备考2024届高考数学一轮复习强化训练第十章计数原理概率随机变量及其分布第7讲二项分布超几何分布与正态分布

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（1）若n＝13，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求n的范围.
解析 （1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件A，
则P（A）＝C31×13×（23）2＝49；
设该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件B，则P（B）＝16×35×23＋56×25×23＋56×35×13＝4190.
（2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为X，
根据题意可知，X～B（3，13），则E（X）＝3×13＝1.
该考生报考乙大学达到优秀科目的个数设为Y，则随机变量Y的可能取值为0，1，2，3.
P（Y＝0）＝56×35×（1－n）＝1－n2，P（Y＝1）＝16×35×（1－n）＋56×25×（1－n）＋56×35n＝13+2n30，
P（Y＝2）＝56×25n＋16×35n＋16×25×（1－n）＝2+11n30，P（Y＝3）＝16×25n＝2n30＝n15，
随机变量Y的分布列为
E（Y）＝0×1－n2＋1×13+2n30＋2×2+11n30＋3×n15＝17+30n30，
因为该考生更希望进入甲大学的面试环节，所以E（Y）＜E（X），即17+30n30＜1，解得n＜1330.
所以n的取值范围为（0，1330）.
2.[命题点2/浙江高考]袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m－n＝ 1 ，E（ξ）＝ 89 .
解析 由题意可得，P（ξ＝2）＝C42C4+m＋n2＝12（4+m＋n)(3+m＋n）＝16，化简得（m＋n）2＋7（m＋n）－60＝0，得m＋n＝5，取出的两个球一红一黄的概率P＝C41Cm1C4+m＋n2＝4m36＝13，解得m＝3，故n＝2，所以m－n＝1.易知ξ服从超几何分布，则E（ξ）＝4×29＝89.
3.[命题点3/2023四省联考]某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N（100，σ2）.质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45％，则需调整生产工艺，使得σ至多为 0.5 .（若X～N（μ，σ2），则P（｜X－μ｜＜2σ）≈0.954 5）
解析 由题知，μ＝100.根据题意以及正态曲线的特征可知，｜X－100｜＜2σ的解集A⊆（99，101）.由｜X－100｜＜2σ可得，100－2σ＜X＜100＋2σ，所以100－2σ≥99，100+2σ≤101，解得σ≤0.5，故σ至多为0.5.Y
0
1
2
3
P
1－n2
13+2n30
2+11n30
n15