备考2024届高考数学一轮复习大题规范练4立体几何

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从近几年的命题情况来看，设问主要采用“论证与计算”相结合的模式，考查考生的直观想象、逻辑推理、数学运算素养，转化与化归（空间问题转化为平面问题）和数形结合（根据空间位置关系，利用向量转化为代数运算）的思想方法.高频命题角度有：（1）空间几何体中的线、面平行和垂直问题，注意空间线、面平行（垂直）的判定定理和性质定理在解题中的应用；（2）空间角、空间距离的求解，掌握空间异面直线所成角、线面角、二面角、点线距离、点面距离、线面距离的求法；（3）不同知识点间的交汇，如空间几何体的体积与空间角、距离相融合等.
在利用有关判定定理和性质定理时，应注意定理条件叙述的完整性，否则，极易被扣分！
示例 [2023全国卷甲/12分]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1.
（1）证明：A1C＝AC；
（2）已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
思维导引 （1）
（2）
规范答题
（1）如图，过A1作A1D⊥CC1，垂足为D.（1分）→观察图形特征与待证的结论，适当添加辅助线.
∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC，（2分）→由线面垂直证得线线垂直，注意线在面内的说明.
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.
∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1.
∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，（3分）→证明线面垂直，注意“线不在多，重在相交”，不要漏写两线相交的说明，否则，易被扣分.
又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，∴A1D⊥平面BCC1B1，
∴A1D＝1.（4分）
由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，
∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，
∴A1C＝A1C1，
又在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝A1C1，
∴A1C＝AC.（5分）
（2）如图，连接A1B，由（1）易证Rt△A1CB≌Rt△A1C1B1，
∴A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F，
∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2，
又△CA1C1是等腰直角三角形，A1D⊥CC1，A1D＝1，CC1＝2，
∴A1C＝A1C1＝AC＝2，AB＝A1B1＝5，BC＝3.
建立空间直角坐标系Cxyz如图所示，（6分）→必须判断经过点C的三条直线两两垂直，才能建立空间直角坐标系.
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，3，0），B1（－2，3，2），C1（-2，0，2），
∴CB＝（0，3，0），CC1＝（－2，0，2），AB1＝（－22，3，2）.（7分）→空间中点的坐标一定要求准确，向量的坐标利用“终减起”求解.
设平面BCC1B1的法向量为n＝（x，y，z），
则n·CB=0，n·CC1=0，即3y=0，－2x＋2z=0，
取x＝1，则y＝0，z＝1，
∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝（1，0，1）.（9分）
设AB1与平面BCC1B1所成的角为θ，
则sin θ＝｜cs＜n，AB1＞｜＝｜n·AB1｜｜n||AB1｜＝1313.（11分）→注意区分求线面角与二面角的向量公式，不要混淆.
∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为1313.（12分）→注意及时下结论，避免丢分.
感悟升华
1.解答立体几何问题重在“建”——建模，建系
2.求解空间中的平行与垂直问题的关键
熟练把握空间中平行与垂直的判定定理和性质定理是解题的关键.在运用定理证明问题时，要注意定理的条件要书写齐全.
3.利用向量法求线面角和二面角的关注点
建立恰当的空间直角坐标系，利用待定系数法求出相应平面的法向量是解题的关键.求解时，要注意：（1）点的坐标的准确性；（2）线面角与二面角公式的区分；（3）二面角的平面角是锐角还是钝角；（4）所求为空间角的正弦值还是余弦值.
训练 [2024湖北部分重点中学联考/12分]如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，BE＝EF＝FC＝1.
（1）求证：BF⊥平面ACFD；
（2）求二面角B－AD－F的平面角的余弦值.
解析 （1）延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.
因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，又BF⊂平面BCK，因此BF⊥AC.（2分）
又EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，
所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，（3分）
则BF⊥CK，又CK∩AC＝C，所以BF⊥平面ACFD.（4分）
（2）如图，取BC的中点O，连接KO，则KO⊥BC.
又平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，KO⊂平面BCFE，
所以KO⊥平面ABC.
以点O为坐标原点，分别以射线OB，OK的方向为x轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.（5分）
由题意得B（1，0，0），C（－1，0，0），K（0，0，3），A（－1，－3，0），E（12，0，32）.
因此，AC＝（0，3，0），AK＝（1，3，3），AB＝（2，3，0）.（6分）
设平面ACK的法向量为m＝（x1，y1，z1），
平面ABK的法向量为n＝（x2，y2，z2）.
由AC·m=0，AK·m=0，得3y1=0，x1+3y1＋3z1=0，
取m＝（3，0，－1）.（8分）
由AB·n=0，AK·n=0，得2x2+3y2=0，x2+3y2＋3z2=0，
取n＝（3，－2，3）.
于是，cs〈m，n〉＝m·n｜m||n｜＝33－33+1×9+4+3＝34.（11分）
由图知二面角B－AD－F的平面角为锐角，
所以二面角B－AD－F的平面角的余弦值为34.（12分）