MN＝AF﹣NF﹣AM计算即可．
解：①∵矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，
∴AD＝BC＝3，AD∥BC，∠ABF＝90°，
∵BF＝2FC，
∴BF＝2，
∴BF＝AB＝2，
∴△AFB是等腰直角三角形，
∴∠AFB＝45°，
故答案为：45°；
②延长DE和CB的延长线交于H，如图，
由①可得AF＝＝2，
∵AD∥BH，
∴，
∴BH＝AD＝3，
∵AD∥FH，
∴，
∴，
∵AD∥BF，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有9小题，共计90分）
15．
解：（1）将抛物线y＝﹣2x2+4x+6化为顶点式，
则y＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴抛物线对称轴为直线x＝1；
（2）令y＝0，
则﹣2x2+4x+6＝0，
整理得：x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A、B两点的坐标为（3，0）和（﹣1，0），
∴AB＝|﹣1﹣3|＝4．
16．
解：∵a∥b∥c，
∴，
∵AB：BC＝2：3，DF＝10，
∴，
∴EF＝6．
17．
解：（1）∵平行四边形ABCD，
∴CD∥AB且CD＝AB＝4，
∵点D的坐标是（0，8），
∴点C的坐标为（4，8），
令抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+8．
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，则AH＝BH＝2，
∵CD∥AB，
∴四边形DCHO为矩形，
∴CD＝OH＝4，
∴点A的坐标为A（2，0），
代入y＝a（x﹣4）2+8得：a＝﹣2，
∴抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣4）2+8．
（2）把x＝3代入y＝﹣2（x﹣4）2+8得y＝6，
∴点P（3，6）在此抛物线上．
18．
解：由题意知AB＝20米，，
∴米，
∴米，
答：主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上．
19．
【解答】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵BC＝CD，
∴∠CBE＝∠CDE，
∴∠ABE＝∠CDE，
∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED；
（2）解：∵BC＝CD，BC＝8，
∴CD＝8，
∵△AEB∽△CED，
∴，
∴，
∴CE＝4．
20．
解：（1）∵
∴△ABC∽△MDE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
（2）由（1）知△ABC∽△MDE，
∴∠E＝∠C，
又∵∠AFE＝∠BFC，
∴△AFE∽△BFC，
∴
∵，S△AEF＝2，
∴
∴S△CBF＝8
21．
解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，
由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30），
把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得：，
∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；
（2）根据题意得：w＝（x﹣10）（﹣2x+100），
整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
22．
【解答】（1）解：∵点B的坐标为（6，4），四边形OABC是矩形；
∴BC＝6，BA＝4，点D的纵坐标为4，点E的横坐标坐标为6，
当点D是BC的中点时，，
∴点D的坐标为（3，4），
把（3，4）代入得：k＝12，
∵点E的横坐标坐标为6，
∴点E的坐标为（6，2），
故答案为：12，（6，2）；
（2）①解：由题意得，点D的坐标为（m，4），则k＝4m，
则反比例函数表达式为，
当x＝6时，，
即点E的坐标为．
故答案为：（6，）；
②证明：由①知，BD＝6﹣m，，
∴，，
∴．
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA．
23．
解：（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，
则﹣x2+4x+5＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0），
∴m＝5；
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，
设D（x，﹣x2+4x+5），
∵DE∥x轴，
∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，
∴四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，
∵﹣2＜0
∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，
∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；
（3）第（2）问中的D点的横坐标为n，，
∴四边形DEFG的周长＝2（﹣n2+4n+5）+2（n﹣4+n）＝﹣2n2+12n+2＝﹣2（n﹣3）2+20，
∵，
∴当n＝3时，四边形DEFG的周长最大，最大值20．
∵，
∴当n＝4时，四边形DEFG的周长最小，最小值18，
∴最小值18，最大值20，
故答案为：18，20．