（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第03讲 不等式与不等关系（精讲）（原卷版+解析）

这是一份（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第03讲 不等式与不等关系（精讲）（原卷版+解析），共35页。试卷主要包含了知识点梳理，题型分类精讲，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

题型目录一览
一、知识点梳理
1.比较大小基本方法
2.不等式的性质
【常用结论】
1.作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.
2.等式形式及不等式形式解题思路
二、题型分类精讲
题型一 不等式性质的应用
策略方法
1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2．充分利用基本初等函数性质进行判断．
3．小题可以用特殊值法做快速判断．
【典例1】已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·北京·汇文中学校考模拟预测）如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·高三课时练习）给出下列命题：①若a＞b，则；②若，则；③若a＞b，则；④若，则.其中，正确的命题是（ ）.
A．①②B．②③C．③④D．①④
4．（2023·吉林·统考三模）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知lgax＞lgay（0＜a＜1），则下列不等式恒成立的是（ ）
A．y2＜x2B．tanx＜tanyC．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）若，，则（ ）．
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·模拟预测）已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
题型二 比较数（式）的大小与比较法证明不等式
策略方法 比较两个数或代数式的大小的三种方法
(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．
步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．
变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．
(2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数．
步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．
(3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊值法比较．
【典例1】若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023秋·广东清远·高一统考期末）“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
2．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）若，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
4．（2023春·吉林长春·高一校考阶段练习）设、为实数，比较两式的值的大小：_______ （用符号或=填入划线部分）．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞0，b＞0，则p＝﹣a与q＝b﹣的大小关系是_____．
四、解答题
6．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.
7．（2023·全国·高三专题练习）比较与)的大小.
题型三 已知不等式的关系，求目标式的取值范围
策略方法
1．判断不等式是否成立的方法
(1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件．
(2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案．
(3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
2．利用不等式的性质求取值范围的方法
(1)已知x，y的范围，求F (x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．
(2)已知f (x，y)，g(x，y)的范围，求F (x，y)的范围．
可利用待定系数法解决，即设F (x，y)＝mf (x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F (x，y)的取值范围．
【典例1】已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知－3A．(1，3) B． C． D．
3．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知实数x，y分别是方程的解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
7．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知，，且满足，．则的取值可以为（ ）
A．10B．11C．12D．20
三、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围是__________
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，的取值范围是_______________
题型四 不等式的综合问题
【典例1】若正实数满足,且,则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南郑州·统考二模）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·模拟预测）已知，，，试比较a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．（2023·全国·校联考模拟预测）设，且，则（ ）
A．B．
C．的最小值为0D．的最小值为
8．（2023·全国·模拟预测）若，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·辽宁·校联考二模）已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
10．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知，，，则的大小关系是___________.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________．
不等式性质的应用
比较数（式）的大小
已知不等式的关系，求目标式的取值范围
不等式的综合问题
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第03讲 不等式与不等关系（精讲）
题型目录一览
一、知识点梳理
1.比较大小基本方法
2.不等式的性质
【常用结论】
1.作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.
2.等式形式及不等式形式解题思路
二、题型分类精讲
题型一 不等式性质的应用
策略方法
1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2．充分利用基本初等函数性质进行判断．
3．小题可以用特殊值法做快速判断．
【典例1】已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由可得，然后对选项一一分析即可得出答案.
【详解】由可知，所以，所以错误；
因为，但无法判定与1的大小，所以B错误；
当时，，故D错误；
因为，所以，故C正确.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·北京·汇文中学校考模拟预测）如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断A、B，再根据指数函数的性质判断C，根据对数函数的性质判断D；
【详解】解：因为，所以，故A错误；
因为，所以，故B错误；
因为，且在定义域上单调递减，所以，故C错误；
因为，且在定义域上单调递增，所以，故D正确；
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】ABC可以通过举出反例，D选项可以通过不等式的基本性质进行求解.
【详解】当时，，而，，而无意义，故ABC错误；
因为，所以，D正确.
故选：D
3．（2023·高三课时练习）给出下列命题：①若a＞b，则；②若，则；③若a＞b，则；④若，则.其中，正确的命题是（ ）.
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】B
【分析】①④可举出反例，②可通过不等式的基本性质得到；③可利用幂函数的单调性得到.
【详解】若，此时，①错误；
若，则，故，两边平方可得：，②正确；
因为在R上单调递增，故若，则，③正确；
若，不妨设，不满足，④错误.
故选：B
4．（2023·吉林·统考三模）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；B选项，利用基本不等式求出；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，举出反例即可.
【详解】A选项，，故，所以，
两边同乘以得，，A成立；
B选项，因为，所以，且，
由基本不等式得，故B成立；
C选项，因为，所以，
故，所以，C成立；
D选项，不妨取，满足，此时，故D不一定成立.
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）已知lgax＞lgay（0＜a＜1），则下列不等式恒成立的是（ ）
A．y2＜x2B．tanx＜tanyC．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的单调性判断A、D选项，取特殊值法判断B，根据对数函数的单调性以及不等式性质判断C.
【详解】∵lgax＞lgay（0＜a＜1），
∴0＜x＜y，∴y2＞x2，，故A和D错误；
选项B，当,取x，y时，,但；显然有tanx＞tany，故B错误；
选项C，由0＜x＜y可得，故C正确；
故选：C．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.
【详解】解：对于选项A，因为，而的正负不确定，故A错误；
对于选项B，因为，所以，故B错误；
对于选项C，依题意，所以，所以，故C正确；
对于选项D，因为与正负不确定，故大小不确定，故D错误；
故选：C.
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）若，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】由不等式的性质可判断A；利用特值法可判断B，C；利用作差法可判断D.
【详解】对于A：由题意可得，因为，所以，故A正确；
对于B：当，时，满足已知条件，但，故B错误；
对于C：当，，时，满足已知条件，但，故C错误；
对于D：，因为，可得，所以，故D正确．
故选：AD.
8．（2023·全国·模拟预测）已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用不等式的性质可判断A错误；由基本不等式的应用计算可得B正确；利用作差法可知选项C正确；根据基本不等式计算可得当时，成立，但显然，即D错误.
【详解】对于A，由，可知，，
且，由不等式性质可得，所以，即A错误．
对于B，，
当且仅当，即时取等号，B正确．
对于C，作差可得，
所以，C正确．
对于D，，
当且仅当，即时取等号，显然取不到等号，D错误．
故选：BC．
9．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
题型二 比较数（式）的大小与比较法证明不等式
策略方法 比较两个数或代数式的大小的三种方法
(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．
步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．
变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．
(2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数．
步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．
(3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊值法比较．
【典例1】若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用作差比较法及不等式的性质逐项判断即可求解.
【详解】对于A，，因为，所以，
所以，即，于是有故A错误；
对于B，因为，
因为，所以，但与的大小不确定，故不一定成立，故B错误；
对于C，因为，因为，所以，所以，即，于是有，故C正确；
对于D，因为，因为，所以，所以，即，于是有，故D错误.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023秋·广东清远·高一统考期末）“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】做差可判断充分性，取可判断必要性可得答案.
【详解】，
当时，，所以，
可得，所以充分性成立；
但当时，即也成立，
所以必要性不成立．
因此“”是“”的充分不必要条件．
故选：B.
二、多选题
2．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用比差法比较的大小判断A，利用比差法比较的大小判断B，利用基本不等式比较的大小，判断C，举反例判断D.
【详解】因为，，且，
所以，，
对于A：，
当且仅当时等号成立，
所以， A正确；
对于B：，
因为，所以，
所以，即，B错误；
对于C：，
当且仅当时等号成立，又，所以等号不成立，C正确；
对于D：令，，满足条件，，且，
但是，D错误.
故选：AC.
3．（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）若，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，由，则，故A正确；
对于B，，
由，所以，故B错误；
对于C，由，可得，所以，
所以，故C错误；
对于D，，
由，则，即，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
4．（2023春·吉林长春·高一校考阶段练习）设、为实数，比较两式的值的大小：_______ （用符号或=填入划线部分）．
【答案】
【分析】利用作差比较法求得正确答案.
【详解】因为，时等号成立，
所以．
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞0，b＞0，则p＝﹣a与q＝b﹣的大小关系是_____．
【答案】
【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小．
【详解】因为，，与，
所以，时取等号，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较，作差法的应用是求解问题的关键．
四、解答题
6．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.
【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析
【分析】（1）由不等式的性质即可证明.
（2）要比较与的大小，将两式做差展开化简，得到即可判断正负并比较出结果.
【详解】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，从而得.
又a＞b＞0，所以.
（2）因为，当且仅当x＝y时等号成立，
所以当x＝y时，；
当时，.
7．（2023·全国·高三专题练习）比较与)的大小.
【答案】
【分析】做差化简，分情况讨论比较大小.
【详解】

当时，， ，
即；
当时，， ，
即；综上所得.
题型三 已知不等式的关系，求目标式的取值范围
策略方法
1．判断不等式是否成立的方法
(1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件．
(2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案．
(3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
2．利用不等式的性质求取值范围的方法
(1)已知x，y的范围，求F (x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．
(2)已知f (x，y)，g(x，y)的范围，求F (x，y)的范围．
可利用待定系数法解决，即设F (x，y)＝mf (x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F (x，y)的取值范围．
【典例1】已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设，
所以，解得，所以，
又，所以，故A，C，D错误.
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由不等式的性质求解
【详解】，
故，，得
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）已知－3A．(1，3)
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出的范围.
【详解】因为－33．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的同向可加性，结合待定系数法可得，即可得的取值范围.
【详解】解：设，所以，
则，又，
所以，，由不等式的性质得：，
则的取值范围为.
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，求出结合条件可得结果.
【详解】设，可得，
解得，，
因为可得，
所以.
故选：C.
5．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知实数x，y分别是方程的解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据实数x，y分别是方程的解可得，进而可得.
【详解】因表示实数t的范围是，
所以．
所以，
且当时，有最大值是3；
当时，有最小值是0．
故的取值范围是．
故选:C．
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
【答案】ABD
【解析】利用不等式的性质直接求解.
【详解】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确.
故选：ABD.
7．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知，，且满足，．则的取值可以为（ ）
A．10B．11C．12D．20
【答案】CD
【分析】根据条件及基本不等式可得，进而即得.
【详解】因为，，
所以， ，
故，
当，且，而时，即等号不能同时成立，
所以，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
三、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围是__________
【答案】
【分析】先根据求出的范围，利用的范围可得的取值范围.
【详解】因为，所以或，即或；
当时，，所以；
当时，，所以；
故答案为：.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，的取值范围是_______________
【答案】
【分析】设，解出，再利用不等式的可加性求解即可得出．
【详解】设，即，
∴，解得.
∴，
∵，∴①，
∵，∴②，
①②，得，即的取值范围.
故答案为：.
题型四 不等式的综合问题
【典例1】4．若正实数满足,且,则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性及得到或,分别讨论两种情况下四个选项是否正确,A选项可以用对数函数单调性得到,B选项可以用作差法,C选项用作差法及指数函数单调性进行求解,D选项,需要构造函数进行求解.
【详解】因为,为单调递增函数,故,由于,故,或，
当时,,则，此时；
,故;
,即,所以;
当时,,则,此时,
,故;
,即,所以;
故ABC均错误;
对于D选项,,两边取自然对数,,
因为不管,还是,均有,
所以,
故只需证即可.
设(且),则,
令(且),
则,
当时,,当时,,所以,
所以在且上恒成立,
故(且)单调递减,
因为,所以,结论得证,所以D正确.
故选:D.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用特殊值判断AC，利用不等式性质及指数函数单调性判断B，根据排除法判断D.
【详解】取，则不成立，故A错误；
由，当时，，所以，
即，故B错误；
取时，，而，
所以，故C错误；
由ABC错误，排除法知，故D正确.故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】因为，所以，
对于A：，，所以，故A错误；
对于B：，所以在上为增函数，
又，所以，故B错误；
对于C：，
因为，，所以，
所以，故C错误；
对于D：，
因为，，
所以，即，故D正确.
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】（1）利用幂函数单调性即可判断A，利用正切函数单调性即可判断B，
举例，即可判断C，利用对勾函数和二次函数性质即可判断D.
【详解】根据幂函数在上为单调增函数，
故时，，故A错误，
根据三角函数在上为单调增函数，
故时，故，故B错误，
，即，，但与的大小关系不明，如，，
显然此时，故C错误，
根据对勾函数的图像与性质当时，
可知，而，根据二次函数图像与性质可知其值域，
当时，，当时，，
故当时，则，故，故D正确.
故选：D.
4．（2023·河南郑州·统考二模）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题设，，结合重要不等式、基本不等式判断各项的正误即可.
【详解】由题设，，所以，故A错；
且，而，故B对；
，故C错；
，
设，则，则在上递增，
所以，故D错.
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决
【详解】由，可得，
则，则，令，则
，
又在单调递增，在单调递减
，，
则，即
故选：C
6．（2023·全国·模拟预测）已知，，，试比较a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先利用常见的不等式，估计出的范围，精确估计出，然后利用作商法比较大小.
【详解】先证明两个不等式：
（1），设，则
，即在上单调递减，故
，即成立
（2），设，则
，即在上单调递增，故
，即成立
再说明一个基本事实，显然，于是.
由（1）可得，取，可得；
由（2）可得，取，可得，再取，可得，即.
，显然，于是；
，显然，于是.故.
故选：B
二、多选题
7．（2023·全国·校联考模拟预测）设，且，则（ ）
A．B．
C．的最小值为0D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据不等式的性质及基本不等式求最值的方法，对选项逐个检验即可得到答案．
【详解】对于A，由解得，故A正确；
对于B，因为，所以，
则在上单调递增，
且，故B错误；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，
，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选：ACD．
8．（2023·全国·模拟预测）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据判断A；根据，等式成立判断B；根据基本不等式放缩判断C；根据，结合不等式的性质判断D.
【详解】解：对于A：由题意得，所以，即，故A正确；
对于B：取，，满足，但，故B错误；
对于C：易知，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对于D：由，得，
因为，所以，
所以，
所以，即，故D正确.
故选：ACD
9．（2023·辽宁·校联考二模）已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由条件可得，利用比较法判断的大小，判断A，B，化简，利用导数求函数的最值，由此判断C，D.
【详解】因为，
所以，，
所以
所以，A正确，B错误；
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，C正确；
令，则，
可知当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，D正确，
故选：ACD.
三、填空题
10．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知，，，则的大小关系是___________.
【答案】
【分析】构造函数，利用函数的单调性比较出与的大小，再用作差比较出与的大小，即可得出结果.
【详解】根据题意，设，则其导数.
令，
故在区间上，恒成立，则有，即恒成立
在上恒成立，函数在上单调递减，
则有，即
又，而，
，即
故答案为：
【点睛】方法点睛：构造适当的函数，利用函数的单调性来比较大小是一种常用的方法.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________．
【答案】
【分析】当时满足：且，可得，进而得，解得或．于是，令，可得，利用二次函数的单调性即可求解最值.
【详解】当时满足：且，
，即，进而，解得．
所以或，
，
令，
，
由于
所以在单调递增，在单调递减，
当时，，当时，，
所以
故答案为：．
不等式性质的应用
比较数（式）的大小
已知不等式的关系，求目标式的取值范围
不等式的综合问题
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性