备考2024届高考数学一轮复习好题精练第六章平面向量复数突破2解三角形中的热点问题命题点2多三角形问题

这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第六章平面向量复数突破2解三角形中的热点问题命题点2多三角形问题，共2页。

（1）证明：BD＝b；
（2）若AD＝2DC，求cs∠ABC.
解析 （1）由题易得BDa＝sinCsin∠ABC.在△ABC中，由正弦定理得sinCsin∠ABC＝cb，则BDa＝cb，即BD·b＝ac，
又b2＝ac，所以BD·b＝b2，又b＞0，所以BD＝b.
（2）解法一 由题意可知AD＝23b，DC＝13b.在△ABD与△ABC中，cs∠BAD＝cs∠BAC，所以c2＋49b2－b22c·23b＝c2＋b2－a22bc ①.将b2＝ac代入①式可得6a2－11ac＋3c2＝0，即（2a－3c）（3a－c）＝0，所以c＝23a或c＝3a.
当c＝23a时，cs∠ABC＝c2＋a2－ac2ac＝49a2＋a2－23a243a2＝712；
当c＝3a时，cs∠ABC＝c2＋a2－ac2ac＝9a2＋a2－3a26a2＝76＞1（舍）.
综上，cs∠ABC＝712.
解法二 由题意可得，AD＝23AC，所以BD＝BA＋AD＝BA＋23AC＝BA＋23（BC－BA）＝13BA＋23BC，则BD2＝19c2＋49a2＋49accs∠ABC ①，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs∠ABC ②，
联立①②得11b2＝3c2＋6a2，
因为b2＝ac，所以3c2－11ac＋6a2＝0，
所以c＝3a或c＝23a.以下同解法一.
方法技巧
多三角形问题的解题思路
（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理或余弦定理求解；（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件（如公共边，公共角，邻角之间的关系），求出结果.
训练2 [全国卷Ⅰ]如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cs∠FCB＝ －14 .
解析 依题意得，AE＝AD＝3，在△AEC中，AC＝1，∠CAE＝30°，由余弦定理得EC2＝AE2＋AC2－2AE·ACcs∠CAE＝3＋1－23cs 30°＝1，所以EC＝1，所以CF＝EC＝1.又BC＝AC2＋AB2＝1+3＝2，BF＝BD＝AD2＋AB2＝6，所以在△BCF中，由余弦定理得cs∠FCB＝BC2＋CF2－BF22BC×CF＝22＋12－（6）22×2×1＝－14.