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（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第24讲 平面向量的数量积及其应用（精讲）（原卷版+解析）
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这是一份（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第24讲 平面向量的数量积及其应用（精讲）（原卷版+解析），共73页。试卷主要包含了知识点梳理，数量积的运算律，数量积的性质，数量积的坐标运算等内容，欢迎下载使用。
题型目录一览
一、知识点梳理
一、平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），
记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，eq \(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq \(OB,\s\up6(→))表示向量b，过点A作eq \(OB,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量eq \(OA1,\s\up6(→))的变换称为向量a向向量b投影，向量eq \(OA1,\s\up6(→))称为向量a在向量b上的投影向量.
,向量a在向量b上的投影向量为(|a|csθ)eq \f(b,|b|).
二、数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；②；③．
三、数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
四、数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
【常用结论】
(1)在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线
二、题型分类精讲
题型一 平面向量的数量积的运算
策略方法 平面向量数量积的三种运算方法
【典例1】已知向量的夹角为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】已知的外接圆圆心为，且，，则（ ）
A．0B．2C．4D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量，，（），则（ ）
A．5B．C．D．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知的半径为2，，则（ ）
A．1B．-2C．2D．
4．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A．B．C．12D．72
5．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边的边长为2，平面内一点满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知菱形的边长为2，且，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．（2023·全国·模拟预测）在中，M是的中点，，点P在上且满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
9．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知向量满足，且夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）圆为锐角的外接圆，，则的值可能为（ ）．
A．B．C．D．
12．（2023·全国·模拟预测）在菱形中，，，点为线段的中点，和交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）设为的外心，，，的角平分线交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
14．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知向量,,若，则______．
15．（2023·山东威海·统考二模）已知向量，，，若，则t＝______．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量，的夹角为，，，则______．
17．（2023·河北·校联考一模）已知O为的外心，若，且，则__________.
18．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形中，，则__________.
19．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知正六边形的边长为1，为边的中点，为正六边形的中心，则______．
20．（2023·北京通州·统考三模）已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，则=___________.
21．（2023·广东汕头·统考三模）在中，，，，，求_________.
22．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______.
题型二 平面向量的模长
策略方法 求向量模的方法
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)．
(2)|a±b|＝eq \r(a±b2)＝eq \r(a2±2a·b＋b2)．
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2)．
【典例1】已知，均为单位向量，且与夹角为，则（ ）
A．3B．C．2D．
【典例2】已知向量满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知向量，，，若，则实数（ ）．
A．1或B．或4
C．0或8D．0或
2．（2023·全国·高三专题练习）平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河北衡水·模拟预测）已知平面向量满足，则（ ）
A．B．C．D．33
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，满足，，，，则（ ）
A．3B．C．D．5
5．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（ ）
A．B．1C．D．
6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知向量，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·重庆·校联考三模）在△ABC中，，且点D满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·广东深圳·统考模拟预测）向量满足，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在中，，，，M为线段BC的中点，则（ ）
A．3B．C．D．
二、填空题
10．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知，，若，则______．
11．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知为单位向量，且满足，则______.
12．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知向量，，满足，则__________．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，，则______．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，则的最大值为_________．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值是______.
题型三 平面向量的夹角
策略方法 求向量夹角问题的方法
【典例1】已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（ ）
A．45°B．60°C．135°D．150°
【题型训练】
一、单选题
1．（江西省重点中学协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题）已知为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2．（河南省青桐鸣大联考2023届高三下学期5月考试文科数学试题）在中，，，D为AC的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（华大新高考联盟2023届高三名校预测卷全国数学文科试题）已知平面向量，满足，，，则，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．（北京市海淀区2023届高三数学查缺补漏题（1））已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（湖南省郴州市九校联盟2023届高三下学期适应性测试数学试题）已知向量满足，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．（江苏省镇江第一中学2023届高三下学期4月检测数学试题）单位向量，为的夹角为，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（山东省聊城市2023届高三三模数学试题）已知向量，满足，，则与的夹角可以为（ ）
A．B．C．D．
8．（河北省部分学校2023届高三下学期二月联考数学试题）已知单位向量的夹角为，则使为钝角的一个充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
9．（河南省驻马店市2023届高三二模理科数学试题）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．
10．（湖南省普通高中2023届高三高考前模拟数学试题）已知单位向量，满足，则向量与的夹角为_______________．
11．（2023届四川省名校联考高考仿真测试（三）文科数学试题）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.
12．（重庆市第一中学校2023届高三下学期5月月考数学试题）已知向量和满足：，，，则与的夹角为__________．
题型四 两个向量的垂直问题
策略方法
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
【典例1】已知非零向量，满足，，若，则实数的值为（ ）
A．4B．-4C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·校联考模拟预测）若平面向量，满足，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山西吕梁·统考三模）已知向量满足，且，则实数（ ）
A．1或B．-1或C．1或D．-1或
5．（2023·湖北·统考二模）已知向量的夹角为，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知向量的夹角的余弦值为，，，则（ ）
A．-4B．-1C．1D．4
7．（2023·新疆·校联考二模）平面内三个单位向量，，，满足，若，则（ ）
A．B．C．2D．
8．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知两个非零向量，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知两个单位向量，满足与垂直，则（ ）
A．B． C． D．
10．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量，，满足，，，则,（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
二、填空题
13．（2023·全国·模拟预测）向量，且，则实数_________．
14．（2023·全国·模拟预测）已知向量，．若，则______．
15．（2023春·安徽合肥·高三校考开学考试）已知向量，，．若，且，则______．
16．（2023·全国·高三专题练习）非零向量，，若，则______.
题型五 平面向量的投影数量、投影向量
【典例1】向量与的夹角为，，，在上投影数量为（ ）
A．2B．C．1D．
【典例2】已知向量，，若与反向，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）设非零向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）若向量，满足，，则在方向上的投影为（ ）
A．1B．C．D．－1
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知向量满足，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影为（ ）
A．2B．4C．-2D．-4
5．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知单位向量，的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知向量在向量上的投影向量是，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为
D．若向量与非零向量共线，则
9．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，则下列命题正确的是（ ）
A．当且仅当时，B．在上的投影向量为
C．存在θ，使得D．存在θ，使得
三、填空题
10．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知，则向量在向量上的投影向量为___________.
11．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知向量，，且，则向量在方向上的投影为______．
12．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）设，，则在方向上的投影向量的坐标为_________．
13．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知向量，的夹角为60°，向量在向量上的投影向量的长度为1，，则______．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是________.
题型六 平面向量的应用
策略方法
平面向量常与平面几何、三角函数、解三角形、不等式、解析几何的问题综合起来考查，还会与一些物理知识相结合考查．解决此类问题的关键是把向量作为载体，将题干关系转化为向量的运算，进一步转化为实数运算来求解．
【典例1】已知中，，，则此三角形为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东深圳·校考一模）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
2．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（ ）
A．3B．15C．或15D．3或15
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方形ABCD中，已知||=2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）设均为非零向量，则“”是“对于任意的实数，都有”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（ ）
A．3B．6C．7D．9
6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）已知平面向量，，均为单位向量，且，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，的夹角为锐角，则且
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知扇形OAB的半径为1，，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为0B．的最小值为
C．的最大值为1D．的最小值为0
三、填空题
10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标：______.
11．（2023春·江苏徐州·高三徐州高级中学校考阶段练习）在中，O为BC的中点，向量，的夹角为，，则线段AC的长度是______.
12．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则________.
13．（2023·天津·校考模拟预测）已知O为矩形ABCD内一点，满足，，，则__________．
14．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点（包含端点），则的最大值为________．
15．（2023春·四川成都·高三校联考期末）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围为______．
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第24讲 平面向量的数量积及其应用（精讲）
题型目录一览
一、知识点梳理
一、平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），
记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，eq \(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq \(OB,\s\up6(→))表示向量b，过点A作eq \(OB,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量eq \(OA1,\s\up6(→))的变换称为向量a向向量b投影，向量eq \(OA1,\s\up6(→))称为向量a在向量b上的投影向量.
,向量a在向量b上的投影向量为(|a|csθ)eq \f(b,|b|).
二、数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；②；③．
三、数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
四、数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
【常用结论】
(1)在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线
二、题型分类精讲
题型一 平面向量的数量积的运算
策略方法 平面向量数量积的三种运算方法
【典例1】已知向量的夹角为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据数量积公式和运算律计算即可.
【详解】.
故选：D.
【典例2】已知的外接圆圆心为，且，，则（ ）
A．0B．2C．4D．
【答案】C
【分析】根据题意可知△为直角三角形，△为等边三角形，即可求出的值.
【详解】由知是边中点，
因为是△的外接圆圆心，所以△为直角三角形，
且，因为，所以△为等边三角形，
所以，，
所以.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的坐标求出模长，再利用向量的数量积公式即可求解.
【详解】因为，所以，
因为向量绕坐标原点顺时针旋转得到，
所以向量与向量的夹角为，且，
所以
.
故选：B
2．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量，，（），则（ ）
A．5B．C．D．
【答案】B
【分析】求出向量的坐标，根据数量积坐标表示，即可求得答案.
【详解】由题意向量，，可得，
故，故选：B
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知的半径为2，，则（ ）
A．1B．-2C．2D．
【答案】C
【分析】判断形状可得，然后根据数量积定义直接求解即可.
【详解】由题知，为正三角形，所以，所以.
故选：C
4．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A．B．C．12D．72
【答案】A
【分析】运用平面向量的数量积运算可求得结果.
【详解】因为，且与夹角的余弦值为，
所以.
故选：A.
5．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边的边长为2，平面内一点满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解与合成，再利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】，
，
.
故选：C.
6．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知菱形的边长为2，且，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】根据向量的数量积公式及运算律，结合菱形图形特征，计算求解可得.
【详解】由条件可知，所以，
在中，由余弦定理，可得，
，菱形的对角线互相垂直，则向量与向量的夹角为，
则.
故选：D.
7．（2023·全国·模拟预测）在中，M是的中点，，点P在上且满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据向量的加法求出，然后求出，进而可直接求解.
【详解】因为M是的中点，所以，
又因为点P在上且满足，，所以，
所以.
故选：A.
8．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】由题意可得出，点G为的重心，所以，，再由向量的数量及定义求解即可.
【详解】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，，
所以，
所以，则为等边三角形，因为，
所以，设点M为BC的中点，则，所以，
所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，
所以，
同理可得点AB，AC的中线过点G，
所以点G为的重心，故，
在等边中，M为BC的中点，则，
所以.
故选：A
9．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知向量满足，且夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的数量积的运算律结合数量积的定义，即可求得答案.
【详解】由向量满足，且夹角为，
可得
，
故选：B
10．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，设，由和可列方程求出点E，再根据数量积坐标运算即可求解.
【详解】建立如图所示直角坐标系：
则，
设，则
且，
，解得，
，
在矩形中，为的中点，
所以，由，
所以，
，
故选：D.
二、多选题
11．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）圆为锐角的外接圆，，则的值可能为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】利用正弦定理表示出R，借助角C表示出所求，根据为锐角三角形，结合图形可得范围，然后可得.
【详解】记圆的半径为R，则，
又，所以.
因为为锐角三角形，如图，易知，所以，
所以，即.
故选：BC.
12．（2023·全国·模拟预测）在菱形中，，，点为线段的中点，和交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.
【详解】四边形为菱形，，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
，，，，
，，，，，
对于A，，，A正确；
对于B，，，，B正确；
对于C，，，，C错误；
对于D，，，，D正确.
故选：ABD.
13．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）设为的外心，，，的角平分线交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】对于A、B：根据题意结合正弦定理可得，结合平面向量的线性运算求；对于C、D：根据外心的性质结合平面向量的数量积运算求解.
【详解】在中，有正弦定理可得，可得，
在中，有正弦定理可得，可得，
因为，，为的角平分线，
可知，
则，
可得，
所以，即，
可得，
故A正确，B错误；
分别取的中点，连接，可知，
因为为的外心，则，
，
所以，
故C正确；D错误.
故选：AC.
三、填空题
14．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知向量,,若，则______．
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标运算可得答案.
【详解】因为,，所以，
所以，即，
所以.
故答案为：.
15．（2023·山东威海·统考二模）已知向量，，，若，则t＝______．
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示可得，结合向量数量积的坐标公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
因为，
所以，解得，
即t的值为.
故答案为: .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量，的夹角为，，，则______．
【答案】9
【分析】根据数量积的定义结合数量积的运算律，即可求得答案.
【详解】由及，夹角为可知，
又，解得，则，
故，
故答案为：9
17．（2023·河北·校联考一模）已知O为的外心，若，且，则__________.
【答案】
【分析】由平面向量数量积公式进行求解.
【详解】由圆的性质可得，，
故.
故答案为：
18．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形中，，则__________.
【答案】
【分析】根据菱形对角线互相垂直，结合平面向量数量积公式求出答案.
【详解】设与交于，则且是线段的中点，
，由平面向量数量积的几何意义知，
.
故答案为：
19．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知正六边形的边长为1，为边的中点，为正六边形的中心，则______．
【答案】
【分析】利用平面向量数量积公式进行求解.
【详解】根据题意得，，，
故．
故答案为：
20．（2023·北京通州·统考三模）已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，则=___________.
【答案】1
【分析】根据平面向量基本定理并借助圆心和圆内向量互为相反向量即可求解.
【详解】
.
故答案为: 1.
21．（2023·广东汕头·统考三模）在中，，，，，求_________.
【答案】
【分析】根据已知条件得出,,化简应用数量积公式计算求解即得.
【详解】，，，
,
,
.
故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______.
【答案】
【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.
【详解】是BC中点，
，
M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
，
同理可得，
.
故答案为：.
题型二 平面向量的模长
策略方法 求向量模的方法
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)．
(2)|a±b|＝eq \r(a±b2)＝eq \r(a2±2a·b＋b2)．
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2)．
【典例1】已知，均为单位向量，且与夹角为，则（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】D
【分析】先求，再利用模长公式可得答案.
【详解】因为，均为单位向量，且与夹角为，所以；
因为，所以.
故选：D.
【典例2】已知向量满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量坐标运算和数量积运算的性质，结合可求得，由此可得，进而求得结果.
【详解】，，
，解得：，
，解得：.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知向量，，，若，则实数（ ）．
A．1或B．或4
C．0或8D．0或
【答案】D
【分析】根据向量模的坐标表示求解.
【详解】由题意得，，
∴，解得或．
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由向量，求得，再结合，即可求解.
【详解】由题意，向量，可得，
又由向量与的夹角为，，
则.
故选：D.
3．（2023·河北衡水·模拟预测）已知平面向量满足，则（ ）
A．B．C．D．33
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量模长的计算公式，代入计算即可得到结果.
【详解】因为，所以，则，
所以，即.故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，满足，，，，则（ ）
A．3B．C．D．5
【答案】D
【分析】设出向量，根据向量的数量积和向量的模的公式，即可求出向量.
【详解】设，因为，，
所以 ①， ②，由①②解得，，
所以，.
故选：D.
5．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案.
【详解】因为，所以，
即，解得.
故选：A.
6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知向量，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据求得m，再利用向量的模公式求解.
【详解】解：因为向量，，
所以，
又因为，
所以，
解得，
所以，
故选：C
7．（2023·重庆·校联考三模）在△ABC中，，且点D满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算和题干条件得到，从而得到.
【详解】由题意得，平方得，
故，
因为点D满足，所以，
平方得，
故.
故选：D
8．（2023·广东深圳·统考模拟预测）向量满足，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用向量垂直的条件，即数量积为，结合向量的平方即为模的平方，化简整理，计算即可得到所求值．
【详解】由，得，
又，
所以，
又，则，，
所以，即，
所以，
又，
所以，
综上，，
故选：C．
9．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在中，，，，M为线段BC的中点，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，可得，再利用数量积的定义及运算律求解作答.
【详解】在中，M为线段BC的中点，则有，
由，，，得，
所以.
故选：B
二、填空题
10．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知，，若，则______．
【答案】
【分析】根据数量积的坐标表示求出，即可求出的坐标，再利用坐标法求出模.
【详解】因为，且，
所以，解得，所以，
所以，
所以.
故答案为：
11．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知为单位向量，且满足，则______.
【答案】
【分析】将两边平方可得，进而可得.
【详解】为单位向量，且满足，所以，
即，解得，
所以.
故答案为：.
12．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知向量，，满足，则__________．
【答案】/或/或
【分析】利用，求出的值，利用平面向量坐标表示建立方程求解即可
【详解】因为，，
所以，
，
得．
故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，，则______．
【答案】
【分析】应用向量的性质即可列方程组求解.
【详解】由，得，即 ①．
又由，得，
即，代入①，得，
整理，得，所以．
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，则的最大值为_________．
【答案】
【分析】利用向量模的坐标形式可求的最大值.
【详解】，所以
当时，的最大值为：.
故答案为：.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值是______.
【答案】
【分析】设，根据条件得出点满足的条件，然后由向量的模长公式求的最小值.
【详解】设，
则
由，则
即点在以为焦点，长轴为的椭圆上
所以满足
则，且
故当时，有最小值,故答案为：
题型三 平面向量的夹角
策略方法 求向量夹角问题的方法
【典例1】已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（ ）
A．45°B．60°C．135°D．150°
【答案】C
【分析】由向量的数量积运算公式，再应用向量夹角公式求夹角，最后结合向量反向共线求出夹角即可.
【详解】∵，，
∴.∵，
∴，，则，
设向量与的夹角为，与反向,则.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（江西省重点中学协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题）已知为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，根据向量数量积定义和运算律可求得夹角，即为的夹角.
【详解】，
，又与同向，，
，.
故选：C.
2．（河南省青桐鸣大联考2023届高三下学期5月考试文科数学试题）在中，，，D为AC的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由向量的数量积公式及向量夹角的范围可得答案.
【详解】，
则，又，则．
故选：B．
3．（华大新高考联盟2023届高三名校预测卷全国数学文科试题）已知平面向量，满足，，，则，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对进行平方可得，可算出，最后利用夹角公式即可
【详解】依题意，，解得，
故，
故，
故选：A．
4．（北京市海淀区2023届高三数学查缺补漏题（1））已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由求出的范围，进而可得结果.
【详解】因为为单位向量，所以由两边平方得，
所以得，而，所以夹角为0或锐角；
所以“”是“为锐角”的必要而不充分条件.
故选：B.
5．（湖南省郴州市九校联盟2023届高三下学期适应性测试数学试题）已知向量满足，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律，结合向量的夹角公式求解作答.
【详解】由，得，则，
由，得，即，整理得，
因此，而，解得，
所以向量的夹角为.故选：B.
6．（江苏省镇江第一中学2023届高三下学期4月检测数学试题）单位向量，为的夹角为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数量积的定义可得，再结合数量积的运算律运算求解.
【详解】由题意可得：，
因为，
所以，解得.
故选：C.
二、多选题
7．（山东省聊城市2023届高三三模数学试题）已知向量，满足，，则与的夹角可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据题意，将式子两边同时平方，然后相减即可得到，，然后结合向量夹角公式即可得到，从而得到结果.
【详解】因为，则，且，则，
所以，即，则，又因为，
即，设与的夹角为，则，即，
且，则，所以，则与的夹角可以为，.
故选：AB
8．（河北省部分学校2023届高三下学期二月联考数学试题）已知单位向量的夹角为，则使为钝角的一个充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】当时即可判断A，将两边平方，得到，从而求出即可判断B选项，利用向量数量积的运算展开即可判断的值或范围即可得到C选项，由得，当即可判断选项D.
【详解】若，则可能为，A选项不是为钝角的充分条件，
故A不正确，
若，两边平方得，
即向量的余弦值为，所以，
B选项是为钝角的一个充分条件；
故B选项正确，
若，则，
即向量的余弦值为，所以且为钝角，，
C选项是为钝角的充分条件，
故C选项正确，
若，两边平方得，当时满足题意
所以不一定为钝角，D不是为钝角的充分条件，
故D不正确，
故选：BC.
三、填空题
9．（河南省驻马店市2023届高三二模理科数学试题）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．
【答案】
【分析】利用性质，将已知条件转化为数量积求解即可.
【详解】设向量，的夹角为，因为，所以．
又，所以，所以．
故答案为：
10．（湖南省普通高中2023届高三高考前模拟数学试题）已知单位向量，满足，则向量与的夹角为_______________．
【答案】
【分析】根据可得，再利用向量数量积定义可求得其夹角为.
【详解】由，可知，
解得．
设向量与向量的夹角为θ，且，
则，又，所以．
故答案为：
11．（2023届四川省名校联考高考仿真测试（三）文科数学试题）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.
【答案】
【分析】先利用数量积公式求出，再求出，最后代入向量的夹角公式得解.
【详解】是夹角为的两个单位向量，则，
，
，
，，
，.
故答案为：
12．（重庆市第一中学校2023届高三下学期5月月考数学试题）已知向量和满足：，，，则与的夹角为__________．
【答案】
【分析】记向量和的夹角为，将平方化简即可求出答案.
【详解】记向量和的夹角为，将平方得到：
或，
又因为，即．
故答案为：.
题型四 两个向量的垂直问题
策略方法
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
【典例1】已知非零向量，满足，，若，则实数的值为（ ）
A．4B．-4C．D．
【答案】D
【分析】根据数量积的运算规则计算.
【详解】，即；
故选：D.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐标运算，即可计算出答案.
【详解】，
又，
知，
即.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
3．（2023·全国·校联考模拟预测）若平面向量，满足，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用垂直的向量表示求出的表达式，再利用向量夹角公式求解作答.
【详解】因为与垂直，则，即，化简得，
而，则．又，有，
所以与的夹角为.
故选：B
4．（2023·山西吕梁·统考三模）已知向量满足，且，则实数（ ）
A．1或B．-1或C．1或D．-1或
【答案】D
【分析】根据向量的线性计算和垂直的坐标表示即可求解.
【详解】
所以，
因为，
所以，
解得或，
故选：D.
5．（2023·湖北·统考二模）已知向量的夹角为，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】利用向量垂直的条件及向量数量积的定义即可求解.
【详解】因为，
所以，即，
又因为，向量的夹角为，
所以，即，解得.
故选：D.
6．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知向量的夹角的余弦值为，，，则（ ）
A．-4B．-1C．1D．4
【答案】C
【分析】可由题意设出，，由，根据向量垂直的性质得，再由向量的夹角的余弦值为，可解得，再代入求解即可.
【详解】由题意不妨设，，
则，，
由，可得，即，
又由，解得，
所以.
故选：C.
7．（2023·新疆·校联考二模）平面内三个单位向量，，，满足，若，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】由，可得，后结合与可得答案.
【详解】由得，所以，
即.因为，所以，又将代入，整理得，解得.
故选：D．
8．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知两个非零向量，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的数量积运算律和夹角公式求解.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
，
故选:D.
9．（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知两个单位向量，满足与垂直，则（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.
【详解】依题意可得，
即，则.
故选：B
10．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由求得，再用倍角公式求即可.
【详解】因为，，，
所以，即，
所以，解得或（舍），
所以，
故选：B
11．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量，，满足，，，则,（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直得到，再应用数量积公式及夹角公式计算即可.
【详解】，．
所以，又，，
，由，，均为非零向量，
则，且在到之间，故．
故选:D.
12．（2023·全国·高三专题练习）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
【答案】D
【分析】设线段的中点为，推导出，结合外心的定义可得出结论.
【详解】设线段的中点为，则、互为相反向量，
所以，，
因为，即，
所以，，即，
即，即，
所以，垂直且平分线段，
因此动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心.
故选：D.
二、填空题
13．（2023·全国·模拟预测）向量，且，则实数_________．
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求.
【详解】因为向量，所以，
又，
所以，得，
解得．
故答案为：.
14．（2023·全国·模拟预测）已知向量，．若，则______．
【答案】
【分析】利用向量加法、减法和数量积的坐标表示求解即可
【详解】因为向量，，
所以，
，
又，
所以
所以，
故答案为：.
15．（2023春·安徽合肥·高三校考开学考试）已知向量，，．若，且，则______．
【答案】
【分析】根据向量垂直、平行列方程，从而求得的值.
【详解】，
由于、，
所以，解得.
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）非零向量，，若，则______.
【答案】
【分析】由得，从而求得的值.
【详解】因为，所以，
由题易知，，
所以.
故答案为：
题型五 平面向量的投影数量、投影向量
【典例1】向量与的夹角为，，，在上投影数量为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【分析】根据向量投影数量的概念计算即可.
【详解】在上投影数量为.
故选：D
【典例2】已知向量，，若与反向，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意可先求出的值，从而可得的坐标，再用投影向量的定义即可求解.
【详解】依题意，，，
所以，解得或，
又与反向，则时，向量与同向，不合舍去，
故，此时，，，
则向量在向量上的投影向量为
.
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）设非零向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用性质结合已知求出，然后可得投影向量.
【详解】因为，
所以，解得，
所以在上的投影向量为.
故选：D
2．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）若向量，满足，，则在方向上的投影为（ ）
A．1B．C．D．－1
【答案】B
【分析】先利用向量数量积的运算求得，再利用投影的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以，即，则，
故在方向上的投影.
故选：B.
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知向量满足，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的定义可得，将数据代入计算，即可得到答案；
【详解】由,得,
,于是,
因此在方向上的投影向量为.
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影为（ ）
A．2B．4C．-2D．-4
【答案】C
【分析】根据投影公式和平面向量的数量积，直接计算即可得解.
【详解】.
故选：C.
5．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据求出，再根据投影向量公式可求出结果.
【详解】因为，所以，得，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C
6．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知单位向量，的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解.
【详解】依题意，因为两个单位向量和的夹角为，
所以，
所以，，
，
故向量在向量上的投影向量为．
故选：C.
7．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知向量在向量上的投影向量是，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量在向量上的投影向量求出，代入的定义式即可.
【详解】因为向量在向量上的投影向量是，所以,
因此.
故选：A.
二、多选题
8．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为
D．若向量与非零向量共线，则
【答案】AD
【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，主要考查了两向量的夹角、投影向量、向量的平行与垂直的基本知识，一一验证即可.
【详解】由题意知，，，
则，因此A正确；
在方向上的投影向量为
，因此B错误；
与垂直的单位向量的坐标为
或，因此C错误；
因为，，
若向量与向量共线，则，
解得，因此D正确.
故选：AD.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，则下列命题正确的是（ ）
A．当且仅当时，B．在上的投影向量为
C．存在θ，使得D．存在θ，使得
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示判断A；求出投影向量判断B；利用向量的坐标运算判断C；利用数量积的运算律结合坐标运算判断D作答.
【详解】向量，，，
对于A，，A正确；
对于B，因为，则在上的投影向量为，B正确；
对于C，，假定存在θ，使得，则有，
而，即不成立，因此不存在θ，使得，C错误；
对于D，，即，
则，因此存在θ，使得，D正确.
故选：ABD
三、填空题
10．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知，则向量在向量上的投影向量为___________.
【答案】
【分析】设之间的夹角为，利用题意得到，，然后用投影向量公式进行求解即可
【详解】设之间的夹角为，
，又，又，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
11．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知向量，，且，则向量在方向上的投影为______．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，求出，再结合投影公式，即可求解．
【详解】向量，，由，得，所以，
所以在方向上的投影为．
故答案为：.
12．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）设，，则在方向上的投影向量的坐标为_________．
【答案】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以向量在方向的投影向量为.
故答案为：.
13．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知向量，的夹角为60°，向量在向量上的投影向量的长度为1，，则______．
【答案】
【分析】由向量数量积的几何意义有，得，再应用向量数量积运算律求目标向量的模.
【详解】由题意，则，
由，故.
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是________.
【答案】
【分析】由垂直关系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由两式得出，进而得出夹角.
【详解】因为，所以，即①.
因为向量在向量方向的投影向量是，
所以.所以②，
将①代入②得，，又，所以.故答案为：
题型六 平面向量的应用
策略方法
平面向量常与平面几何、三角函数、解三角形、不等式、解析几何的问题综合起来考查，还会与一些物理知识相结合考查．解决此类问题的关键是把向量作为载体，将题干关系转化为向量的运算，进一步转化为实数运算来求解．
【典例1】已知中，，，则此三角形为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形.
【详解】如下图所示：
设M为AC中点，则，
所以，即为等腰三角形，
又，所以，
即，
所以，可得，
综上可知三角形为等边三角形.
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东深圳·校考一模）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】由题设易知且、，进而判断最大时的关系即可得答案.
【详解】由圆O是△ABC的外接圆，且，故，
所以，则，
所以，故反向共线时最大，
所以.
故选：C
2．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（ ）
A．3B．15C．或15D．3或15
【答案】D
【分析】先根据题意确定向量，的倍数关系，然后可直接求解.
【详解】因为向量，满足同向共线，所以设，
又因为，，所以，
所以或，即或.
①当时，；
②当时，；
所以的值为3或15.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方形ABCD中，已知||=2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】以A为坐标原点建立直角坐标系，用坐标来求解即可.
【详解】以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，设，则，，
，所以的最大值是4，当N在线段BC上时，都可以取到.
故选：C.
4．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）设均为非零向量，则“”是“对于任意的实数，都有”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的运算法则和公式进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，则，即，
当时，可得，此时恒成立，
即充分性成立；
当对于任意的实数恒成立时，
可得，又，
所以，即必要性成立，
综上可得，“”是“对于任意的实数，都有”的充分必要条件.
故选：C.
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（ ）
A．3B．6C．7D．9
【答案】C
【分析】先根据投影向量的公式结合题干条件得到，然后利用向量的运算将用表示，然后用向量的数量积进行运算.
【详解】
根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为，
由题意，，于是，即.
又，
∴．
故选：C
6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，设，由和可列方程求出点E，再根据数量积坐标运算即可求解.
【详解】建立如图所示直角坐标系：
则，
设，则
且，
，解得，
，
在矩形中，为的中点，
所以，由，
所以，
，
故选：D.
7．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）已知平面向量，，均为单位向量，且，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平面向量，，均为单位向量，且，根据向量的减法的几何意义，可判定，与构成等边三角形，，向量夹角为，再化简原式即可求解.
【详解】由平面向量，，均为单位向量，且，
根据向量的减法的几何意义，可判定，与构成等边三角形，
所以，向量夹角为，
,
所以当与同向时，原式取到最小值；
当与反向时，原式取到最大值4.
故选：C.
二、多选题
8．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，的夹角为锐角，则且
【答案】AC
【分析】根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案.
【详解】因为，，，
所以，，
选项A：，所以A正确；
选项B：因为，所以，所以，所以，所以B错误；
选项C：因为，所以，所以，所以C正确；
选项D：因为，的夹角为锐角，且，所以，解得
，所以D错误.
故选：AC
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知扇形OAB的半径为1，，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为0B．的最小值为
C．的最大值为1D．的最小值为0
【答案】BCD
【分析】以为原点建立如图所示的直角坐标系，得，，设，则，求出，利用的范围可判断A；
求出、的坐标，由，利用的范围可判断B；设，可得，求出、，由，利用 、、，的范围可判断CD.
【详解】
以为原点建立如图所示的直角坐标系，所以，，
设，则，，
，所以，
因为，所以，所以，
所以，的最小值为，故A错误；
，，
所以，
因为，所以，所以，
所以，，
的最小值为，故B正确；
设，又，所以，可得，
，，
所以
，其中，
又，所以，所以，，
，，所以，
的最小值为0，故CD正确.
故选：BCD.
三、填空题
10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标：______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】设，由平行的坐标表示可得，再由数量积的定义可得，即可得出答案.
【详解】由题意得，，则，设，
得，且，满足条件的向量的坐标可以为（答案不唯一或者）.
故答案为：（答案不唯一）
11．（2023春·江苏徐州·高三徐州高级中学校考阶段练习）在中，O为BC的中点，向量，的夹角为，，则线段AC的长度是______.
【答案】
【分析】根据条件可得，结合向量的模长公式以及数量积的运算，即可得到结果.
【详解】，
，
.
故答案为:.
12．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则________.
【答案】2
【分析】根据数量积的性质，结合投影定义求解可得.
【详解】∵，∴，∴，
∵向量在向量方向上的投影为，∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2
13．（2023·天津·校考模拟预测）已知O为矩形ABCD内一点，满足，，，则__________．
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算、数量积的运算律以及余弦定理可求出结果.
【详解】
.故答案为：.
14．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点（包含端点），则的最大值为________．
【答案】
【分析】以点A为坐标原点，，的方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，写出对应点的坐标，设，根据平面向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】以点A为坐标原点，，的方向为x轴，y轴正方向，建立平面直角坐标系，
则，，，设，
所以，，则，
因为，所以，即的最大值为．
故答案为：．
15．（2023春·四川成都·高三校联考期末）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题意画出图形，建立平面直角坐标系，可得与的坐标，设，写出，再由三角函数求最值即可．
【详解】由题意不妨设，，
为所在平面内的动点，且，设，
则，，
，
由于，所以
的取值范围是
故答案为:
①平面向量的数量积的运算
②平面向量的模长
③平面向量的夹角
④两个向量的垂直问题
⑤平面向量的投影数量、投影向量
⑥平面向量的应用
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
(当且仅当时等号成立)
①平面向量的数量积的运算
②平面向量的模长
③平面向量的夹角
④两个向量的垂直问题
⑤平面向量的投影数量、投影向量
⑥平面向量的应用
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
(当且仅当时等号成立)
题型目录一览
一、知识点梳理
一、平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），
记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，eq \(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq \(OB,\s\up6(→))表示向量b，过点A作eq \(OB,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量eq \(OA1,\s\up6(→))的变换称为向量a向向量b投影，向量eq \(OA1,\s\up6(→))称为向量a在向量b上的投影向量.
,向量a在向量b上的投影向量为(|a|csθ)eq \f(b,|b|).
二、数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；②；③．
三、数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
四、数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
【常用结论】
(1)在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线
二、题型分类精讲
题型一 平面向量的数量积的运算
策略方法 平面向量数量积的三种运算方法
【典例1】已知向量的夹角为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】已知的外接圆圆心为，且，，则（ ）
A．0B．2C．4D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量，，（），则（ ）
A．5B．C．D．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知的半径为2，，则（ ）
A．1B．-2C．2D．
4．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A．B．C．12D．72
5．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边的边长为2，平面内一点满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知菱形的边长为2，且，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．（2023·全国·模拟预测）在中，M是的中点，，点P在上且满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
9．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知向量满足，且夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）圆为锐角的外接圆，，则的值可能为（ ）．
A．B．C．D．
12．（2023·全国·模拟预测）在菱形中，，，点为线段的中点，和交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）设为的外心，，，的角平分线交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
14．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知向量,,若，则______．
15．（2023·山东威海·统考二模）已知向量，，，若，则t＝______．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量，的夹角为，，，则______．
17．（2023·河北·校联考一模）已知O为的外心，若，且，则__________.
18．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形中，，则__________.
19．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知正六边形的边长为1，为边的中点，为正六边形的中心，则______．
20．（2023·北京通州·统考三模）已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，则=___________.
21．（2023·广东汕头·统考三模）在中，，，，，求_________.
22．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______.
题型二 平面向量的模长
策略方法 求向量模的方法
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)．
(2)|a±b|＝eq \r(a±b2)＝eq \r(a2±2a·b＋b2)．
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2)．
【典例1】已知，均为单位向量，且与夹角为，则（ ）
A．3B．C．2D．
【典例2】已知向量满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知向量，，，若，则实数（ ）．
A．1或B．或4
C．0或8D．0或
2．（2023·全国·高三专题练习）平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河北衡水·模拟预测）已知平面向量满足，则（ ）
A．B．C．D．33
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，满足，，，，则（ ）
A．3B．C．D．5
5．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（ ）
A．B．1C．D．
6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知向量，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·重庆·校联考三模）在△ABC中，，且点D满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·广东深圳·统考模拟预测）向量满足，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在中，，，，M为线段BC的中点，则（ ）
A．3B．C．D．
二、填空题
10．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知，，若，则______．
11．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知为单位向量，且满足，则______.
12．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知向量，，满足，则__________．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，，则______．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，则的最大值为_________．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值是______.
题型三 平面向量的夹角
策略方法 求向量夹角问题的方法
【典例1】已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（ ）
A．45°B．60°C．135°D．150°
【题型训练】
一、单选题
1．（江西省重点中学协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题）已知为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2．（河南省青桐鸣大联考2023届高三下学期5月考试文科数学试题）在中，，，D为AC的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（华大新高考联盟2023届高三名校预测卷全国数学文科试题）已知平面向量，满足，，，则，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．（北京市海淀区2023届高三数学查缺补漏题（1））已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（湖南省郴州市九校联盟2023届高三下学期适应性测试数学试题）已知向量满足，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．（江苏省镇江第一中学2023届高三下学期4月检测数学试题）单位向量，为的夹角为，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（山东省聊城市2023届高三三模数学试题）已知向量，满足，，则与的夹角可以为（ ）
A．B．C．D．
8．（河北省部分学校2023届高三下学期二月联考数学试题）已知单位向量的夹角为，则使为钝角的一个充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
9．（河南省驻马店市2023届高三二模理科数学试题）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．
10．（湖南省普通高中2023届高三高考前模拟数学试题）已知单位向量，满足，则向量与的夹角为_______________．
11．（2023届四川省名校联考高考仿真测试（三）文科数学试题）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.
12．（重庆市第一中学校2023届高三下学期5月月考数学试题）已知向量和满足：，，，则与的夹角为__________．
题型四 两个向量的垂直问题
策略方法
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
【典例1】已知非零向量，满足，，若，则实数的值为（ ）
A．4B．-4C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·校联考模拟预测）若平面向量，满足，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山西吕梁·统考三模）已知向量满足，且，则实数（ ）
A．1或B．-1或C．1或D．-1或
5．（2023·湖北·统考二模）已知向量的夹角为，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知向量的夹角的余弦值为，，，则（ ）
A．-4B．-1C．1D．4
7．（2023·新疆·校联考二模）平面内三个单位向量，，，满足，若，则（ ）
A．B．C．2D．
8．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知两个非零向量，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知两个单位向量，满足与垂直，则（ ）
A．B． C． D．
10．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量，，满足，，，则,（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
二、填空题
13．（2023·全国·模拟预测）向量，且，则实数_________．
14．（2023·全国·模拟预测）已知向量，．若，则______．
15．（2023春·安徽合肥·高三校考开学考试）已知向量，，．若，且，则______．
16．（2023·全国·高三专题练习）非零向量，，若，则______.
题型五 平面向量的投影数量、投影向量
【典例1】向量与的夹角为，，，在上投影数量为（ ）
A．2B．C．1D．
【典例2】已知向量，，若与反向，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）设非零向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）若向量，满足，，则在方向上的投影为（ ）
A．1B．C．D．－1
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知向量满足，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影为（ ）
A．2B．4C．-2D．-4
5．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知单位向量，的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知向量在向量上的投影向量是，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为
D．若向量与非零向量共线，则
9．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，则下列命题正确的是（ ）
A．当且仅当时，B．在上的投影向量为
C．存在θ，使得D．存在θ，使得
三、填空题
10．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知，则向量在向量上的投影向量为___________.
11．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知向量，，且，则向量在方向上的投影为______．
12．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）设，，则在方向上的投影向量的坐标为_________．
13．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知向量，的夹角为60°，向量在向量上的投影向量的长度为1，，则______．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是________.
题型六 平面向量的应用
策略方法
平面向量常与平面几何、三角函数、解三角形、不等式、解析几何的问题综合起来考查，还会与一些物理知识相结合考查．解决此类问题的关键是把向量作为载体，将题干关系转化为向量的运算，进一步转化为实数运算来求解．
【典例1】已知中，，，则此三角形为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东深圳·校考一模）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
2．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（ ）
A．3B．15C．或15D．3或15
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方形ABCD中，已知||=2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）设均为非零向量，则“”是“对于任意的实数，都有”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（ ）
A．3B．6C．7D．9
6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）已知平面向量，，均为单位向量，且，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，的夹角为锐角，则且
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知扇形OAB的半径为1，，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为0B．的最小值为
C．的最大值为1D．的最小值为0
三、填空题
10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标：______.
11．（2023春·江苏徐州·高三徐州高级中学校考阶段练习）在中，O为BC的中点，向量，的夹角为，，则线段AC的长度是______.
12．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则________.
13．（2023·天津·校考模拟预测）已知O为矩形ABCD内一点，满足，，，则__________．
14．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点（包含端点），则的最大值为________．
15．（2023春·四川成都·高三校联考期末）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围为______．
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第24讲 平面向量的数量积及其应用（精讲）
题型目录一览
一、知识点梳理
一、平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），
记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，eq \(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq \(OB,\s\up6(→))表示向量b，过点A作eq \(OB,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量eq \(OA1,\s\up6(→))的变换称为向量a向向量b投影，向量eq \(OA1,\s\up6(→))称为向量a在向量b上的投影向量.
,向量a在向量b上的投影向量为(|a|csθ)eq \f(b,|b|).
二、数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；②；③．
三、数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
四、数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
【常用结论】
(1)在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线
二、题型分类精讲
题型一 平面向量的数量积的运算
策略方法 平面向量数量积的三种运算方法
【典例1】已知向量的夹角为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据数量积公式和运算律计算即可.
【详解】.
故选：D.
【典例2】已知的外接圆圆心为，且，，则（ ）
A．0B．2C．4D．
【答案】C
【分析】根据题意可知△为直角三角形，△为等边三角形，即可求出的值.
【详解】由知是边中点，
因为是△的外接圆圆心，所以△为直角三角形，
且，因为，所以△为等边三角形，
所以，，
所以.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的坐标求出模长，再利用向量的数量积公式即可求解.
【详解】因为，所以，
因为向量绕坐标原点顺时针旋转得到，
所以向量与向量的夹角为，且，
所以
.
故选：B
2．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量，，（），则（ ）
A．5B．C．D．
【答案】B
【分析】求出向量的坐标，根据数量积坐标表示，即可求得答案.
【详解】由题意向量，，可得，
故，故选：B
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知的半径为2，，则（ ）
A．1B．-2C．2D．
【答案】C
【分析】判断形状可得，然后根据数量积定义直接求解即可.
【详解】由题知，为正三角形，所以，所以.
故选：C
4．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A．B．C．12D．72
【答案】A
【分析】运用平面向量的数量积运算可求得结果.
【详解】因为，且与夹角的余弦值为，
所以.
故选：A.
5．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边的边长为2，平面内一点满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解与合成，再利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】，
，
.
故选：C.
6．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知菱形的边长为2，且，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】根据向量的数量积公式及运算律，结合菱形图形特征，计算求解可得.
【详解】由条件可知，所以，
在中，由余弦定理，可得，
，菱形的对角线互相垂直，则向量与向量的夹角为，
则.
故选：D.
7．（2023·全国·模拟预测）在中，M是的中点，，点P在上且满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据向量的加法求出，然后求出，进而可直接求解.
【详解】因为M是的中点，所以，
又因为点P在上且满足，，所以，
所以.
故选：A.
8．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】由题意可得出，点G为的重心，所以，，再由向量的数量及定义求解即可.
【详解】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，，
所以，
所以，则为等边三角形，因为，
所以，设点M为BC的中点，则，所以，
所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，
所以，
同理可得点AB，AC的中线过点G，
所以点G为的重心，故，
在等边中，M为BC的中点，则，
所以.
故选：A
9．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知向量满足，且夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的数量积的运算律结合数量积的定义，即可求得答案.
【详解】由向量满足，且夹角为，
可得
，
故选：B
10．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，设，由和可列方程求出点E，再根据数量积坐标运算即可求解.
【详解】建立如图所示直角坐标系：
则，
设，则
且，
，解得，
，
在矩形中，为的中点，
所以，由，
所以，
，
故选：D.
二、多选题
11．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）圆为锐角的外接圆，，则的值可能为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】利用正弦定理表示出R，借助角C表示出所求，根据为锐角三角形，结合图形可得范围，然后可得.
【详解】记圆的半径为R，则，
又，所以.
因为为锐角三角形，如图，易知，所以，
所以，即.
故选：BC.
12．（2023·全国·模拟预测）在菱形中，，，点为线段的中点，和交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.
【详解】四边形为菱形，，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
，，，，
，，，，，
对于A，，，A正确；
对于B，，，，B正确；
对于C，，，，C错误；
对于D，，，，D正确.
故选：ABD.
13．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）设为的外心，，，的角平分线交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】对于A、B：根据题意结合正弦定理可得，结合平面向量的线性运算求；对于C、D：根据外心的性质结合平面向量的数量积运算求解.
【详解】在中，有正弦定理可得，可得，
在中，有正弦定理可得，可得，
因为，，为的角平分线，
可知，
则，
可得，
所以，即，
可得，
故A正确，B错误；
分别取的中点，连接，可知，
因为为的外心，则，
，
所以，
故C正确；D错误.
故选：AC.
三、填空题
14．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知向量,,若，则______．
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标运算可得答案.
【详解】因为,，所以，
所以，即，
所以.
故答案为：.
15．（2023·山东威海·统考二模）已知向量，，，若，则t＝______．
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示可得，结合向量数量积的坐标公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
因为，
所以，解得，
即t的值为.
故答案为: .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量，的夹角为，，，则______．
【答案】9
【分析】根据数量积的定义结合数量积的运算律，即可求得答案.
【详解】由及，夹角为可知，
又，解得，则，
故，
故答案为：9
17．（2023·河北·校联考一模）已知O为的外心，若，且，则__________.
【答案】
【分析】由平面向量数量积公式进行求解.
【详解】由圆的性质可得，，
故.
故答案为：
18．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形中，，则__________.
【答案】
【分析】根据菱形对角线互相垂直，结合平面向量数量积公式求出答案.
【详解】设与交于，则且是线段的中点，
，由平面向量数量积的几何意义知，
.
故答案为：
19．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知正六边形的边长为1，为边的中点，为正六边形的中心，则______．
【答案】
【分析】利用平面向量数量积公式进行求解.
【详解】根据题意得，，，
故．
故答案为：
20．（2023·北京通州·统考三模）已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，则=___________.
【答案】1
【分析】根据平面向量基本定理并借助圆心和圆内向量互为相反向量即可求解.
【详解】
.
故答案为: 1.
21．（2023·广东汕头·统考三模）在中，，，，，求_________.
【答案】
【分析】根据已知条件得出,,化简应用数量积公式计算求解即得.
【详解】，，，
,
,
.
故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______.
【答案】
【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.
【详解】是BC中点，
，
M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
，
同理可得，
.
故答案为：.
题型二 平面向量的模长
策略方法 求向量模的方法
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)．
(2)|a±b|＝eq \r(a±b2)＝eq \r(a2±2a·b＋b2)．
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2)．
【典例1】已知，均为单位向量，且与夹角为，则（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】D
【分析】先求，再利用模长公式可得答案.
【详解】因为，均为单位向量，且与夹角为，所以；
因为，所以.
故选：D.
【典例2】已知向量满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量坐标运算和数量积运算的性质，结合可求得，由此可得，进而求得结果.
【详解】，，
，解得：，
，解得：.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知向量，，，若，则实数（ ）．
A．1或B．或4
C．0或8D．0或
【答案】D
【分析】根据向量模的坐标表示求解.
【详解】由题意得，，
∴，解得或．
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由向量，求得，再结合，即可求解.
【详解】由题意，向量，可得，
又由向量与的夹角为，，
则.
故选：D.
3．（2023·河北衡水·模拟预测）已知平面向量满足，则（ ）
A．B．C．D．33
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量模长的计算公式，代入计算即可得到结果.
【详解】因为，所以，则，
所以，即.故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，满足，，，，则（ ）
A．3B．C．D．5
【答案】D
【分析】设出向量，根据向量的数量积和向量的模的公式，即可求出向量.
【详解】设，因为，，
所以 ①， ②，由①②解得，，
所以，.
故选：D.
5．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案.
【详解】因为，所以，
即，解得.
故选：A.
6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知向量，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据求得m，再利用向量的模公式求解.
【详解】解：因为向量，，
所以，
又因为，
所以，
解得，
所以，
故选：C
7．（2023·重庆·校联考三模）在△ABC中，，且点D满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算和题干条件得到，从而得到.
【详解】由题意得，平方得，
故，
因为点D满足，所以，
平方得，
故.
故选：D
8．（2023·广东深圳·统考模拟预测）向量满足，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用向量垂直的条件，即数量积为，结合向量的平方即为模的平方，化简整理，计算即可得到所求值．
【详解】由，得，
又，
所以，
又，则，，
所以，即，
所以，
又，
所以，
综上，，
故选：C．
9．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在中，，，，M为线段BC的中点，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，可得，再利用数量积的定义及运算律求解作答.
【详解】在中，M为线段BC的中点，则有，
由，，，得，
所以.
故选：B
二、填空题
10．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知，，若，则______．
【答案】
【分析】根据数量积的坐标表示求出，即可求出的坐标，再利用坐标法求出模.
【详解】因为，且，
所以，解得，所以，
所以，
所以.
故答案为：
11．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知为单位向量，且满足，则______.
【答案】
【分析】将两边平方可得，进而可得.
【详解】为单位向量，且满足，所以，
即，解得，
所以.
故答案为：.
12．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知向量，，满足，则__________．
【答案】/或/或
【分析】利用，求出的值，利用平面向量坐标表示建立方程求解即可
【详解】因为，，
所以，
，
得．
故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，，则______．
【答案】
【分析】应用向量的性质即可列方程组求解.
【详解】由，得，即 ①．
又由，得，
即，代入①，得，
整理，得，所以．
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，则的最大值为_________．
【答案】
【分析】利用向量模的坐标形式可求的最大值.
【详解】，所以
当时，的最大值为：.
故答案为：.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值是______.
【答案】
【分析】设，根据条件得出点满足的条件，然后由向量的模长公式求的最小值.
【详解】设，
则
由，则
即点在以为焦点，长轴为的椭圆上
所以满足
则，且
故当时，有最小值,故答案为：
题型三 平面向量的夹角
策略方法 求向量夹角问题的方法
【典例1】已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（ ）
A．45°B．60°C．135°D．150°
【答案】C
【分析】由向量的数量积运算公式，再应用向量夹角公式求夹角，最后结合向量反向共线求出夹角即可.
【详解】∵，，
∴.∵，
∴，，则，
设向量与的夹角为，与反向,则.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（江西省重点中学协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题）已知为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，根据向量数量积定义和运算律可求得夹角，即为的夹角.
【详解】，
，又与同向，，
，.
故选：C.
2．（河南省青桐鸣大联考2023届高三下学期5月考试文科数学试题）在中，，，D为AC的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由向量的数量积公式及向量夹角的范围可得答案.
【详解】，
则，又，则．
故选：B．
3．（华大新高考联盟2023届高三名校预测卷全国数学文科试题）已知平面向量，满足，，，则，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对进行平方可得，可算出，最后利用夹角公式即可
【详解】依题意，，解得，
故，
故，
故选：A．
4．（北京市海淀区2023届高三数学查缺补漏题（1））已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由求出的范围，进而可得结果.
【详解】因为为单位向量，所以由两边平方得，
所以得，而，所以夹角为0或锐角；
所以“”是“为锐角”的必要而不充分条件.
故选：B.
5．（湖南省郴州市九校联盟2023届高三下学期适应性测试数学试题）已知向量满足，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律，结合向量的夹角公式求解作答.
【详解】由，得，则，
由，得，即，整理得，
因此，而，解得，
所以向量的夹角为.故选：B.
6．（江苏省镇江第一中学2023届高三下学期4月检测数学试题）单位向量，为的夹角为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数量积的定义可得，再结合数量积的运算律运算求解.
【详解】由题意可得：，
因为，
所以，解得.
故选：C.
二、多选题
7．（山东省聊城市2023届高三三模数学试题）已知向量，满足，，则与的夹角可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据题意，将式子两边同时平方，然后相减即可得到，，然后结合向量夹角公式即可得到，从而得到结果.
【详解】因为，则，且，则，
所以，即，则，又因为，
即，设与的夹角为，则，即，
且，则，所以，则与的夹角可以为，.
故选：AB
8．（河北省部分学校2023届高三下学期二月联考数学试题）已知单位向量的夹角为，则使为钝角的一个充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】当时即可判断A，将两边平方，得到，从而求出即可判断B选项，利用向量数量积的运算展开即可判断的值或范围即可得到C选项，由得，当即可判断选项D.
【详解】若，则可能为，A选项不是为钝角的充分条件，
故A不正确，
若，两边平方得，
即向量的余弦值为，所以，
B选项是为钝角的一个充分条件；
故B选项正确，
若，则，
即向量的余弦值为，所以且为钝角，，
C选项是为钝角的充分条件，
故C选项正确，
若，两边平方得，当时满足题意
所以不一定为钝角，D不是为钝角的充分条件，
故D不正确，
故选：BC.
三、填空题
9．（河南省驻马店市2023届高三二模理科数学试题）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．
【答案】
【分析】利用性质，将已知条件转化为数量积求解即可.
【详解】设向量，的夹角为，因为，所以．
又，所以，所以．
故答案为：
10．（湖南省普通高中2023届高三高考前模拟数学试题）已知单位向量，满足，则向量与的夹角为_______________．
【答案】
【分析】根据可得，再利用向量数量积定义可求得其夹角为.
【详解】由，可知，
解得．
设向量与向量的夹角为θ，且，
则，又，所以．
故答案为：
11．（2023届四川省名校联考高考仿真测试（三）文科数学试题）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.
【答案】
【分析】先利用数量积公式求出，再求出，最后代入向量的夹角公式得解.
【详解】是夹角为的两个单位向量，则，
，
，
，，
，.
故答案为：
12．（重庆市第一中学校2023届高三下学期5月月考数学试题）已知向量和满足：，，，则与的夹角为__________．
【答案】
【分析】记向量和的夹角为，将平方化简即可求出答案.
【详解】记向量和的夹角为，将平方得到：
或，
又因为，即．
故答案为：.
题型四 两个向量的垂直问题
策略方法
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
【典例1】已知非零向量，满足，，若，则实数的值为（ ）
A．4B．-4C．D．
【答案】D
【分析】根据数量积的运算规则计算.
【详解】，即；
故选：D.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐标运算，即可计算出答案.
【详解】，
又，
知，
即.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
3．（2023·全国·校联考模拟预测）若平面向量，满足，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用垂直的向量表示求出的表达式，再利用向量夹角公式求解作答.
【详解】因为与垂直，则，即，化简得，
而，则．又，有，
所以与的夹角为.
故选：B
4．（2023·山西吕梁·统考三模）已知向量满足，且，则实数（ ）
A．1或B．-1或C．1或D．-1或
【答案】D
【分析】根据向量的线性计算和垂直的坐标表示即可求解.
【详解】
所以，
因为，
所以，
解得或，
故选：D.
5．（2023·湖北·统考二模）已知向量的夹角为，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】利用向量垂直的条件及向量数量积的定义即可求解.
【详解】因为，
所以，即，
又因为，向量的夹角为，
所以，即，解得.
故选：D.
6．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知向量的夹角的余弦值为，，，则（ ）
A．-4B．-1C．1D．4
【答案】C
【分析】可由题意设出，，由，根据向量垂直的性质得，再由向量的夹角的余弦值为，可解得，再代入求解即可.
【详解】由题意不妨设，，
则，，
由，可得，即，
又由，解得，
所以.
故选：C.
7．（2023·新疆·校联考二模）平面内三个单位向量，，，满足，若，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】由，可得，后结合与可得答案.
【详解】由得，所以，
即.因为，所以，又将代入，整理得，解得.
故选：D．
8．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知两个非零向量，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的数量积运算律和夹角公式求解.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
，
故选:D.
9．（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知两个单位向量，满足与垂直，则（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.
【详解】依题意可得，
即，则.
故选：B
10．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由求得，再用倍角公式求即可.
【详解】因为，，，
所以，即，
所以，解得或（舍），
所以，
故选：B
11．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量，，满足，，，则,（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直得到，再应用数量积公式及夹角公式计算即可.
【详解】，．
所以，又，，
，由，，均为非零向量，
则，且在到之间，故．
故选:D.
12．（2023·全国·高三专题练习）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
【答案】D
【分析】设线段的中点为，推导出，结合外心的定义可得出结论.
【详解】设线段的中点为，则、互为相反向量，
所以，，
因为，即，
所以，，即，
即，即，
所以，垂直且平分线段，
因此动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心.
故选：D.
二、填空题
13．（2023·全国·模拟预测）向量，且，则实数_________．
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求.
【详解】因为向量，所以，
又，
所以，得，
解得．
故答案为：.
14．（2023·全国·模拟预测）已知向量，．若，则______．
【答案】
【分析】利用向量加法、减法和数量积的坐标表示求解即可
【详解】因为向量，，
所以，
，
又，
所以
所以，
故答案为：.
15．（2023春·安徽合肥·高三校考开学考试）已知向量，，．若，且，则______．
【答案】
【分析】根据向量垂直、平行列方程，从而求得的值.
【详解】，
由于、，
所以，解得.
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）非零向量，，若，则______.
【答案】
【分析】由得，从而求得的值.
【详解】因为，所以，
由题易知，，
所以.
故答案为：
题型五 平面向量的投影数量、投影向量
【典例1】向量与的夹角为，，，在上投影数量为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【分析】根据向量投影数量的概念计算即可.
【详解】在上投影数量为.
故选：D
【典例2】已知向量，，若与反向，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意可先求出的值，从而可得的坐标，再用投影向量的定义即可求解.
【详解】依题意，，，
所以，解得或，
又与反向，则时，向量与同向，不合舍去，
故，此时，，，
则向量在向量上的投影向量为
.
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）设非零向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用性质结合已知求出，然后可得投影向量.
【详解】因为，
所以，解得，
所以在上的投影向量为.
故选：D
2．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）若向量，满足，，则在方向上的投影为（ ）
A．1B．C．D．－1
【答案】B
【分析】先利用向量数量积的运算求得，再利用投影的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以，即，则，
故在方向上的投影.
故选：B.
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知向量满足，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的定义可得，将数据代入计算，即可得到答案；
【详解】由,得,
,于是,
因此在方向上的投影向量为.
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影为（ ）
A．2B．4C．-2D．-4
【答案】C
【分析】根据投影公式和平面向量的数量积，直接计算即可得解.
【详解】.
故选：C.
5．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据求出，再根据投影向量公式可求出结果.
【详解】因为，所以，得，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C
6．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知单位向量，的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解.
【详解】依题意，因为两个单位向量和的夹角为，
所以，
所以，，
，
故向量在向量上的投影向量为．
故选：C.
7．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知向量在向量上的投影向量是，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量在向量上的投影向量求出，代入的定义式即可.
【详解】因为向量在向量上的投影向量是，所以,
因此.
故选：A.
二、多选题
8．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为
D．若向量与非零向量共线，则
【答案】AD
【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，主要考查了两向量的夹角、投影向量、向量的平行与垂直的基本知识，一一验证即可.
【详解】由题意知，，，
则，因此A正确；
在方向上的投影向量为
，因此B错误；
与垂直的单位向量的坐标为
或，因此C错误；
因为，，
若向量与向量共线，则，
解得，因此D正确.
故选：AD.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，则下列命题正确的是（ ）
A．当且仅当时，B．在上的投影向量为
C．存在θ，使得D．存在θ，使得
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示判断A；求出投影向量判断B；利用向量的坐标运算判断C；利用数量积的运算律结合坐标运算判断D作答.
【详解】向量，，，
对于A，，A正确；
对于B，因为，则在上的投影向量为，B正确；
对于C，，假定存在θ，使得，则有，
而，即不成立，因此不存在θ，使得，C错误；
对于D，，即，
则，因此存在θ，使得，D正确.
故选：ABD
三、填空题
10．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知，则向量在向量上的投影向量为___________.
【答案】
【分析】设之间的夹角为，利用题意得到，，然后用投影向量公式进行求解即可
【详解】设之间的夹角为，
，又，又，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
11．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知向量，，且，则向量在方向上的投影为______．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，求出，再结合投影公式，即可求解．
【详解】向量，，由，得，所以，
所以在方向上的投影为．
故答案为：.
12．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）设，，则在方向上的投影向量的坐标为_________．
【答案】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以向量在方向的投影向量为.
故答案为：.
13．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知向量，的夹角为60°，向量在向量上的投影向量的长度为1，，则______．
【答案】
【分析】由向量数量积的几何意义有，得，再应用向量数量积运算律求目标向量的模.
【详解】由题意，则，
由，故.
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是________.
【答案】
【分析】由垂直关系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由两式得出，进而得出夹角.
【详解】因为，所以，即①.
因为向量在向量方向的投影向量是，
所以.所以②，
将①代入②得，，又，所以.故答案为：
题型六 平面向量的应用
策略方法
平面向量常与平面几何、三角函数、解三角形、不等式、解析几何的问题综合起来考查，还会与一些物理知识相结合考查．解决此类问题的关键是把向量作为载体，将题干关系转化为向量的运算，进一步转化为实数运算来求解．
【典例1】已知中，，，则此三角形为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形.
【详解】如下图所示：
设M为AC中点，则，
所以，即为等腰三角形，
又，所以，
即，
所以，可得，
综上可知三角形为等边三角形.
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东深圳·校考一模）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】由题设易知且、，进而判断最大时的关系即可得答案.
【详解】由圆O是△ABC的外接圆，且，故，
所以，则，
所以，故反向共线时最大，
所以.
故选：C
2．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（ ）
A．3B．15C．或15D．3或15
【答案】D
【分析】先根据题意确定向量，的倍数关系，然后可直接求解.
【详解】因为向量，满足同向共线，所以设，
又因为，，所以，
所以或，即或.
①当时，；
②当时，；
所以的值为3或15.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方形ABCD中，已知||=2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】以A为坐标原点建立直角坐标系，用坐标来求解即可.
【详解】以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，设，则，，
，所以的最大值是4，当N在线段BC上时，都可以取到.
故选：C.
4．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）设均为非零向量，则“”是“对于任意的实数，都有”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的运算法则和公式进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，则，即，
当时，可得，此时恒成立，
即充分性成立；
当对于任意的实数恒成立时，
可得，又，
所以，即必要性成立，
综上可得，“”是“对于任意的实数，都有”的充分必要条件.
故选：C.
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（ ）
A．3B．6C．7D．9
【答案】C
【分析】先根据投影向量的公式结合题干条件得到，然后利用向量的运算将用表示，然后用向量的数量积进行运算.
【详解】
根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为，
由题意，，于是，即.
又，
∴．
故选：C
6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，设，由和可列方程求出点E，再根据数量积坐标运算即可求解.
【详解】建立如图所示直角坐标系：
则，
设，则
且，
，解得，
，
在矩形中，为的中点，
所以，由，
所以，
，
故选：D.
7．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）已知平面向量，，均为单位向量，且，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平面向量，，均为单位向量，且，根据向量的减法的几何意义，可判定，与构成等边三角形，，向量夹角为，再化简原式即可求解.
【详解】由平面向量，，均为单位向量，且，
根据向量的减法的几何意义，可判定，与构成等边三角形，
所以，向量夹角为，
,
所以当与同向时，原式取到最小值；
当与反向时，原式取到最大值4.
故选：C.
二、多选题
8．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，的夹角为锐角，则且
【答案】AC
【分析】根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案.
【详解】因为，，，
所以，，
选项A：，所以A正确；
选项B：因为，所以，所以，所以，所以B错误；
选项C：因为，所以，所以，所以C正确；
选项D：因为，的夹角为锐角，且，所以，解得
，所以D错误.
故选：AC
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知扇形OAB的半径为1，，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为0B．的最小值为
C．的最大值为1D．的最小值为0
【答案】BCD
【分析】以为原点建立如图所示的直角坐标系，得，，设，则，求出，利用的范围可判断A；
求出、的坐标，由，利用的范围可判断B；设，可得，求出、，由，利用 、、，的范围可判断CD.
【详解】
以为原点建立如图所示的直角坐标系，所以，，
设，则，，
，所以，
因为，所以，所以，
所以，的最小值为，故A错误；
，，
所以，
因为，所以，所以，
所以，，
的最小值为，故B正确；
设，又，所以，可得，
，，
所以
，其中，
又，所以，所以，，
，，所以，
的最小值为0，故CD正确.
故选：BCD.
三、填空题
10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标：______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】设，由平行的坐标表示可得，再由数量积的定义可得，即可得出答案.
【详解】由题意得，，则，设，
得，且，满足条件的向量的坐标可以为（答案不唯一或者）.
故答案为：（答案不唯一）
11．（2023春·江苏徐州·高三徐州高级中学校考阶段练习）在中，O为BC的中点，向量，的夹角为，，则线段AC的长度是______.
【答案】
【分析】根据条件可得，结合向量的模长公式以及数量积的运算，即可得到结果.
【详解】，
，
.
故答案为:.
12．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则________.
【答案】2
【分析】根据数量积的性质，结合投影定义求解可得.
【详解】∵，∴，∴，
∵向量在向量方向上的投影为，∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2
13．（2023·天津·校考模拟预测）已知O为矩形ABCD内一点，满足，，，则__________．
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算、数量积的运算律以及余弦定理可求出结果.
【详解】
.故答案为：.
14．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点（包含端点），则的最大值为________．
【答案】
【分析】以点A为坐标原点，，的方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，写出对应点的坐标，设，根据平面向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】以点A为坐标原点，，的方向为x轴，y轴正方向，建立平面直角坐标系，
则，，，设，
所以，，则，
因为，所以，即的最大值为．
故答案为：．
15．（2023春·四川成都·高三校联考期末）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题意画出图形，建立平面直角坐标系，可得与的坐标，设，写出，再由三角函数求最值即可．
【详解】由题意不妨设，，
为所在平面内的动点，且，设，
则，，
，
由于，所以
的取值范围是
故答案为:
①平面向量的数量积的运算
②平面向量的模长
③平面向量的夹角
④两个向量的垂直问题
⑤平面向量的投影数量、投影向量
⑥平面向量的应用
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
(当且仅当时等号成立)
①平面向量的数量积的运算
②平面向量的模长
③平面向量的夹角
④两个向量的垂直问题
⑤平面向量的投影数量、投影向量
⑥平面向量的应用
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
(当且仅当时等号成立)
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