还剩2页未读，
继续阅读
所属成套资源：备考2024届高考数学一轮复习强化训练全套（附解析）
成套系列资料，整套一键下载
备考2024届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何第7讲抛物线
展开
这是一份备考2024届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何第7讲抛物线，共3页。
A.经过点OB.经过点P
C.平行于直线OPD.垂直于直线OP
解析 连接PF，由抛物线的定义可知｜PQ｜＝｜FP｜，故线段FQ的垂直平分线经过点P.
2.[命题点2]在平面直角坐标系xOy中，动点M到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，则动点M的轨迹方程为 y2=4x（x≥0）y=0（x<0） .
解析 由题意知，当x≥0时，动点M到定点F（1，0）的距离等于到直线x＝－1的距离，轨迹为抛物线.设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），则p2＝1，p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
当x＜0时，y＝0也满足条件.（易忽略点在定直线上的情况）
综上，动点M的轨迹方程为y2=4x（x≥0),y=0（x<0).
3.[命题点2/2023陕西渭南二模]将抛物线y2＝mx绕其顶点顺时针旋转90°之后，正好与抛物线y＝2x2重合，则m＝（ A ）
A.－12B.12C.－2D.2
解析 易知抛物线y2＝mx的焦点坐标为（m4，0），抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝12y，其焦点坐标为（0，18）.
易知（m4，0）绕原点顺时针旋转90°之后得到（0，18），则m4＝－18，解得m＝－12.
4.[命题点3/2023长沙市适应性考试]已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在第一象限）.若直线AO与抛物线的准线l交于点D，设△AOF，△ADB的面积分别为S1，S2，则S1S2＝ 916 .
解析 如图，设A（xA，yA），B（xB，yB），根据抛物线的定义知，｜AF｜＝xA＋p2 ①，因为∠AFx＝60°，所以xA＝p2＋｜AF｜·cs 60° ②，
由①②得，｜AF｜＝p1－cs60°＝2p，xA＝3p2.
同理得｜BF｜＝p1+cs60°＝2p3，xB＝p6.
解法一 由点D在准线l上可知，其横坐标xD＝－p2，易知｜AF｜｜AB｜＝｜AF｜｜AF｜＋｜BF｜＝34，｜AO｜｜AD｜=xAxA－xD＝34，得｜AF｜｜AB｜＝｜AO｜｜AD｜，所以OF∥BD，则△AOF∽△ADB，从而S1S2＝（｜AF｜｜AB｜）2＝916.
解法二 则yA＝3p，yB＝－33p，
直线AO的方程为y＝233x，
将x＝－p2代入上式，得y＝－33p，
即D（－p2，－33p），则yB＝yD，
所以｜DB｜＝xB－xD＝23p，
又｜OF｜＝p2，
所以S1＝12｜OF｜·yA＝34p2，
S2＝12｜DB｜·（yA－yB）＝439p2，可得S1S2＝916.
5.[思维帮/多选/2023济南模拟]在平面直角坐标系xOy中，由直线x＝－4上任一点P向椭圆x24＋y23＝1作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（ ABD ）
A.∠APB恒为锐角
B.当AB垂直于x轴时，直线AP的斜率为12
C.｜AP｜的最小值为4
D.存在点P，使得（PA＋PO）·OA＝0
解析 设P（－4，t），则直线AB的方程为－4x4＋ty3＝1，
即3（x＋1）－ty＝0，则直线AB恒过点（－1，0）.
如图，设圆x24＋y24＝1，即x2＋y2＝4，由点P（－4，t）向圆x2＋y2＝4作切线，切点分别记为A'，B'，显然∠A'PB'＞∠APB，易知sin∠A'PB'2＝2｜PO｜，所以当OP与直线x＝－4垂直时，｜OP｜最小，为4，此时∠A'PB'最大，
所以（sin∠A'PB'2）max＝24＝12，即（∠A'PB'）max＝60°，
所以∠APB＜∠A'PB'≤60°，
所以∠APB恒为锐角，所以选项A正确；
当直线AB垂直于x轴时，由对称性可知，此时点P在x轴上，所以P（－4，0），直线AB的方程为x＝－1，又点A在x轴上方，
所以A（－1，32），所以此时直线AP的斜率为32－1+4＝12，所以选项B正确；
当直线AB垂直于x轴时，｜AP｜＝（－4+1）2＋（0－32）2＝352＜4，所以选项C错误；假设存在点P，使得（PA＋PO）·OA＝0，则（PA＋PO）·（PA－PO）＝PA2－PO2＝0，即｜PA｜＝｜PO｜，设A（x0，y0），－2＜x0＜2，则切线PA的方程为x0x4＋y0y3＝1，则P（－4，3（1+x0）y0），设M为AO的中点，则M（x02，y02），连接PM，因为｜PA｜＝｜PO｜，所以PM⊥AO，则有kPM·kAO＝－1，即3（1+x0）y0－y02－4－x02·y0x0＝－1，化简整理得，x02＋y02＋2x0－6＝0 ①，又x024＋y023＝1，即y02＝3（1－x024），将其代入①得，x02＋8x0－12＝0，解得x0＝－4＋27或x0＝－4－27（舍去），所以存在点P，使得（PA＋PO）·OA＝0，所以选项D正确.综上，选ABD.
A.经过点OB.经过点P
C.平行于直线OPD.垂直于直线OP
解析 连接PF，由抛物线的定义可知｜PQ｜＝｜FP｜，故线段FQ的垂直平分线经过点P.
2.[命题点2]在平面直角坐标系xOy中，动点M到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，则动点M的轨迹方程为 y2=4x（x≥0）y=0（x<0） .
解析 由题意知，当x≥0时，动点M到定点F（1，0）的距离等于到直线x＝－1的距离，轨迹为抛物线.设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），则p2＝1，p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
当x＜0时，y＝0也满足条件.（易忽略点在定直线上的情况）
综上，动点M的轨迹方程为y2=4x（x≥0),y=0（x<0).
3.[命题点2/2023陕西渭南二模]将抛物线y2＝mx绕其顶点顺时针旋转90°之后，正好与抛物线y＝2x2重合，则m＝（ A ）
A.－12B.12C.－2D.2
解析 易知抛物线y2＝mx的焦点坐标为（m4，0），抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝12y，其焦点坐标为（0，18）.
易知（m4，0）绕原点顺时针旋转90°之后得到（0，18），则m4＝－18，解得m＝－12.
4.[命题点3/2023长沙市适应性考试]已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在第一象限）.若直线AO与抛物线的准线l交于点D，设△AOF，△ADB的面积分别为S1，S2，则S1S2＝ 916 .
解析 如图，设A（xA，yA），B（xB，yB），根据抛物线的定义知，｜AF｜＝xA＋p2 ①，因为∠AFx＝60°，所以xA＝p2＋｜AF｜·cs 60° ②，
由①②得，｜AF｜＝p1－cs60°＝2p，xA＝3p2.
同理得｜BF｜＝p1+cs60°＝2p3，xB＝p6.
解法一 由点D在准线l上可知，其横坐标xD＝－p2，易知｜AF｜｜AB｜＝｜AF｜｜AF｜＋｜BF｜＝34，｜AO｜｜AD｜=xAxA－xD＝34，得｜AF｜｜AB｜＝｜AO｜｜AD｜，所以OF∥BD，则△AOF∽△ADB，从而S1S2＝（｜AF｜｜AB｜）2＝916.
解法二 则yA＝3p，yB＝－33p，
直线AO的方程为y＝233x，
将x＝－p2代入上式，得y＝－33p，
即D（－p2，－33p），则yB＝yD，
所以｜DB｜＝xB－xD＝23p，
又｜OF｜＝p2，
所以S1＝12｜OF｜·yA＝34p2，
S2＝12｜DB｜·（yA－yB）＝439p2，可得S1S2＝916.
5.[思维帮/多选/2023济南模拟]在平面直角坐标系xOy中，由直线x＝－4上任一点P向椭圆x24＋y23＝1作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（ ABD ）
A.∠APB恒为锐角
B.当AB垂直于x轴时，直线AP的斜率为12
C.｜AP｜的最小值为4
D.存在点P，使得（PA＋PO）·OA＝0
解析 设P（－4，t），则直线AB的方程为－4x4＋ty3＝1，
即3（x＋1）－ty＝0，则直线AB恒过点（－1，0）.
如图，设圆x24＋y24＝1，即x2＋y2＝4，由点P（－4，t）向圆x2＋y2＝4作切线，切点分别记为A'，B'，显然∠A'PB'＞∠APB，易知sin∠A'PB'2＝2｜PO｜，所以当OP与直线x＝－4垂直时，｜OP｜最小，为4，此时∠A'PB'最大，
所以（sin∠A'PB'2）max＝24＝12，即（∠A'PB'）max＝60°，
所以∠APB＜∠A'PB'≤60°，
所以∠APB恒为锐角，所以选项A正确；
当直线AB垂直于x轴时，由对称性可知，此时点P在x轴上，所以P（－4，0），直线AB的方程为x＝－1，又点A在x轴上方，
所以A（－1，32），所以此时直线AP的斜率为32－1+4＝12，所以选项B正确；
当直线AB垂直于x轴时，｜AP｜＝（－4+1）2＋（0－32）2＝352＜4，所以选项C错误；假设存在点P，使得（PA＋PO）·OA＝0，则（PA＋PO）·（PA－PO）＝PA2－PO2＝0，即｜PA｜＝｜PO｜，设A（x0，y0），－2＜x0＜2，则切线PA的方程为x0x4＋y0y3＝1，则P（－4，3（1+x0）y0），设M为AO的中点，则M（x02，y02），连接PM，因为｜PA｜＝｜PO｜，所以PM⊥AO，则有kPM·kAO＝－1，即3（1+x0）y0－y02－4－x02·y0x0＝－1，化简整理得，x02＋y02＋2x0－6＝0 ①，又x024＋y023＝1，即y02＝3（1－x024），将其代入①得，x02＋8x0－12＝0，解得x0＝－4＋27或x0＝－4－27（舍去），所以存在点P，使得（PA＋PO）·OA＝0，所以选项D正确.综上，选ABD.
相关试卷
备考2024届高考数学一轮复习分层练习第八章平面解析几何第7讲抛物线： 这是一份备考2024届高考数学一轮复习分层练习第八章平面解析几何第7讲抛物线，共8页。试卷主要包含了[2024福州市一检]已知点P，已知O为坐标原点，F是抛物线C，[多选]已知点M等内容，欢迎下载使用。
备考2024届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何第6讲双曲线： 这是一份备考2024届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何第6讲双曲线，共2页。
备考2024届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何第5讲椭圆： 这是一份备考2024届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何第5讲椭圆，共3页。试卷主要包含了[命题点3]直线y＝kx等内容，欢迎下载使用。
