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备考2024届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何第7讲抛物线巧用抛物线中的阿基米德三角形的几何性质
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何第7讲抛物线巧用抛物线中的阿基米德三角形的几何性质，共4页。
A.1B.2C.3D.2
解析 设A（x1，y1），B（x2，y2），因为y＝12x2，所以y'＝x.根据导数的几何意义可知直线PA：y－y1＝x1（x－x1），化简得y＝x1x－y1.
同理可得，直线PB：y＝x2x－y2.
因为点P是直线y＝－x－1上一动点，
所以不妨设P（t，－t－1），则－t－1＝x1t－y1，－t－1＝x2t－y2，
所以直线AB：tx－y＋t＋1＝0.直线tx－y＋t＋1＝0过定点G（－1，1），
所以当AB⊥OG时，原点O到直线AB的距离最大，其最大距离为｜OG｜＝2.故选B.（另解：原点O到直线AB的距离d＝｜t+1｜t2+1＝t2+2t+1t2+1＝1+2tt2+1≤1+1＝2，当且仅当t＝1时取等号）
例5 [2021全国卷乙]已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2＋（y＋4）2＝1上点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.
解析 （1）由题意知M（0，－4），F（0，p2），圆M的半径r＝1，所以｜MF｜－r＝4，即p2＋4－1＝4，解得p＝2.（F与圆M上点的距离的最小值为｜MF｜－r，最大值为｜MF｜＋r）
（2）解法一 由（1）知，抛物线方程为x2＝4y，
由题意可知直线AB的斜率存在，设A（x1，x124），B（x2，x224），直线AB的方程为y=kx+b,
由y＝kx＋b，x2=4y，消去y得x2－4kx－4b＝0，
则Δ＝16k2＋16b＞0 ①，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以｜AB｜＝1+k2｜x1－x2｜＝1+k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝41+k2·k2＋b.
因为x2＝4y，即y＝x24，
所以y'＝x2，则抛物线在点A处的切线斜率为x12，在点A处的切线方程为y－x124＝x12（x－x1），
即y＝x12x－x124.
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝x22x－x224.
由y＝x12x－x124，y＝x22x－x224，得x＝x1＋x22=2k，y＝x1x24＝－b，即P（2k，－b），
设点P到直线AB的距离为d，则d＝｜2k2+2b｜1+k2，
所以S△PAB＝12｜AB｜·d＝4（k2＋b）3.
因为点P在圆M上，
所以4k2＋（4－b）2＝1，
且－12≤k≤12，3≤b≤5，满足①.
则k2＝1－（4－b）24＝－b2+8b－154，令t＝k2＋b，则t＝－b2+12b－154，且3≤b≤5.
因为t＝－b2+12b－154在[3，5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k=0,所以△PAB面积的最大值为205.
解法二 设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则切线PA的方程为y－y1＝x12（x－x1），切线PB的方程为y－y2＝x22（x－x2），
将点P（x0，y0）的坐标分别代入切线PA、切线PB的方程，可得x0x1－2（y0＋y1）=0，x0x2－2（y0＋y2）=0，则可得直线AB的方程为x0x－2（y＋y0）＝0.
由x0x－2（y＋y0）=0，x2=4y，可得x2－2x0x＋4y0＝0，Δ＝4（x02－4y0）＞0，则x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，则｜AB｜＝1+kAB2·（x1＋x2）2－4x1x2＝（4+x02)(x02－4y0），
设点P到直线AB的距离为d，则d＝｜x02－4y0｜x02+4，
故S△PAB＝12·｜AB｜·d＝（x02－4y0）322.
由于点P在M上，故x02＝－y02－8y0－15，
代入上式得S△PAB＝（－y02－12y0－15）322，y0∈[－5，－3]，故当y0＝－5时，（S△PAB）max＝205.
方法技巧
抛物线中的阿基米德三角形的几何性质
圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.
过抛物线x2＝2py（p＞0）上A，B两点分别作抛物线的切线，两切线相交于点P，则△PAB为抛物线中的阿基米德三角形.若AB恰好过抛物线的焦点F（如图所示），则△PAB有以下基本性质：
（1）点P必在抛物线的准线上.
（2）△PAB为直角三角形，且∠APB为直角.
（3）PF⊥AB.
（4）点P的坐标为（xA＋xB2，－p2）.
训练4 [多选/2023云南省第二次统考]已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，分别以A，B为切点作抛物线C的切线，两切线交于点T，设线段AB的中点为M，若点T的坐标为（2，－12），则（ ACD ）
A.点M的横坐标为2B.点M的纵坐标为3
C.直线l的斜率等于2D.｜TM｜＝5
解析 解法一 抛物线C：x2＝2py，即y＝x22p，则y'＝xp，因为A，B两点在抛物线上，所以可设A（x1，x122p），B（x2，x222p），则以A为切点且与抛物线相切的直线的方程为y－x122p＝x1p（x－x1），即y＝x1px－x122p ①，同理可得以B为切点且与抛物线相切的直线的方程为y＝x2px－x222p ②，联立①②，得y＝x1px－x122p，y＝x2px－x222p，解得x＝x1＋x22，y＝x1x22p，即T（x1＋x22，x1x22p）.因为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，p2），直线l过点F，所以由题意可知直线l的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋p2，与抛物线C：x2＝2py联立，得y＝kx＋p2，x2=2py，消去y，得x2－2pkx－p2＝0，所以x1x2＝－p2，即T（x1＋x22，－p2），又点T的坐标为(2,-12)，所以x1＋x22＝2，－p2＝－12，所以x1＋x2＝4，p＝1.所以线段AB的中点M的横坐标为x1＋x22＝2，所以选项A正确.
可得抛物线C：x2＝2y，F（0，12），A（x1，x122），B（x2，x222），所以直线l的斜率k＝x122－x222x1－x2＝x1＋x22＝2，所以选项C正确.
可得直线l的方程为y＝2x＋12，又点M的横坐标为2，且点M在直线l上，所以点M的纵坐标为2×2＋12＝92，所以选项B错误.
由M（2，92），T（2，－12），可得｜TM｜＝92－（－12）＝5，所以选项D正确.
综上，选ACD.
解法二 易知△TAB为阿基米德焦点三角形，设M（xM，yM），则点T的坐标为（xM，-p2），TF⊥AB.由已知T的坐标为（2，－12），得xM＝2，即点M的横坐标为2，A正确.－p2＝－12，p＝1，则F（0，12），kTF＝－12，则kAB＝2，C正确.直线l的方程为y＝2x＋12，由点M在直线l上，易得yM＝92，故B错误.由M（2，92），T（2，－12），得｜TM｜＝5，故D正确.
A.1B.2C.3D.2
解析 设A（x1，y1），B（x2，y2），因为y＝12x2，所以y'＝x.根据导数的几何意义可知直线PA：y－y1＝x1（x－x1），化简得y＝x1x－y1.
同理可得，直线PB：y＝x2x－y2.
因为点P是直线y＝－x－1上一动点，
所以不妨设P（t，－t－1），则－t－1＝x1t－y1，－t－1＝x2t－y2，
所以直线AB：tx－y＋t＋1＝0.直线tx－y＋t＋1＝0过定点G（－1，1），
所以当AB⊥OG时，原点O到直线AB的距离最大，其最大距离为｜OG｜＝2.故选B.（另解：原点O到直线AB的距离d＝｜t+1｜t2+1＝t2+2t+1t2+1＝1+2tt2+1≤1+1＝2，当且仅当t＝1时取等号）
例5 [2021全国卷乙]已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2＋（y＋4）2＝1上点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.
解析 （1）由题意知M（0，－4），F（0，p2），圆M的半径r＝1，所以｜MF｜－r＝4，即p2＋4－1＝4，解得p＝2.（F与圆M上点的距离的最小值为｜MF｜－r，最大值为｜MF｜＋r）
（2）解法一 由（1）知，抛物线方程为x2＝4y，
由题意可知直线AB的斜率存在，设A（x1，x124），B（x2，x224），直线AB的方程为y=kx+b,
由y＝kx＋b，x2=4y，消去y得x2－4kx－4b＝0，
则Δ＝16k2＋16b＞0 ①，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以｜AB｜＝1+k2｜x1－x2｜＝1+k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝41+k2·k2＋b.
因为x2＝4y，即y＝x24，
所以y'＝x2，则抛物线在点A处的切线斜率为x12，在点A处的切线方程为y－x124＝x12（x－x1），
即y＝x12x－x124.
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝x22x－x224.
由y＝x12x－x124，y＝x22x－x224，得x＝x1＋x22=2k，y＝x1x24＝－b，即P（2k，－b），
设点P到直线AB的距离为d，则d＝｜2k2+2b｜1+k2，
所以S△PAB＝12｜AB｜·d＝4（k2＋b）3.
因为点P在圆M上，
所以4k2＋（4－b）2＝1，
且－12≤k≤12，3≤b≤5，满足①.
则k2＝1－（4－b）24＝－b2+8b－154，令t＝k2＋b，则t＝－b2+12b－154，且3≤b≤5.
因为t＝－b2+12b－154在[3，5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k=0,所以△PAB面积的最大值为205.
解法二 设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则切线PA的方程为y－y1＝x12（x－x1），切线PB的方程为y－y2＝x22（x－x2），
将点P（x0，y0）的坐标分别代入切线PA、切线PB的方程，可得x0x1－2（y0＋y1）=0，x0x2－2（y0＋y2）=0，则可得直线AB的方程为x0x－2（y＋y0）＝0.
由x0x－2（y＋y0）=0，x2=4y，可得x2－2x0x＋4y0＝0，Δ＝4（x02－4y0）＞0，则x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，则｜AB｜＝1+kAB2·（x1＋x2）2－4x1x2＝（4+x02)(x02－4y0），
设点P到直线AB的距离为d，则d＝｜x02－4y0｜x02+4，
故S△PAB＝12·｜AB｜·d＝（x02－4y0）322.
由于点P在M上，故x02＝－y02－8y0－15，
代入上式得S△PAB＝（－y02－12y0－15）322，y0∈[－5，－3]，故当y0＝－5时，（S△PAB）max＝205.
方法技巧
抛物线中的阿基米德三角形的几何性质
圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.
过抛物线x2＝2py（p＞0）上A，B两点分别作抛物线的切线，两切线相交于点P，则△PAB为抛物线中的阿基米德三角形.若AB恰好过抛物线的焦点F（如图所示），则△PAB有以下基本性质：
（1）点P必在抛物线的准线上.
（2）△PAB为直角三角形，且∠APB为直角.
（3）PF⊥AB.
（4）点P的坐标为（xA＋xB2，－p2）.
训练4 [多选/2023云南省第二次统考]已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，分别以A，B为切点作抛物线C的切线，两切线交于点T，设线段AB的中点为M，若点T的坐标为（2，－12），则（ ACD ）
A.点M的横坐标为2B.点M的纵坐标为3
C.直线l的斜率等于2D.｜TM｜＝5
解析 解法一 抛物线C：x2＝2py，即y＝x22p，则y'＝xp，因为A，B两点在抛物线上，所以可设A（x1，x122p），B（x2，x222p），则以A为切点且与抛物线相切的直线的方程为y－x122p＝x1p（x－x1），即y＝x1px－x122p ①，同理可得以B为切点且与抛物线相切的直线的方程为y＝x2px－x222p ②，联立①②，得y＝x1px－x122p，y＝x2px－x222p，解得x＝x1＋x22，y＝x1x22p，即T（x1＋x22，x1x22p）.因为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，p2），直线l过点F，所以由题意可知直线l的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋p2，与抛物线C：x2＝2py联立，得y＝kx＋p2，x2=2py，消去y，得x2－2pkx－p2＝0，所以x1x2＝－p2，即T（x1＋x22，－p2），又点T的坐标为(2,-12)，所以x1＋x22＝2，－p2＝－12，所以x1＋x2＝4，p＝1.所以线段AB的中点M的横坐标为x1＋x22＝2，所以选项A正确.
可得抛物线C：x2＝2y，F（0，12），A（x1，x122），B（x2，x222），所以直线l的斜率k＝x122－x222x1－x2＝x1＋x22＝2，所以选项C正确.
可得直线l的方程为y＝2x＋12，又点M的横坐标为2，且点M在直线l上，所以点M的纵坐标为2×2＋12＝92，所以选项B错误.
由M（2，92），T（2，－12），可得｜TM｜＝92－（－12）＝5，所以选项D正确.
综上，选ACD.
解法二 易知△TAB为阿基米德焦点三角形，设M（xM，yM），则点T的坐标为（xM，-p2），TF⊥AB.由已知T的坐标为（2，－12），得xM＝2，即点M的横坐标为2，A正确.－p2＝－12，p＝1，则F（0，12），kTF＝－12，则kAB＝2，C正确.直线l的方程为y＝2x＋12，由点M在直线l上，易得yM＝92，故B错误.由M（2，92），T（2，－12），得｜TM｜＝5，故D正确.
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