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备考2024届高考数学一轮复习分层练习第六章平面向量复数第5讲解三角形应用举例
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习分层练习第六章平面向量复数第5讲解三角形应用举例，共4页。
1.[2024黑龙江省实验中学开学考试]中国古代四大名楼之一鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而闻名遐迩.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37 m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度MN约为（ B ）
A.64 mB.74 mC.52 mD.91 m
解析 在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝37，∠ACB＝30°，所以AC＝2AB＝74，在Rt△MNC中，NC⊥MN，∠MCN＝45°，所以MN＝MC·sin 45°＝22MC.由题意，∠MAC＝15°＋30°＝45°，∠MCA＝180°－45°－30°＝105°，故∠AMC＝180°－105°－45°＝30°.在△ACM中，由正弦定理MCsin∠MAC＝ACsin∠AMC，得MCsin45°＝74sin30°，故MC＝74sin45°sin30°＝742，所以MN＝22×742＝74，故选B.
2.[设问创新/多选/2024江苏南通阶段检测]重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引了众多游客打卡拍照.某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，如图所示，A为解放碑的顶端，B为基座（B在A的正下方），在步行街（与B在同一水平面内）上选取C，D两点，测得CD的长为100 m.小组成员利用测角仪已测得∠ACB＝π6，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB的是（ ABD ）
A.∠BCD，∠BDCB.∠ACD，∠ADC
C.∠BCD，∠ACDD.∠BCD，∠ADC
解析 对于A，根据CD，∠BCD，∠BDC，可解三角形求得CB，从而在Rt△ABC中求得AB，所以A符合题意.
对于B，根据CD，∠ACD，∠ADC，可解三角形求得AC，从而在Rt△ABC中求得AB，所以B符合题意.
对于C，根据CD，∠ACB，∠BCD，∠ACD四个条件，无法通过解三角形求得AB，所以C不符合题意.
对于D，第一步，∠ACB已知，在Rt△ABC中，用AB表示出BC，AC；第二步，在△BCD中，根据余弦定理用AB表示出BD，在△ACD中，根据正弦定理用AB表示出AD；第三步，在Rt△ABD中，利用勾股定理列方程，即可求得AB.所以D符合题意.
3.[2023皖豫名校联考]如图，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得某山的底部C在北偏东15°方向上，匀速向北航行20 min到达B处，此时测得该山的底部C在北偏东60°方向上，测得山顶P（P在C正上方）的仰角为60°，已知山的高度为23 km.则巡逻船的航行速度为 6（3＋1） km/h.
解析 由题意知，在△BCP中，PC＝23 km，∠PBC＝60°，故tan∠PBC＝PCBC＝3，得BC＝2 km.在△ABC中，∠BCA＝60°－15°＝45°，则BCsin∠BAC＝ABsin∠BCA，即2sin 15°＝ABsin 45°，而sin 15°＝sin（45°－30°）＝6－24，所以AB＝2×46－2＝2（3＋1）（km）.所以巡逻船的航行速度为2（3＋1）÷13＝6（3＋1）（km/h）.
4.[2023郑州一中期中]如图所示，遥感卫星发现某海域上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°的60海里处，在小岛B北偏东15°方向上，相距（303－30）海里处有一个小岛C.
（1）求小岛A与小岛C之间的距离；
（2）如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.
解析 （1）在△ABC中，AB＝60，BC＝303－30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，根据余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC＝602＋（303－30）2－2×60×
（303－30）×cs 120°＝5 400，得AC＝306，
∴小岛A与小岛C之间的距离是306海里.
（2）根据正弦定理得，ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，
∴306sin120°＝60sin∠ACB，得sin∠ACB＝22，
又∵0°＜∠ACB＜60°，∴∠ACB＝45°，
∴∠CAB＝180°－120°－45°＝15°.
由75°－15°＝60°得，游船应该沿北偏东60°的方向航行.
5.[2023贵州诊断]镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中，已知人眼距离地面高度h＝1.5 m，某建筑物高h1＝4.5 m，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置，测量人与镜子间的距离a1＝1.2 m，将镜子后移
a m，重复前面的操作，测量人与镜子间的距离a2＝3.2 m，则a＝（ A ）
A.6 B.5 C.4 D.3
解析 如图，设建筑物最高点为A，建筑物底部为O，第一次观察时镜面位置为B，第一次观察时人眼睛位置为C，第二次观察时镜面位置为D，设O到B之间的距离为a0 m，
由光线反射性质得∠ABO＝∠CBD，所以tan∠ABO＝tan∠CBD，即h1a0＝ha1 ①，同理可得h1a0＋a＝ha2 ②，
由①②可得a0＋aa0＝a2a1，解得a0＝a1·aa2－a1，代入①整理得a＝h1（a2－a1）h＝4.5×（3.2－1.2）1.5＝6，故选A.
6.[背景创新]1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端引出的两条光线在眼球内交叉而成的角）？这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山顶上的铁塔，塔高90 m，山高160 m，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（ B ）
A.12B.941C.1625D.916
解析 如图，由诺德尔教授对米勒问题的解答，设此时的视角为θ，易知塔底距离地面的高度为BC＝160 m，塔顶离地面的高度为AC＝90＋160＝250（m），则人距塔的距离CD＝AC·BC＝200 m，由∠C＝90°得BD＝BC2＋CD2＝4041（m），
AD＝AC2＋CD2＝5041（m），则在△ABD中cs θ＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝4041，故sin θ＝1－cs2θ＝1－（4041）2＝941.故选B.
7.[2024青岛市检测]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示某蓝洞口边缘A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝8海里，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为 85 海里.
解析 如图所示，在△ACD中，∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝135°＋15°＝150°，∠DCA＝15°，则∠DAC＝180°－150°－15°＝15°，即△ACD为等腰三角形，又CD＝8，所以AD＝8.在△BCD中，∠BDC＝15°，∠DCB＝∠DCA＋∠ACB＝15°＋120°＝135°，则∠DBC＝180°－15°－135°＝30°，又CD＝8，所以由BDsin∠DCB＝CDsin∠DBC，得BDsin135°＝8sin30°，所以BD＝82.在△ABD中，AD＝8，BD＝82，∠ADB＝135°，所以AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cs∠ADB＝82＋（82）2－2×8×82×（－22）＝82×5，所以AB＝85海里.
8.[2024北京市密云二中月考]某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12 km的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得∠BAD＝75°，∠ABD＝45°.（注：点A，B，C，D在同一平面内）
（1）求△ABD的面积；
（2）求点C，D之间的距离.
解析 （1）在△ABD中，∠BAD＝75°，∠ABD＝45°，所以∠ADB＝60°.
由正弦定理ADsin∠ABD＝ABsin∠ADB，得ADsin45°＝ABsin60°，
所以AD＝sin45°sin60°·AB＝2232×12＝46（km）.
因为sin∠BAD＝sin 75°＝sin（45°＋30°）＝22×（32＋12）＝6＋24，
所以△ABD的面积S△ABD＝12AB·AD·sin∠BAD
＝12×12×46×6＋24
＝（36＋123）（km2）.
（2）由∠BAD＝75°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，得∠CAD＝45°，AC＝32AB＝63（km）.
在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cs∠CAD＝36×3＋16×6－2×63×46×22＝60.
所以CD＝60＝215（km）.
即点C，D之间的距离为215 km.
1.[2024黑龙江省实验中学开学考试]中国古代四大名楼之一鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而闻名遐迩.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37 m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度MN约为（ B ）
A.64 mB.74 mC.52 mD.91 m
解析 在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝37，∠ACB＝30°，所以AC＝2AB＝74，在Rt△MNC中，NC⊥MN，∠MCN＝45°，所以MN＝MC·sin 45°＝22MC.由题意，∠MAC＝15°＋30°＝45°，∠MCA＝180°－45°－30°＝105°，故∠AMC＝180°－105°－45°＝30°.在△ACM中，由正弦定理MCsin∠MAC＝ACsin∠AMC，得MCsin45°＝74sin30°，故MC＝74sin45°sin30°＝742，所以MN＝22×742＝74，故选B.
2.[设问创新/多选/2024江苏南通阶段检测]重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引了众多游客打卡拍照.某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，如图所示，A为解放碑的顶端，B为基座（B在A的正下方），在步行街（与B在同一水平面内）上选取C，D两点，测得CD的长为100 m.小组成员利用测角仪已测得∠ACB＝π6，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB的是（ ABD ）
A.∠BCD，∠BDCB.∠ACD，∠ADC
C.∠BCD，∠ACDD.∠BCD，∠ADC
解析 对于A，根据CD，∠BCD，∠BDC，可解三角形求得CB，从而在Rt△ABC中求得AB，所以A符合题意.
对于B，根据CD，∠ACD，∠ADC，可解三角形求得AC，从而在Rt△ABC中求得AB，所以B符合题意.
对于C，根据CD，∠ACB，∠BCD，∠ACD四个条件，无法通过解三角形求得AB，所以C不符合题意.
对于D，第一步，∠ACB已知，在Rt△ABC中，用AB表示出BC，AC；第二步，在△BCD中，根据余弦定理用AB表示出BD，在△ACD中，根据正弦定理用AB表示出AD；第三步，在Rt△ABD中，利用勾股定理列方程，即可求得AB.所以D符合题意.
3.[2023皖豫名校联考]如图，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得某山的底部C在北偏东15°方向上，匀速向北航行20 min到达B处，此时测得该山的底部C在北偏东60°方向上，测得山顶P（P在C正上方）的仰角为60°，已知山的高度为23 km.则巡逻船的航行速度为 6（3＋1） km/h.
解析 由题意知，在△BCP中，PC＝23 km，∠PBC＝60°，故tan∠PBC＝PCBC＝3，得BC＝2 km.在△ABC中，∠BCA＝60°－15°＝45°，则BCsin∠BAC＝ABsin∠BCA，即2sin 15°＝ABsin 45°，而sin 15°＝sin（45°－30°）＝6－24，所以AB＝2×46－2＝2（3＋1）（km）.所以巡逻船的航行速度为2（3＋1）÷13＝6（3＋1）（km/h）.
4.[2023郑州一中期中]如图所示，遥感卫星发现某海域上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°的60海里处，在小岛B北偏东15°方向上，相距（303－30）海里处有一个小岛C.
（1）求小岛A与小岛C之间的距离；
（2）如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.
解析 （1）在△ABC中，AB＝60，BC＝303－30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，根据余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC＝602＋（303－30）2－2×60×
（303－30）×cs 120°＝5 400，得AC＝306，
∴小岛A与小岛C之间的距离是306海里.
（2）根据正弦定理得，ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，
∴306sin120°＝60sin∠ACB，得sin∠ACB＝22，
又∵0°＜∠ACB＜60°，∴∠ACB＝45°，
∴∠CAB＝180°－120°－45°＝15°.
由75°－15°＝60°得，游船应该沿北偏东60°的方向航行.
5.[2023贵州诊断]镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中，已知人眼距离地面高度h＝1.5 m，某建筑物高h1＝4.5 m，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置，测量人与镜子间的距离a1＝1.2 m，将镜子后移
a m，重复前面的操作，测量人与镜子间的距离a2＝3.2 m，则a＝（ A ）
A.6 B.5 C.4 D.3
解析 如图，设建筑物最高点为A，建筑物底部为O，第一次观察时镜面位置为B，第一次观察时人眼睛位置为C，第二次观察时镜面位置为D，设O到B之间的距离为a0 m，
由光线反射性质得∠ABO＝∠CBD，所以tan∠ABO＝tan∠CBD，即h1a0＝ha1 ①，同理可得h1a0＋a＝ha2 ②，
由①②可得a0＋aa0＝a2a1，解得a0＝a1·aa2－a1，代入①整理得a＝h1（a2－a1）h＝4.5×（3.2－1.2）1.5＝6，故选A.
6.[背景创新]1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端引出的两条光线在眼球内交叉而成的角）？这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山顶上的铁塔，塔高90 m，山高160 m，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（ B ）
A.12B.941C.1625D.916
解析 如图，由诺德尔教授对米勒问题的解答，设此时的视角为θ，易知塔底距离地面的高度为BC＝160 m，塔顶离地面的高度为AC＝90＋160＝250（m），则人距塔的距离CD＝AC·BC＝200 m，由∠C＝90°得BD＝BC2＋CD2＝4041（m），
AD＝AC2＋CD2＝5041（m），则在△ABD中cs θ＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝4041，故sin θ＝1－cs2θ＝1－（4041）2＝941.故选B.
7.[2024青岛市检测]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示某蓝洞口边缘A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝8海里，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为 85 海里.
解析 如图所示，在△ACD中，∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝135°＋15°＝150°，∠DCA＝15°，则∠DAC＝180°－150°－15°＝15°，即△ACD为等腰三角形，又CD＝8，所以AD＝8.在△BCD中，∠BDC＝15°，∠DCB＝∠DCA＋∠ACB＝15°＋120°＝135°，则∠DBC＝180°－15°－135°＝30°，又CD＝8，所以由BDsin∠DCB＝CDsin∠DBC，得BDsin135°＝8sin30°，所以BD＝82.在△ABD中，AD＝8，BD＝82，∠ADB＝135°，所以AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cs∠ADB＝82＋（82）2－2×8×82×（－22）＝82×5，所以AB＝85海里.
8.[2024北京市密云二中月考]某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12 km的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得∠BAD＝75°，∠ABD＝45°.（注：点A，B，C，D在同一平面内）
（1）求△ABD的面积；
（2）求点C，D之间的距离.
解析 （1）在△ABD中，∠BAD＝75°，∠ABD＝45°，所以∠ADB＝60°.
由正弦定理ADsin∠ABD＝ABsin∠ADB，得ADsin45°＝ABsin60°，
所以AD＝sin45°sin60°·AB＝2232×12＝46（km）.
因为sin∠BAD＝sin 75°＝sin（45°＋30°）＝22×（32＋12）＝6＋24，
所以△ABD的面积S△ABD＝12AB·AD·sin∠BAD
＝12×12×46×6＋24
＝（36＋123）（km2）.
（2）由∠BAD＝75°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，得∠CAD＝45°，AC＝32AB＝63（km）.
在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cs∠CAD＝36×3＋16×6－2×63×46×22＝60.
所以CD＝60＝215（km）.
即点C，D之间的距离为215 km.
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