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备考2024届高考数学一轮复习分层练习第三章一元函数的导数及其应用第2讲导数与函数的单调性
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习分层练习第三章一元函数的导数及其应用第2讲导数与函数的单调性，共7页。试卷主要包含了函数f，若函数f，因为g，故等内容，欢迎下载使用。
1.函数f（x）＝－ln x＋x的单调递增区间是（ C ）
A.（－∞，0）∪（1，＋∞）B.（－∞，0）和（1，＋∞）
C.（1，＋∞）D.（－1，＋∞）
解析 因为f（x）＝－ln x＋x，所以f'（x）＝－1x＋1，定义域为（0，＋∞），令f'（x）＞0，则－1x＋1＞0，解得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，＋∞）.故选C.
2.若函数f（x）＝13x3－12ax2＋（a－1）x＋1在区间[1，4]上为减函数，在区间[6，＋∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（ B ）
A.（－∞，5]B.[5，7]
C.[7，＋∞）D.（－∞，5]∪[7，＋∞）
解析 解法一 f'（x）＝x2－ax＋a－1，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，对于任意的x∈[1，＋∞），f'（x）≥0，即函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，不符合题意；当a－1＞1，即a＞2时，函数f（x）在（－∞，1]和[a－1，＋∞）上单调递增，在[1，a－1]上单调递减，依题意[1，4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞）⊆[a－1，
＋∞），从而4≤a－1≤6，故5≤a≤7.综上，实数a的取值范围为[5，7].
解法二 f'（x）＝x2－ax＋a－1，依题意，得f'（x）≤0在[1，4]上恒成立，且f'（x）≥0在[6，＋∞）上恒成立，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1，故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.故所求实数a的取值范围为[5，7].
3.若函数f（x）＝3x＋（a－2）ln x在定义域上不单调，则实数a的取值范围是（ D ）
A.（－∞，12）B.[2，＋∞）
C.（0，＋∞）D.（－∞，2）
解析 函数f（x）＝3x＋（a－2）ln x的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝3＋a－2x.
当a≥2时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域上单调递增，不满足题意，舍去；
当a＜2时，令f'（x）＝3＋a－2x＝0，解得x＝2－a3＞0，故此时f（x）在定义域上不单调.
故实数a的取值范围是（－∞，2）.
4.[2024湖南模拟]已知实数a，b，c∈（0，1），e为自然对数的底数，且ae2＝2ea，be3＝3eb，2c＝ecln 2，则（ A ）
A.b＜a＜cB.a＜b＜c
C.b＜c＜aD.c＜a＜b
解析 由题意可得e22＝eaa，e33＝ebb，eln4ln4＝ecc，构造函数f（x）＝exx（x＞0），则f'（x）＝（x－1）exx2，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，＋∞）时，
f'（x）＞0，f（x）单调递增.因为1＜ln 4＜2＜3，所以f（ln 4）＜f（2）＜f（3），所以
f（c）＜f（a）＜f（b），又a，b，c∈（0，1），f（x）在（0，1）上单调递减，所以b＜a＜c.故选A.
5.[2023山东泰安二模]已知奇函数f（x）在R上单调递减，g（x）＝xf（x），若a＝
g（－lg25.1），b＝g（3），c＝g（20.8），则a，b，c的大小关系为（ D ）
A.a＜b＜cB.c＜b＜a
C.b＜c＜aD.b＜a＜c
解析 因为f（x）为奇函数且在R上单调递减，所以f（－x）＝－f（x），且当x＞0时，
f（x）＜0.因为g（x）＝xf（x），所以g（－x）＝－xf（－x）＝xf（x）＝g（x），故
g（x）为偶函数.g'（x）＝f（x）＋xf'（x），当x＞0时，因为f（x）＜0，f'（x）≤0，所以g'（x）＜0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递减.a＝g（－lg25.1）＝g（lg25.1），因为3＝lg28＞lg25.1＞lg24＝2＞20.8＞0，所以g（3）＜g（lg25.1）＜g（20.8），即b＜a＜c.故选D.
6.[2024贵阳市模拟]已知a＝ln43，b＝27，c＝sin27，则（ B ）
A.a＜b＜cB.c＜b＜a
C.b＜a＜cD.a＜c＜b
解析 构造函数f（x）＝sin x－x，x∈（0，π2），则f'（x）＝cs x－1＜0，∴f（x）在（0，π2）上单调递减，∴f（x）＜0，x∈（0，π2），∴sin x＜x，x∈（0，π2），故c＝sin27＜27＝b.排除A，C.
构造函数g（x）＝ln x－2·x－1x+1，x∈（1，＋∞），
则g'（x）＝1x－2·x+1－（x－1）（x+1）2＝（x－1）2x（x+1）2，
当x＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）单调递增，∴g（x）＞0，x∈（1，＋∞），
故a＝ln43＞2×43－143+1＝27＝b，选B.
7.[多选]已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在R上单调递增，f'（x）为其导函数，则下列结论正确的是（ AC ）
A.f'（1）≥0B.f（1）≥0
C.a2－3b≤0D.a2－3b≥0
解析 因为函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，所以f'（x）＝3x2＋2ax＋b.因为函数f（x）在R上单调递增，所以f'（x）≥0对于任意的x∈R恒成立，所以f'（1）≥0恒成立，但f（1）的大小未知.对于方程3x2＋2ax＋b＝0，Δ＝4a2－12b≤0，即a2－3b≤0.所以正确的是AC.
8.[2024武汉模拟]若函数f（x）＝（2x＋1）ln x－ax是（0，＋∞）上的增函数，则实数a的最大值为 4－2ln2 .
解析 因为函数f（x）＝（2x＋1）ln x－ax是（0，＋∞）上的增函数，所以f'（x）＝
2ln x＋2x+1x－a＝2ln x＋1x＋2－a≥0在（0，＋∞）上恒成立，即a≤2ln x＋1x＋2在（0，
＋∞）上恒成立.
令g（x）＝2ln x＋1x＋2，x＞0，则g'（x）＝2x－1x2＝2x－1x2，令g'（x）＝0，得x＝12，当0＜x＜12时，g'（x）＜0；当x＞12时，g'（x）＞0.
所以函数g（x）在（0，12）上单调递减，在（12，＋∞）上单调递增，所以g（x）min＝
g（12）＝4－2ln 2，所以a≤4－2ln 2，即实数a的最大值为4－2ln 2.
9.[2023福州5月质检]不等式x＜sin πx4＋16的解集为 （－∞，23） .
解析 设f（x）＝x－sinπx4－16，则f'（x）＝1－π4csπx4＞0，∴f（x）在R上单调递增，又
f（23）＝0，（提示：观察出特殊解是求解的关键）∴f（x）＜0的解集为{x｜x＜23}，故x＜sin πx4＋16的解集为（－∞，23）.
10.[结构不良题/2023湖北襄阳4月期中]在①f'（ln 3）＝2，②f（x）的图象在点（0，
f（0））处的切线斜率为0，③f（x）的单调递减区间为（0，ln 2）这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答.
已知f（x）＝12e2x－（a＋2）ex＋2ax.
（1）若，求实数a的值；
（2）若a∈R，讨论函数f（x）的单调性.
解析 （1）f'（x）＝e2x－（a＋2）ex＋2a＝（ex－2）（ex－a）.
若选条件①，则f'（ln 3）＝（3－2）×（3－a）＝2，所以a＝1.
若选条件②，则f'（0）＝（1－2）×（1－a）＝0，所以a＝1.
若选条件③，则依题意得0和ln 2是关于x的方程（ex－2）（ex－a）＝0的两个根，所以a＝e0＝1.
（2）f'（x）＝（ex－2）（ex－a）.
分以下几种情况讨论：
①当a≤0时，令f'（x）＞0，则x＞ln 2，令f'（x）＜0，则x＜ln 2，
所以f（x）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增.
②当0＜a＜2时，令f'（x）＞0，则x＞ln 2或x＜ln a，令f'（x）＜0，则ln a＜x＜ln 2，
所以f（x）在（－∞，ln a），（ln 2，＋∞）上单调递增，在（ln a，ln 2）上单调递减.
③当a＝2时，f'（x）＝（ex－2）2≥0，所以f（x）在R上单调递增.
④当a＞2时，令f'（x）＞0，则x＞ln a或x＜ln 2，令f'（x）＜0，则ln 2＜x＜ln a，
所以f（x）在（－∞，ln 2），（ln a，＋∞）上单调递增，在（ln 2，ln a）上单调递减.
综上所述：当a≤0时，f（x）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增；当0＜a＜2时，f（x）在（－∞，ln a），（ln 2，＋∞）上单调递增，在（ln a，
ln 2）上单调递减；当a＝2时，f（x）在R上单调递增；当a＞2时，f（x）在（－∞，
ln 2），（ln a，＋∞）上单调递增，在（ln 2，ln a）上单调递减.
11.[2024江西省鹰潭市一模]已知函数f（x）＝xex＋xex＋1，且f（1＋a）＋f（1－a2）＞2，则实数a的取值范围是（ C ）
A.（－2，1）B.（－∞，－2）∪（1，＋∞）
C.（－1，2）D.（－∞，－1）∪（2，＋∞）
解析 令F（x）＝f（x）－1＝xex＋xex，定义域为R，则F（－x）＝－xe－x＋－xe－x＝－xex－xex＝－（xex＋xex）＝－F（x），所以F（x）为奇函数，又F'（x）＝（1＋x）ex＋1－xex＝（x+1）e2x+1－xex.
当x≥0时，令g（x）＝（x＋1）e2x＋1－x，
则g'（x）＝e2x＋2（x＋1）e2x－1＝（2x＋3）e2x－1，
因为x≥0，所以g'（x）＞0，所以g（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）＝2＞0，
所以当x≥0时，F'（x）＞0，所以F（x）在[0，＋∞）上单调递增，
又因为F（x）为奇函数，所以F（x）在R上单调递增.
f（1＋a）＋f（1－a2）＞2转化为f（1＋a）－1＋f（1－a2）－1＞0，即F（1＋a）＋F（1－a2）＞0，所以F（1＋a）＞－F（1－a2）＝F（a2－1），
所以1＋a＞a2－1，即a2－a－2＜0，解得－1＜a＜2，
即实数a的取值范围是（－1，2）.故选C.
12.[2023重庆市三检]已知函数f（x）＝－12｜x+2｜+1，x<0，x3，x≥0，若存在实数a，b，c，当a＜b＜c时，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则af（a）＋bf（b）＋cf（c）的取值范围是（ D ）
A.（－4，0）B.[－4，0）
C.[－3，0）D.（－3，0）
解析 f（x）＝12x+2，x＜－2，－12x，－2≤x<0，x3，x≥0，易知函数f（x）在（－∞，－2），[0，＋∞）上单调递增，在[－2，0）上单调递减，且f（0）＝0，f（－2）＝f（1）＝1，由此作出函数f（x）的图象，如图所示，
因为当a＜b＜c时，满足f（a）＝f（b）＝f（c），所以由图可知a＋b＝－4，0＜c＜1，所以af（a）＋bf（b）＋cf（c）＝（a＋b＋c）f（c）＝（c－4）f（c）＝（c－4）c3＝c4－4c3.
令g（c）＝c4－4c3，则当0＜c＜1时，g'（c）＝4c3－12c2＝4c2（c－3）＜0，所以g（c）在（0，1）上单调递减，所以当0＜c＜1时，g（1）＜g（c）＜g（0），即当0＜c＜1时，－3＜g（c）＜0，所以af（a）＋bf（b）＋cf（c）的取值范围是（－3，0），故选D.
13.[多选/2024湖北武汉模拟]已知实数a，b满足aea＝blnb＝3，则（ AD ）
A.a＝ln bB.ab＝e
C.b－a＜e－1D.e＋1＜a＋b＜4
解析 因为aea＝3，所以a＞0.令f（x）＝xex，x＞0，则f'（x）＝ex（x＋1）＞0在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增.aea＝3，即f（a）＝3，又f（1）＝e＜3，f（2）＝2e2＞3，所以1＜a＜2.因为blnb＝3，所以b＞1.令F（x）＝xlnx（x＞1），则F'（x）＝ln x＋1＞0，所以F（x）在（1，＋∞）上单调递增，又F（e）＝e＜3，F（3）＝3ln 3＞3，所以e＜b＜3.
对A，因为aea＝blnb＝ln b·elnb，所以f（a）＝f（ln b），因为a＞0，ln b＞0，且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以a＝ln b，选项A正确.
对B，因为blnb＝3，a＝ln b，所以ab＝3，选项B错误.
对C，b－a＝b－ln b，令g（b）＝b－ln b，e＜b＜3，则g'（b）＝1－1b＝b－1b＞0在（e，3）上恒成立，所以g（b）在（e，3）上单调递增，所以g（b）＞e－ln e＝e－1，即b－a＞e－1，选项C错误.
对D，因为a＝ln b，所以a＋b＝b＋ln b，因为y＝b＋ln b在（e，3）上单调递增，所以e＋1＜b＋ln b＜3＋ln 3，即e＋1＜a＋b＜3＋ln 3.因为ab＝3，所以a＋b＝a＋3a，令h（a）＝a＋3a，1＜a＜2，则h（a）在（1，3）上单调递减，在（3，2）上单调递增，又
h（1）＝4，h（2）＝2＋32＝3.5，h（3）＝23，所以23≤h（a）＜4，即23≤a＋b＜4.所以e＋1＜a＋b＜4，选项D正确.综上，选AD.
14.[全国卷Ⅱ]已知函数f（x）＝2ln x＋1.
（1）若f（x）≤2x＋c，求c的取值范围；
（2）设a＞0，讨论函数g（x）＝f（x）－f（a）x－a的单调性.
解析 设h（x）＝f（x）－2x－c，则h（x）＝2ln x－2x＋1－c，
其定义域为（0，＋∞），h'（x）＝2x－2.
（1）当0＜x＜1时，h'（x）＞0；当x＞1时，h'（x）＜0.所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，＋∞）上单调递减.从而当x＝1时，h（x）取得最大值，最大值为
h（1）＝－1－c.
故当且仅当－1－c≤0，即c≥－1时，f（x）≤2x＋c.
所以c的取值范围为[－1，＋∞）.
（2）g（x）＝f（x）－f（a）x－a＝2（lnx－lna）x－a，x∈（0，a）∪（a，＋∞）.
g'（x）＝2（x－ax＋lna－lnx）（x－a）2＝2（1－ax＋lnax）（x－a）2.
取c＝－1得h（x）＝2ln x－2x＋2，h（1）＝0，则由（1）知，当x≠1时，h（x）＜0，即1－x＋ln x＜0.故当x∈（0，a）∪（a，＋∞）时，1－ax＋ln ax＜0，从而g'（x）＜0.
所以g（x）在区间（0，a），（a，＋∞）上单调递减.
15.[2023全国卷乙]已知函数f（x）＝（1x＋a）ln（1＋x）.
（1）当a＝－1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程.
（2）若函数f（x）在（0，＋∞）单调递增，求a的取值范围.
解析 （1）当a＝－1时，f（x）＝（1x－1）ln（1＋x），
f'（x）＝－1x2ln（1＋x）＋（1x－1）·11+x，
所以f'（1）＝－ln 2，
又f（1）＝0，所以所求切线方程为y－0＝－（x－1）ln 2，即xln 2＋y－ln 2＝0.
（2）由题意得f'（x）＝－1x2ln（1＋x）＋（1x＋a）·11+x＝ax2＋xx+1－ln（1+x）x2≥0（x＞0），即ax2＋xx+1－ln（1＋x）≥0（x＞0）.
设g（x）＝ax2＋xx+1－ln（1＋x）（x＞0），则g'（x）＝ax2+2ax+1（x+1）2－1x+1＝x（ax+2a－1）（x+1）2（x＞0）.
当a≤0时，则g'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，即g（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以g（x）＜0+00+1－ln（1＋0）＝0，不满足题意.
当a＞0时，令ax＋2a－1＝0，则x＝1－2aa.
若1－2aa≤0，即a≥12，则g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以g（x）＞0+00+1－ln（1＋0）＝0，满足题意.
若1－2aa＞0，即0＜a＜12，则g（x）在（0，1－2aa）上单调递减，在（1－2aa，＋∞）上单调递增，则有g（1－2aa）＜0+00+1－ln（1＋0）＝0，不满足题意.
综上，a的取值范围是[12，＋∞）.
16.[条件创新]已知ε＞0，x，y∈（－π4，π4），且ex＋ε·siny＝eysinx，则下列关系式恒成立的为（ A ）
A.csx≤csyB.csx≥csy
C.sinx≤sinyD.sinx≥siny
解析 构造函数f（x）＝sinxex，x∈（－π4，π4），则f'（x）＝csx－sinxex，当x∈（－π4，π4）时，cs x＞sin x，f'（x）＝csx－sinxex＞0，所以f（x）＝sinxex在（－π4，π4）上单调递增.
易知0＜ex，0＜ey，eε＞1，则当sinxex＋ε＝sinyey＞0时，sinxex＞sinyey＞0，所以π4＞x＞y＞0，所以0＜sin y＜sin x，cs x＜cs y；
当sinxex＋ε＝sinyey＜0时，sinxex＜sinyey＜0，所以－π4＜x＜y＜0，所以sin x＜sin y＜0，cs x＜
cs y；
当sinxex＋ε＝sinyey＝0时，x＝y＝0，所以sin x＝sin y，cs x＝cs y.故选A.
17.[条件创新]函数f（x）＝x1x（x＞0）的单调递增区间是 （0，e）（或（0，e]） .
解析 显然f（x）＞0恒成立，令g（x）＝ln（f（x））＝1xln x，由复合函数的单调性知，g（x）的单调递增区间即为所求，令g'（x）＝1－lnxx2＞0，得0＜x＜e，所以函数f（x）＝x1x（x＞0）的单调递增区间是（0，e）（或（0，e]）.
1.函数f（x）＝－ln x＋x的单调递增区间是（ C ）
A.（－∞，0）∪（1，＋∞）B.（－∞，0）和（1，＋∞）
C.（1，＋∞）D.（－1，＋∞）
解析 因为f（x）＝－ln x＋x，所以f'（x）＝－1x＋1，定义域为（0，＋∞），令f'（x）＞0，则－1x＋1＞0，解得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，＋∞）.故选C.
2.若函数f（x）＝13x3－12ax2＋（a－1）x＋1在区间[1，4]上为减函数，在区间[6，＋∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（ B ）
A.（－∞，5]B.[5，7]
C.[7，＋∞）D.（－∞，5]∪[7，＋∞）
解析 解法一 f'（x）＝x2－ax＋a－1，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，对于任意的x∈[1，＋∞），f'（x）≥0，即函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，不符合题意；当a－1＞1，即a＞2时，函数f（x）在（－∞，1]和[a－1，＋∞）上单调递增，在[1，a－1]上单调递减，依题意[1，4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞）⊆[a－1，
＋∞），从而4≤a－1≤6，故5≤a≤7.综上，实数a的取值范围为[5，7].
解法二 f'（x）＝x2－ax＋a－1，依题意，得f'（x）≤0在[1，4]上恒成立，且f'（x）≥0在[6，＋∞）上恒成立，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1，故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.故所求实数a的取值范围为[5，7].
3.若函数f（x）＝3x＋（a－2）ln x在定义域上不单调，则实数a的取值范围是（ D ）
A.（－∞，12）B.[2，＋∞）
C.（0，＋∞）D.（－∞，2）
解析 函数f（x）＝3x＋（a－2）ln x的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝3＋a－2x.
当a≥2时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域上单调递增，不满足题意，舍去；
当a＜2时，令f'（x）＝3＋a－2x＝0，解得x＝2－a3＞0，故此时f（x）在定义域上不单调.
故实数a的取值范围是（－∞，2）.
4.[2024湖南模拟]已知实数a，b，c∈（0，1），e为自然对数的底数，且ae2＝2ea，be3＝3eb，2c＝ecln 2，则（ A ）
A.b＜a＜cB.a＜b＜c
C.b＜c＜aD.c＜a＜b
解析 由题意可得e22＝eaa，e33＝ebb，eln4ln4＝ecc，构造函数f（x）＝exx（x＞0），则f'（x）＝（x－1）exx2，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，＋∞）时，
f'（x）＞0，f（x）单调递增.因为1＜ln 4＜2＜3，所以f（ln 4）＜f（2）＜f（3），所以
f（c）＜f（a）＜f（b），又a，b，c∈（0，1），f（x）在（0，1）上单调递减，所以b＜a＜c.故选A.
5.[2023山东泰安二模]已知奇函数f（x）在R上单调递减，g（x）＝xf（x），若a＝
g（－lg25.1），b＝g（3），c＝g（20.8），则a，b，c的大小关系为（ D ）
A.a＜b＜cB.c＜b＜a
C.b＜c＜aD.b＜a＜c
解析 因为f（x）为奇函数且在R上单调递减，所以f（－x）＝－f（x），且当x＞0时，
f（x）＜0.因为g（x）＝xf（x），所以g（－x）＝－xf（－x）＝xf（x）＝g（x），故
g（x）为偶函数.g'（x）＝f（x）＋xf'（x），当x＞0时，因为f（x）＜0，f'（x）≤0，所以g'（x）＜0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递减.a＝g（－lg25.1）＝g（lg25.1），因为3＝lg28＞lg25.1＞lg24＝2＞20.8＞0，所以g（3）＜g（lg25.1）＜g（20.8），即b＜a＜c.故选D.
6.[2024贵阳市模拟]已知a＝ln43，b＝27，c＝sin27，则（ B ）
A.a＜b＜cB.c＜b＜a
C.b＜a＜cD.a＜c＜b
解析 构造函数f（x）＝sin x－x，x∈（0，π2），则f'（x）＝cs x－1＜0，∴f（x）在（0，π2）上单调递减，∴f（x）＜0，x∈（0，π2），∴sin x＜x，x∈（0，π2），故c＝sin27＜27＝b.排除A，C.
构造函数g（x）＝ln x－2·x－1x+1，x∈（1，＋∞），
则g'（x）＝1x－2·x+1－（x－1）（x+1）2＝（x－1）2x（x+1）2，
当x＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）单调递增，∴g（x）＞0，x∈（1，＋∞），
故a＝ln43＞2×43－143+1＝27＝b，选B.
7.[多选]已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在R上单调递增，f'（x）为其导函数，则下列结论正确的是（ AC ）
A.f'（1）≥0B.f（1）≥0
C.a2－3b≤0D.a2－3b≥0
解析 因为函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，所以f'（x）＝3x2＋2ax＋b.因为函数f（x）在R上单调递增，所以f'（x）≥0对于任意的x∈R恒成立，所以f'（1）≥0恒成立，但f（1）的大小未知.对于方程3x2＋2ax＋b＝0，Δ＝4a2－12b≤0，即a2－3b≤0.所以正确的是AC.
8.[2024武汉模拟]若函数f（x）＝（2x＋1）ln x－ax是（0，＋∞）上的增函数，则实数a的最大值为 4－2ln2 .
解析 因为函数f（x）＝（2x＋1）ln x－ax是（0，＋∞）上的增函数，所以f'（x）＝
2ln x＋2x+1x－a＝2ln x＋1x＋2－a≥0在（0，＋∞）上恒成立，即a≤2ln x＋1x＋2在（0，
＋∞）上恒成立.
令g（x）＝2ln x＋1x＋2，x＞0，则g'（x）＝2x－1x2＝2x－1x2，令g'（x）＝0，得x＝12，当0＜x＜12时，g'（x）＜0；当x＞12时，g'（x）＞0.
所以函数g（x）在（0，12）上单调递减，在（12，＋∞）上单调递增，所以g（x）min＝
g（12）＝4－2ln 2，所以a≤4－2ln 2，即实数a的最大值为4－2ln 2.
9.[2023福州5月质检]不等式x＜sin πx4＋16的解集为 （－∞，23） .
解析 设f（x）＝x－sinπx4－16，则f'（x）＝1－π4csπx4＞0，∴f（x）在R上单调递增，又
f（23）＝0，（提示：观察出特殊解是求解的关键）∴f（x）＜0的解集为{x｜x＜23}，故x＜sin πx4＋16的解集为（－∞，23）.
10.[结构不良题/2023湖北襄阳4月期中]在①f'（ln 3）＝2，②f（x）的图象在点（0，
f（0））处的切线斜率为0，③f（x）的单调递减区间为（0，ln 2）这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答.
已知f（x）＝12e2x－（a＋2）ex＋2ax.
（1）若，求实数a的值；
（2）若a∈R，讨论函数f（x）的单调性.
解析 （1）f'（x）＝e2x－（a＋2）ex＋2a＝（ex－2）（ex－a）.
若选条件①，则f'（ln 3）＝（3－2）×（3－a）＝2，所以a＝1.
若选条件②，则f'（0）＝（1－2）×（1－a）＝0，所以a＝1.
若选条件③，则依题意得0和ln 2是关于x的方程（ex－2）（ex－a）＝0的两个根，所以a＝e0＝1.
（2）f'（x）＝（ex－2）（ex－a）.
分以下几种情况讨论：
①当a≤0时，令f'（x）＞0，则x＞ln 2，令f'（x）＜0，则x＜ln 2，
所以f（x）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增.
②当0＜a＜2时，令f'（x）＞0，则x＞ln 2或x＜ln a，令f'（x）＜0，则ln a＜x＜ln 2，
所以f（x）在（－∞，ln a），（ln 2，＋∞）上单调递增，在（ln a，ln 2）上单调递减.
③当a＝2时，f'（x）＝（ex－2）2≥0，所以f（x）在R上单调递增.
④当a＞2时，令f'（x）＞0，则x＞ln a或x＜ln 2，令f'（x）＜0，则ln 2＜x＜ln a，
所以f（x）在（－∞，ln 2），（ln a，＋∞）上单调递增，在（ln 2，ln a）上单调递减.
综上所述：当a≤0时，f（x）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增；当0＜a＜2时，f（x）在（－∞，ln a），（ln 2，＋∞）上单调递增，在（ln a，
ln 2）上单调递减；当a＝2时，f（x）在R上单调递增；当a＞2时，f（x）在（－∞，
ln 2），（ln a，＋∞）上单调递增，在（ln 2，ln a）上单调递减.
11.[2024江西省鹰潭市一模]已知函数f（x）＝xex＋xex＋1，且f（1＋a）＋f（1－a2）＞2，则实数a的取值范围是（ C ）
A.（－2，1）B.（－∞，－2）∪（1，＋∞）
C.（－1，2）D.（－∞，－1）∪（2，＋∞）
解析 令F（x）＝f（x）－1＝xex＋xex，定义域为R，则F（－x）＝－xe－x＋－xe－x＝－xex－xex＝－（xex＋xex）＝－F（x），所以F（x）为奇函数，又F'（x）＝（1＋x）ex＋1－xex＝（x+1）e2x+1－xex.
当x≥0时，令g（x）＝（x＋1）e2x＋1－x，
则g'（x）＝e2x＋2（x＋1）e2x－1＝（2x＋3）e2x－1，
因为x≥0，所以g'（x）＞0，所以g（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）＝2＞0，
所以当x≥0时，F'（x）＞0，所以F（x）在[0，＋∞）上单调递增，
又因为F（x）为奇函数，所以F（x）在R上单调递增.
f（1＋a）＋f（1－a2）＞2转化为f（1＋a）－1＋f（1－a2）－1＞0，即F（1＋a）＋F（1－a2）＞0，所以F（1＋a）＞－F（1－a2）＝F（a2－1），
所以1＋a＞a2－1，即a2－a－2＜0，解得－1＜a＜2，
即实数a的取值范围是（－1，2）.故选C.
12.[2023重庆市三检]已知函数f（x）＝－12｜x+2｜+1，x<0，x3，x≥0，若存在实数a，b，c，当a＜b＜c时，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则af（a）＋bf（b）＋cf（c）的取值范围是（ D ）
A.（－4，0）B.[－4，0）
C.[－3，0）D.（－3，0）
解析 f（x）＝12x+2，x＜－2，－12x，－2≤x<0，x3，x≥0，易知函数f（x）在（－∞，－2），[0，＋∞）上单调递增，在[－2，0）上单调递减，且f（0）＝0，f（－2）＝f（1）＝1，由此作出函数f（x）的图象，如图所示，
因为当a＜b＜c时，满足f（a）＝f（b）＝f（c），所以由图可知a＋b＝－4，0＜c＜1，所以af（a）＋bf（b）＋cf（c）＝（a＋b＋c）f（c）＝（c－4）f（c）＝（c－4）c3＝c4－4c3.
令g（c）＝c4－4c3，则当0＜c＜1时，g'（c）＝4c3－12c2＝4c2（c－3）＜0，所以g（c）在（0，1）上单调递减，所以当0＜c＜1时，g（1）＜g（c）＜g（0），即当0＜c＜1时，－3＜g（c）＜0，所以af（a）＋bf（b）＋cf（c）的取值范围是（－3，0），故选D.
13.[多选/2024湖北武汉模拟]已知实数a，b满足aea＝blnb＝3，则（ AD ）
A.a＝ln bB.ab＝e
C.b－a＜e－1D.e＋1＜a＋b＜4
解析 因为aea＝3，所以a＞0.令f（x）＝xex，x＞0，则f'（x）＝ex（x＋1）＞0在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增.aea＝3，即f（a）＝3，又f（1）＝e＜3，f（2）＝2e2＞3，所以1＜a＜2.因为blnb＝3，所以b＞1.令F（x）＝xlnx（x＞1），则F'（x）＝ln x＋1＞0，所以F（x）在（1，＋∞）上单调递增，又F（e）＝e＜3，F（3）＝3ln 3＞3，所以e＜b＜3.
对A，因为aea＝blnb＝ln b·elnb，所以f（a）＝f（ln b），因为a＞0，ln b＞0，且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以a＝ln b，选项A正确.
对B，因为blnb＝3，a＝ln b，所以ab＝3，选项B错误.
对C，b－a＝b－ln b，令g（b）＝b－ln b，e＜b＜3，则g'（b）＝1－1b＝b－1b＞0在（e，3）上恒成立，所以g（b）在（e，3）上单调递增，所以g（b）＞e－ln e＝e－1，即b－a＞e－1，选项C错误.
对D，因为a＝ln b，所以a＋b＝b＋ln b，因为y＝b＋ln b在（e，3）上单调递增，所以e＋1＜b＋ln b＜3＋ln 3，即e＋1＜a＋b＜3＋ln 3.因为ab＝3，所以a＋b＝a＋3a，令h（a）＝a＋3a，1＜a＜2，则h（a）在（1，3）上单调递减，在（3，2）上单调递增，又
h（1）＝4，h（2）＝2＋32＝3.5，h（3）＝23，所以23≤h（a）＜4，即23≤a＋b＜4.所以e＋1＜a＋b＜4，选项D正确.综上，选AD.
14.[全国卷Ⅱ]已知函数f（x）＝2ln x＋1.
（1）若f（x）≤2x＋c，求c的取值范围；
（2）设a＞0，讨论函数g（x）＝f（x）－f（a）x－a的单调性.
解析 设h（x）＝f（x）－2x－c，则h（x）＝2ln x－2x＋1－c，
其定义域为（0，＋∞），h'（x）＝2x－2.
（1）当0＜x＜1时，h'（x）＞0；当x＞1时，h'（x）＜0.所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，＋∞）上单调递减.从而当x＝1时，h（x）取得最大值，最大值为
h（1）＝－1－c.
故当且仅当－1－c≤0，即c≥－1时，f（x）≤2x＋c.
所以c的取值范围为[－1，＋∞）.
（2）g（x）＝f（x）－f（a）x－a＝2（lnx－lna）x－a，x∈（0，a）∪（a，＋∞）.
g'（x）＝2（x－ax＋lna－lnx）（x－a）2＝2（1－ax＋lnax）（x－a）2.
取c＝－1得h（x）＝2ln x－2x＋2，h（1）＝0，则由（1）知，当x≠1时，h（x）＜0，即1－x＋ln x＜0.故当x∈（0，a）∪（a，＋∞）时，1－ax＋ln ax＜0，从而g'（x）＜0.
所以g（x）在区间（0，a），（a，＋∞）上单调递减.
15.[2023全国卷乙]已知函数f（x）＝（1x＋a）ln（1＋x）.
（1）当a＝－1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程.
（2）若函数f（x）在（0，＋∞）单调递增，求a的取值范围.
解析 （1）当a＝－1时，f（x）＝（1x－1）ln（1＋x），
f'（x）＝－1x2ln（1＋x）＋（1x－1）·11+x，
所以f'（1）＝－ln 2，
又f（1）＝0，所以所求切线方程为y－0＝－（x－1）ln 2，即xln 2＋y－ln 2＝0.
（2）由题意得f'（x）＝－1x2ln（1＋x）＋（1x＋a）·11+x＝ax2＋xx+1－ln（1+x）x2≥0（x＞0），即ax2＋xx+1－ln（1＋x）≥0（x＞0）.
设g（x）＝ax2＋xx+1－ln（1＋x）（x＞0），则g'（x）＝ax2+2ax+1（x+1）2－1x+1＝x（ax+2a－1）（x+1）2（x＞0）.
当a≤0时，则g'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，即g（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以g（x）＜0+00+1－ln（1＋0）＝0，不满足题意.
当a＞0时，令ax＋2a－1＝0，则x＝1－2aa.
若1－2aa≤0，即a≥12，则g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以g（x）＞0+00+1－ln（1＋0）＝0，满足题意.
若1－2aa＞0，即0＜a＜12，则g（x）在（0，1－2aa）上单调递减，在（1－2aa，＋∞）上单调递增，则有g（1－2aa）＜0+00+1－ln（1＋0）＝0，不满足题意.
综上，a的取值范围是[12，＋∞）.
16.[条件创新]已知ε＞0，x，y∈（－π4，π4），且ex＋ε·siny＝eysinx，则下列关系式恒成立的为（ A ）
A.csx≤csyB.csx≥csy
C.sinx≤sinyD.sinx≥siny
解析 构造函数f（x）＝sinxex，x∈（－π4，π4），则f'（x）＝csx－sinxex，当x∈（－π4，π4）时，cs x＞sin x，f'（x）＝csx－sinxex＞0，所以f（x）＝sinxex在（－π4，π4）上单调递增.
易知0＜ex，0＜ey，eε＞1，则当sinxex＋ε＝sinyey＞0时，sinxex＞sinyey＞0，所以π4＞x＞y＞0，所以0＜sin y＜sin x，cs x＜cs y；
当sinxex＋ε＝sinyey＜0时，sinxex＜sinyey＜0，所以－π4＜x＜y＜0，所以sin x＜sin y＜0，cs x＜
cs y；
当sinxex＋ε＝sinyey＝0时，x＝y＝0，所以sin x＝sin y，cs x＝cs y.故选A.
17.[条件创新]函数f（x）＝x1x（x＞0）的单调递增区间是 （0，e）（或（0，e]） .
解析 显然f（x）＞0恒成立，令g（x）＝ln（f（x））＝1xln x，由复合函数的单调性知，g（x）的单调递增区间即为所求，令g'（x）＝1－lnxx2＞0，得0＜x＜e，所以函数f（x）＝x1x（x＞0）的单调递增区间是（0，e）（或（0，e]）.
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