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    备考2024届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破4立体几何中的翻折问题与探索性问题命题点2探索性问题

    备考2024届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破4立体几何中的翻折问题与探索性问题命题点2探索性问题第1页
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    备考2024届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破4立体几何中的翻折问题与探索性问题命题点2探索性问题

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    这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破4立体几何中的翻折问题与探索性问题命题点2探索性问题,共3页。
    (1)证明:BF⊥DE.
    (2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?
    解析 (1)因为F为CC1的中点,
    所以CF=12CC1=12BB1=1,BF=BC2+CF2=5.
    如图,连接AF,由BF⊥A1B1,AB∥A1B1,得BF⊥AB,于是AF=BF2+AB2=3,
    所以AC=AF2-CF2=22.
    则AB2+BC2=AC2,所以BA⊥BC,
    故以B点为坐标原点,AB,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,
    则B(0,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1),BF=(0,2,1).
    设B1D=m(0≤m≤2),则D(m,0,2),
    于是DE=(1-m,1,-2).
    所以BF·DE=0,所以BF⊥DE.
    (2)易知平面BB1C1C的一个法向量为n1=(1,0,0) .
    设平面DFE的法向量为n2=(x,y,z),则DE·n2=0,EF·n2=0,
    又DE=(1-m,1,-2),EF=(-1,1,1),
    所以(1-m)x+y-2z=0,-x+y+z=0,令x=3,得y=m+1,z=2-m,
    于是,平面DFE的一个法向量为n2=(3,m+1,2-m),
    所以cs<n1,n2>=n1·n2|n1||n2|=32(m-12)2+272.
    设平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角为θ,
    则sin θ=1-cs2<n1,n2>,
    故当m=12时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小,为33,即当B1D=12时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小.
    方法技巧
    1.对于存在判断型问题的求解,一般先假设存在,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“方程(在规定范围内)是否有解”的问题.
    2.借助空间直角坐标系,引进参数,将几何问题代数化是解决探索性问题的常见方法.
    训练3 [多选/2023重庆名校联盟联考]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为AD1,B1C上的动点,且满足AP=B1Q,则( ACD )
    A.存在PQ的某一位置,使AB∥PQ
    B.△BPQ的面积为定值
    C.当PA>0时,直线PB1与直线AQ一定异面
    D.无论P,Q运动到何位置,均有BC⊥PQ
    解析 对于A,当P,Q分别是AD1与B1C的中点时,AB∥PQ,故A正确.
    对于B,设正方体的棱长为2,当P在A处,Q在B1处时,△BPQ的面积为2,当P在AD1的中点,Q在B1C的中点时,△BPQ的面积为2,故B错误.
    对于C,当PA>0时,设直线PB1与AQ是共面直线,则AP与B1Q共面,矛盾,所以直线PB1与直线AQ是异面直线,故C正确.
    对于D,当P与A重合或P与D1重合时,易证BC⊥PQ.当P不与A,D1重合时,设点P在平面ABCD内的射影为M,点Q在平面ABCD内的摄影为N,连接PM,QN,MN,PQ,由AP=B1Q知,AM=BN,则BC⊥MN,又QN⊥BC,MN∩QN=N,所以BC⊥平面PMNQ,因为PQ⊂平面PMNQ,所以BC⊥PQ,故D正确.故选ACD.
    训练4 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且PFPC=13.
    (1)求证:CD⊥平面PAD.
    (2)求二面角F-AE-P的余弦值.
    (3)设点G在PB上,且PGPB=23.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.
    解析 (1)因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.
    又AD⊥CD,AD∩PA=A,AD,PA⊂平面PAD,
    所以CD⊥平面PAD.
    (2)过点A作AD的垂线交BC于点M.
    因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.
    以点A为坐标原点,分别以AM,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
    则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
    因为E为PD的中点,所以E(0,1,1).
    所以AE=(0,1,1),PC=(2,2,-2),AP=(0,0,2).
    所以PF=13PC=(23,23,-23),AF=AP+PF=(23,23,43).
    设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),
    则n·AE=0,n·AF=0,即y+z=0,23x+23y+43z=0,
    令z=1,则y=-1,x=-1.
    于是n=(-1,-1,1)为平面AEF的一个法向量.
    易得平面PAD的一个法向量为p=(1,0,0),
    则cs<n,p>=n·p|n||p|=-33.
    由题知,二面角F-AE-P为锐二面角,所以其余弦值为33.
    (3)直线AG在平面AEF内.理由如下.
    因为点G在PB上,且PGPB=23,PB=(2,-1,-2),
    所以PG=23PB=(43,-23,-43),AG=AP+PG=(43,-23,23).
    由(2)知,平面AEF的一个法向量为n=(-1,-1,1).
    所以AG·n=-43+23+23=0.所以直线AG在平面AEF内.

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