（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第11讲 对数与对数函数（精讲）（原卷版+解析）

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题型目录一览
一、知识点梳理
1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且； ②(其中且，)；
③对数换底公式：； ④；
⑤； ⑥，；
⑦和； ⑧；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
【常用结论】
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
1．（2020·山东·统考高考真题）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·天津·统考高考真题）化简的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
3．（2021·天津·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．
4．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
5．（2020·全国·统考高考真题）Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
6．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·天津·统考高考真题）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
9．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·天津·统考高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2020·全国·统考高考真题）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2020·北京·统考高考真题）函数的定义域是____________．
14．（2020·山东·统考高考真题）若，则实数的值是______.
三、双空题
15．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
题型一 对数式的化简与求值
策略方法 对数运算的一般思路
【典例1】解答下列问题：
(1)用表示；
(2)已知，且，求M的值．
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）计算：（1）；（2）．
2．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算；
（2）已知，求实数x的值；
（3）若，，用a，b，表示．
二、单选题
3．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）若函数，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知，则（ ）
A．B．9C．D．16
5．（2023·新疆·统考二模）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度x（单位：）满足.一般两人正常交谈时，声音的等级约为60dB，燃放烟花爆竹时声音的等级约为150dB，那么燃放烟花爆竹时声音强度约为两人正常交谈时声音强度的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
三、多选题
6．（2023·重庆九龙坡·统考二模）若a，b，c都是正数，且则（ ）
A．B．C．D．
四、填空题
7．（2023·上海黄浦·统考二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________．
8．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，），已知大气压强随高度的变化规律是，其中是海平面大气压强，.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为___________米.（答案保留整数，参考数据）
题型二 对数函数的图像与性质
策略方法 1.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
2.比较对数值大小的常见类型及解题方法
【典例1】若对数有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【典例2】在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】 已知直线过函数（，且）的定点T，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．
【典例4】 分别比较下列各组数的大小：
(1)，，；
(2)，，；
(3)与．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．且D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（2023·全国·模拟预测）函数的部分图象为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·陕西榆林·统考二模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·北京·高三专题练习）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·福建莆田·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）的定义域为_______________
10．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则__________.
11．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为________．
四、解答题
12．（2023秋·山东潍坊·高三统考期中）定义在上的函数和，满足，且，其中.
(1)若，求的解析式;
(2)若不等式的解集为，求的值.
题型三 解对数方程与不等式
策略方法 求解对数不等式的两种类型及方法
【典例1】（1）当时，求实数x的取值范围；
（2）当时，求实数x的取值范围；
（3）当恒取正值时，求实数x的取值范围.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）方程的解是（ ）
A．1B．2C．eD．3
2．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·安徽淮北·统考二模）已知集合，则下列命题错误的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．4
二、填空题
5．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知函数，则不等式的解集为______.
6．（2023·全国·高三专题练习）设命题，命题．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______．
7．（2023·上海·统考模拟预测）已知函数，则不等式的解集是__________.
题型四 对数函数的综合应用
策略方法 求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤
【典例1】已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在上为减函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数，则（ ）
A．在单调递减，在单调递增B．在单调递减
C．的图像关于直线对称D．有最小值，但无最大值
4．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数有最大值，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则使的可以是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是________．(填序号)
①为奇函数；
②为偶函数；
③在上单调递减；
④在上单调递增．
10．（2023·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为____________．
四、解答题
12．（2023·上海·高三专题练习）已知.
（1）解不等式：；
（2）若在区间上的最小值为，求实数a的值.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数.
(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
①对数式的化简与求值
②对数函数的图像与性质
③解对数方程与不等式
④对数函数的综合应用
图象

性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同
常借助1，0等中间量进行比较
类型
方法
lgax＞lgab
借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论
lgax＞b
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解
一求
求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论
二判
判断对数函数的底数与1的关系，分a＞1与0＜a＜1两种情况
判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第11讲 对数与对数函数（精讲）
题型目录一览
一、知识点梳理
1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且； ②(其中且，)；
③对数换底公式：； ④；
⑤； ⑥，；
⑦和； ⑧；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
【常用结论】
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2020·山东·统考高考真题）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】由题知：，解得且.
所以函数定义域为.
故选：B
2．（2022·天津·统考高考真题）化简的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：B
3．（2021·天津·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.
【详解】，，
.
故选：C.
4．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.故选：C.
5．（2020·全国·统考高考真题）Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
【答案】C
【分析】将代入函数结合求得即可得解.
【详解】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
6．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.
【详解】由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以，故选：D
7．（2021·天津·统考高考真题）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.
【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
8．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据与的关系图可得正确的选项.
【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
9．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
10．（2022·天津·统考高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故答案为：C.
11．（2020·全国·统考高考真题）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
12．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
二、填空题
13．（2020·北京·统考高考真题）函数的定义域是____________．
【答案】
【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】由题意得，
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．（2020·山东·统考高考真题）若，则实数的值是______.
【答案】
【分析】根据对数运算化简为，求解的值.
【详解】，
即，解得：.故答案为：
三、双空题
15．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
题型一 对数式的化简与求值
策略方法 对数运算的一般思路
【典例1】解答下列问题：
(1)用表示；
(2)已知，且，求M的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据对数的运算公式化简即可；
(2)由题意可得，再根据换底公式可得由，可得，代入计算即可.
【详解】（1）解：因为；
（2）解：因为，所以，
所以
又因为，即，
所以，所以.
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）计算：（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据对数的运算法则，逐步计算，即可得出结果；
（2）根据指数幂的运算法则，以及对数的运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】（1）原式
．
（2）原式
．
2．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算；
（2）已知，求实数x的值；
（3）若，，用a，b，表示．
【答案】（1）7；（2）109；（3）．
【解析】（1）利用对数恒等式和对数的运算法则计算即可；
（2）利用指对互化可得实数x的值；
（3）先求出，再利用换底公式结合对数的运算法则求得结果．
【详解】（1）原式=；
（2）因为，所以，所以，所以x=109；
（3）因为，所以，所以
．
二、单选题
3．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）若函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得，再代入的解析式即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，
所以.
故选：D.
4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知，则（ ）
A．B．9C．D．16
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用对数运算性质、指数式与对数式互化，及指数运算计算作答.
【详解】因为，则，因此，
所以.
故选：C
5．（2023·新疆·统考二模）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度x（单位：）满足.一般两人正常交谈时，声音的等级约为60dB，燃放烟花爆竹时声音的等级约为150dB，那么燃放烟花爆竹时声音强度约为两人正常交谈时声音强度的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
【答案】C
【分析】根据解析式分别求出对于声音强度可得.
【详解】分别记正常交谈和燃放烟花爆竹时的声音强度分别为，
则有，
解得，则.
故选：C
三、多选题
6．（2023·重庆九龙坡·统考二模）若a，b，c都是正数，且则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】设，得到， ， ，再逐项判断.
【详解】解：设，
则，，
，，
，，
所以，
，因为，所以，则等号不成立，
所以，则，
因为，所以，
故选：BCD
四、填空题
7．（2023·上海黄浦·统考二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________．
【答案】
【分析】根据给定条件，确定，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.
【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，，而，
于是，解得，
所以实数a的值为.
故答案为：
8．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，），已知大气压强随高度的变化规律是，其中是海平面大气压强，.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为___________米.（答案保留整数，参考数据）
【答案】
【分析】根据题意解方程即可得解.
【详解】由题意可知：，解得，
所以.故答案为：.
题型二 对数函数的图像与性质
策略方法 1.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
2.比较对数值大小的常见类型及解题方法
【典例1】若对数有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【分析】由对数式有意义列不等式求的取值范围.
【详解】由对数有意义可得
，
所以，且，
所以的取值范围为，
故选：C.
【典例2】在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】假设指数函数图象正确，结合对数函数单调性和处函数值的正负可得到正确图象.
【详解】对于AB，若图象正确，则，单调递减，
又时，，A正确，B错误；
对于CD，若图象正确，则，单调递增，CD错误.
故选：A.
【典例3】 已知直线过函数（，且）的定点T，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】C
【分析】根据求出点，再代入直线方程得到，最后利用基本不等式里“1”的妙用求最值.
【详解】函数过定点，所以，
将代入直线，得，即，
因为，，
所以，
当且仅当，即，时“=”成立.
故选：C.
【典例4】 分别比较下列各组数的大小：
(1)，，；
(2)，，；
(3)与．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）对于同底数的对数，利用函数单调性，对于不同底数的对数，利用中间值法；
（2）对数与指数之间的比较，利用中间值法；
（3）对于真数相同的对数，利用函数图象.
【详解】（1）因为在上是增函数，所以．又在上是增函数，所以，所以．
（2）因为在R上是增函数，所以．因为在上是增函数，所以．因为在上是减函数，所以．所以．
（3）方法一：函数和的图象如图所示．
当时，的图象在的图象的上方，所以．
方法二：因为，，又，所以．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．且D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的性质及对数函数的性质分别求出集合，，再根据交集的定义求解即可.
【详解】解：由题意可得，，
∴且.
故选：C．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由函数在定义域上单调递增，可得，排除A，C；代入,得，从而得答案.
【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，
所以，排除A，C；
又因为函数过点,
所以，解得．
故选：D
3．（2023·全国·模拟预测）函数的部分图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据函数的取值情况或零点，利用排除法判断即可.
【详解】因为，令，解得或，
所以的定义域为，
又，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，C；
当时，，或当，即时，，故排除D.
故选：A.
4．（2023·陕西榆林·统考二模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】引入中间值，与1比较大小，与0比较大小即可.
【详解】因为，，，
所以．
故选：B.
5．（2023·北京·高三专题练习）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性即可比较，由指数的性质即可求解.
【详解】，，所以，
，故，
故选：A
6．（2023·福建莆田·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】取中间值，根据指、对数运算估算范围，进而比较大小.
【详解】因为，即，
，
，且，即，
所以.
故选：A.
7．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用单调性得，进而根据指对数的运算性质即可比较.
【详解】令，则，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，
所以当时，取极小值也是最小值，故，因此，
故，
，因此，
又，所以，进而，故，
因此，
故选：D
【点睛】比较值的大小，是对函数性质综合运用的考查.一般常采用以下方法：
利用指对幂函数的单调性比较大小，
构造函数，利用导数求解单调性比较大小，
利用不等式的性质以及基本不等式，进行放缩比较.
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】因为，所以，因此有，所以选项A正确；
因为，所以，因此，所以选项B正确；
因为，所以，因此，所以选项C不正确；
因为，所以，因此有，所以选项D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：判断底数与1的大小关系，结合指数函数和对数函数的单调性是解题的关键.
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）的定义域为_______________
【答案】
【分析】根据解析式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，，
解得，
即函数的定义域为.
故答案为：
10．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则__________.
【答案】1
【分析】由可得出函数所过定点，再由可得出的值，得出答案.
【详解】函数的图象经过定点
所以的图象也过定点， 即
则，所以
故答案为：1
11．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为________．
【答案】/
【分析】利用换元法，结合对数函数的运算法则和二次函数的性质即可得出结论.
【详解】显然，∴
，
令，∵x∈，∴t∈[－1，2]，则，
当且仅当t＝－即x＝时，有.
故答案为：
四、解答题
12．（2023秋·山东潍坊·高三统考期中）定义在上的函数和，满足，且，其中.
(1)若，求的解析式;
(2)若不等式的解集为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意求解析式，再由求参数a，即可得解析式；
（2）由（1）及题设得，结合解集列方程组求m、a，即可得结果.
【详解】（1）由题意知，，又，
所以，即．
所以函数的解析式．
（2）由，得，
由题意知，所以，
所以，即，所以．
题型三 解对数方程与不等式
策略方法 求解对数不等式的两种类型及方法
【典例1】（1）当时，求实数x的取值范围；
（2）当时，求实数x的取值范围；
（3）当恒取正值时，求实数x的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由增函数性质去“”解不等式即可；
（2）由减函数性质去“”解不等式即可；
（3）分类讨论底数，由函数单调性去“”解不等式即可.
【详解】（1），即，因为为增函数，故，；
（2），即，因为为减函数，故，解得；
（3）若，为增函数，当时，，，故；
若，时，为减函数，当时，，解得，故，
综上所述，
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）方程的解是（ ）
A．1B．2C．eD．3
【答案】D
【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果.
【详解】∵，∴，∴.
故选：D.
2．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】可解出集合，，然后进行补集、交集的运算即可．
【详解】集合，
或；
；
则．
故选：C
3．（2023·安徽淮北·统考二模）已知集合，则下列命题错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出集合，由集合间的关系对选项一一判断即可得出答案.
【详解】，
对于A，，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：D.
4．（2023·全国·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】先根据对数的运算得，再利用基本不等式求解．
【详解】由正数，满足，得，
所以，，结合，，得，
所以，
当且仅当时，即时取等号，
故选：C
二、填空题
5．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可.
【详解】解：当时，，解得，
当时，，即，解得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：
6．（2023·全国·高三专题练习）设命题，命题．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】化简命题和，利用真子集关系列式可求出结果.
【详解】由，得，即；
由，得，
因为q是p的必要不充分条件，所以是的真子集，
所以且两个等号不同时取，解得.
故答案为：
7．（2023·上海·统考模拟预测）已知函数，则不等式的解集是__________.
【答案】
【分析】根据函数的单调性，以及即可求解.
【详解】函数的定义域为.
因为在上为增函数，在上为增函数，
所以在上为增函数，
又，所以不等式的解集为.
故答案为：
题型四 对数函数的综合应用
策略方法 求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤
【典例1】已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复合函数单调性同增异减，可得在区间上单调递增，由对数函数的性质，真数恒大于0，可得，再利用二次函数的单调性和值域求解即可.
【详解】解析：令．
因为在上单调递减，
所以函数在区间上单调递增，且恒大于0，
所以对称轴且，所以且，
解得，即a的取值范围为，
故选：D．
【典例2】若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】若，此时，，而，故无解；
若，此时，，而，
令，，画出两函数图象，如下：
故要想在内恒成立，
则要，解得：.
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】由得，解得或
即函数的定义域为
因为在上单调递减，
故的单调减区间即为的单调增区间,
故的单调减区间为.
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在上为减函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性以及对数函数的定义域求解.
【详解】设函数，
因为在上为减函数，
所以在上为减函数，则解得，
又因为在恒成立，
所以解得，
所以a的取值范围为，故选:B.
3．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数，则（ ）
A．在单调递减，在单调递增B．在单调递减
C．的图像关于直线对称D．有最小值，但无最大值
【答案】C
【分析】根据复合函数的单调性的判断方法，可判断A，B；推得可判断C；根据二次函数的性质结合对数函数的单调性可判断D.
【详解】由题意可得函数的定义域为，
则，
因为在上单调递增，在上单调递减，
且在上单调递增，
故在上单调递增，在上单调递减，A，B错误；
由于，故的图像关于直线对称，C正确；
因为在时取得最大值，且在上单调递增，
故有最大值，但无最小值，D错误，
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的图象与性质，分和两种情况分类讨论，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解.
【详解】当时，由，可得，则，
又由，此时不等式不成立，不合题意；
当时，函数在上单调递减，
此时函数在上单调递增，
又由在上单调递增，
要使得不等式在内恒成立，
可得，解得.
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，先求得，把不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】由题意，函数的值域为，可得函数的最大值为，
当时，函数显然不存在最大值；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最大值，即，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数无最大值，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上恒成立，可得；
由在上恒成立，即在上恒成立，可得；
由在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得函数在上单调递增，所以，即，
综上可得，即实数的取值范围是.
故选：A.
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数有最大值，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得内层函数要有最小正值，且外层函数为减函数，可知0＜a＜1．再由二次函数的判别式小于0求得a的范围，取交集得答案．
【详解】解：令，要使函数有最大值，
则内层函数要有最小正值，且外层函数为减函数，可知0＜a＜1．
要使内层函数要有最小正值，
则，解得．
综合得a的取值范围为．
故选：B.
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则使的可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】分、两种情况讨论，求出的值，然后结合函数的解析式可求得的值.
【详解】①当时，由，可得，
若时，则，此时无解，
若时，由，解得；
②当时，由，可得或.
若时，则，由可得，方程无解，
若时，由可得或，由可得或.
综上所述，满足的的取值集合为.
故选：BCD.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，分析判断函数取得最小值0，最大值1的区间在1及左侧可使区间长度最小，再求出a的取值范围作答.
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，，
因为函数在的值域为，则，即，
由，得，则有或，
当时，，有，
当时，，有，
令方程的两个根为，如图，
因此在上函数取得最小值0，最大值1，且最小时，，
于是，解得或，而的最小值为，
则有或，解得或，
所以实数a的值可以是或，即BC满足，AD不满足.
故选：BC
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是________．(填序号)
①为奇函数；
②为偶函数；
③在上单调递减；
④在上单调递增．
【答案】①③
【分析】根据函数奇偶性的定义及判定方法，可判定①正确，②不正确；结合基本初等函数的性质，以及复合函数单调性的判定方法，可判定③正确，④不正确．
【详解】由题意，函数，令，解得或，
即函数的定义域为，
又由，
所以函数为定义域上的奇函数，所以①正确，②不正确；
又由，
令，其中且，可得，
因为在上单调递减，且，
所以在上单调递减，所以③正确；
又因为函数为定义域上的奇函数，所以在上单调递减，
所以④不正确．
故答案为：①③.
10．（2023·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】分离参数，将恒成立问题转化为函数最值问题，根据单调性可得.
【详解】因为，不等式恒成立，
所以对恒成立.
记，，只需.
因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减，
所以，所以.
故答案为：
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为____________．
【答案】
【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可.
【详解】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.
故答案为：.
四、解答题
12．（2023·上海·高三专题练习）已知.
（1）解不等式：；
（2）若在区间上的最小值为，求实数a的值.
【答案】（1）或；（2）或.
【分析】（1）由对数函数的性质求解不等式即可；
（2）由题意可得在区间上的最小值，在上的最大值为4，然后分和讨论即可得答案
【详解】（1）或；
（2）令，则
在区间上的最小值，在上的最大值为4，
当时，，；
当，，.
综上，或
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数.
(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用偶数数的定义，即可求出实数的值，从而得到的解析式；令，得，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象有交点，从而求出实数的取值范围；
（2）依题意等价于关于的方程只有一个解，令，讨论的正根即可．
【详解】（1）解：是偶函数，，
即对任意恒成立，
，
．
即，
因为当，函数有零点，即方程有实数根．
令，则函数与直线有交点，
，
又，，
所以的取值范围是．
（2）解：因为，
又函数与的图象只有一个公共点，
则关于的方程只有一个解，
所以，
令，得，
①当，即时，此方程的解为，不满足题意，
②当，即时，此时，又，，
所以此方程有一正一负根，故满足题意，
③当，即时，由方程只有一正根，则需，
解得，
综合①②③得，实数的取值范围为：．
①对数式的化简与求值
②对数函数的图像与性质
③解对数方程与不等式
④对数函数的综合应用
图象

性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同
常借助1，0等中间量进行比较
类型
方法
lgax＞lgab
借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论
lgax＞b
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解
一求
求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论
二判
判断对数函数的底数与1的关系，分a＞1与0＜a＜1两种情况
判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性