备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破4利用导数解决零点问题命题点2探究函数零点个数

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（1）f'（x）在区间（－1，π2）上存在唯一极大值点；
（2）f（x）有且仅有2个零点.
解析 （1）设g（x）＝f'（x），则g（x）＝cs x－11+x，
g'（x）＝－sin x＋1（1+x）2.
当x∈（－1，π2）时，g'（x）单调递减，而g'（0）＞0，g'（π2）＜0，可得g'（x）在
（－1，π2）上有唯一零点，设为α.
则当x∈（－1，α）时，g'（x）＞0；
当x∈（α，π2）时，g'（x）＜0.
所以g（x）在（－1，α）上单调递增，在（α，π2）上单调递减，故g（x）在（－1，π2）上存在唯一极大值点，即f'（x）在（－1，π2）上存在唯一极大值点.
（2）f（x）的定义域为（－1，＋∞）.
（i）当x∈（－1，0]时，由（1）知，f'（x）在（－1，0）上单调递增，而f'（0）＝0，
所以当x∈（－1，0）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－1，0）上单调递减.
又f（0）＝0，从而x＝0是f（x）在（－1，0]上的唯一零点.
（ii）当x∈（0，π2]时，由（1）知，f'（x）在（0，α）上单调递增，在（α，π2）上单调递减，而f'（0）＝0，f'（π2）＜0，所以存在β∈（α，π2），使得f'（β）＝0，且当x∈（0，β）时，f'（x）＞0；
当x∈（β，π2）时，f'（x）＜0.
故f（x）在（0，β）上单调递增，在（β，π2）上单调递减.
又f（0）＝0，f（π2）＝1－ln（1＋π2）＞0，
所以当x∈（0，π2]时，f（x）＞0.从而f（x）在（0，π2]上没有零点.
（iii）当x∈（π2，π]时，f'（x）＜0，
所以f（x）在（π2，π）上单调递减.
而f（π2）＞0，f（π）＜0，
所以f（x）在（π2，π]上有唯一零点.
（iv）当x∈（π，＋∞）时，ln（x＋1）＞1，所以f（x）＜0，从而f（x）在（π，＋∞）上没有零点.
综上，f（x）有且仅有2个零点.
方法技巧
探究函数零点个数的方法
（1）图象法：通过导数研究函数的单调性、极值、最值，确定函数f（x）的图象草图，判断图象与横轴的交点个数，一般要结合函数零点存在定理处理.
（2）分离法：设f（x）＝g（x）－h（x），则f（x）的零点个数⇔g（x）与h（x）图象的交点个数.
训练2 [2023山东潍坊二模节选]已知函数f（x）＝x＋asinx.讨论f（x）在区间（0，π2）上的零点个数.
解析 f'（x）＝1＋acsx.
①若a≥0，则f'（x）＝1＋acsx＞0在（0，π2）上恒成立，所以f（x）在（0，π2）上单调递增，又f（0）＝0，所以f（x）在（0，π2）上无零点.
②若a＜0，由x∈（0，π2），得0＜cs x＜1，则1＋a＜1＋acsx＜1.
当a＋1≥0，即－1≤a＜0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，π2）上单调递增，又f（0）＝0，故f（x）在（0，π2）上无零点.
当a＋1＜0，即a＜－1时，f'（x）在（0，π2）上单调递增，且f'（0）＝1＋a＜0，f'（π2）＝1＞0，
故存在x0∈（0，π2），使得f'（x0）＝0，
所以f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，π2）上单调递增，
又f（0）＝0，故f（x0）＜0，f（π2）＝π2＋a.
此时，若π2＋a≤0，即a≤－π2，则f（x）在（0，π2）上无零点；
若π2＋a＞0，即－π2＜a＜－1，则f（x）在（0，π2）上有一个零点.
综上，当a≥－1时，f（x）在（0，π2）上无零点；当－π2＜a＜－1时，f（x）在（0，π2）上有一个零点；当a≤－π2时，f（x）在（0，π2）上无零点.