备考2024届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破2空间几何体的截面交线问题命题点3截面的交线问题

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解析 如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝22＋12＝5，D1M⊥平面BCC1B1，且D1M＝3.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点.在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝2，连接D1P，则D1P＝D1M2＋MP2＝（3）2＋（2）2＝5，连接MG，MH，易得MG＝MH＝2，故可知以M为圆心，2为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线.由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以GH的长为14×2π×2＝2π2.
方法技巧
1.作截面的三种常用方法
一是直接法，解题关键是截面上的点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，可以直接借助基本事实2作出截面.
二是作平行线法，解题关键是截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可借助线面平行的性质定理和面面平行的性质定理作出截面.
三是延长交线得交点，解题关键是截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上，可通过由作延长线得到的交点辅助得出截面与立体几何图形的交点，进而得交线和截面图形.
2.求解截面的交线长度问题，关键是准确找到截面与几何体相交的轨迹形状，突破口是找到截面与几何体的公共点的位置和变化轨迹.常见的轨迹形状为特殊四边形（正方形、平行四边形、菱形、梯形）的组合图形、圆周或圆弧、圆锥曲线的部分等.
训练3 [2023武汉市武昌实验中学模拟测试]已知在圆柱O1O2内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧CD的中点，则平面PAB与球的交线长为 10π5 .
解析 设该球的球心为O，半径为r，则AB＝BC＝2r，而S四边形ABCD＝AB×BC＝4r2＝8，解得r＝2.
如图，连接PO2，O1P，作OH⊥O2P于H，易知O1O2⊥AB，因为P为CD的中点，所以AP＝BP.又O2为AB的中点，所以O2P⊥AB.又O1O2∩O2P＝O2，所以AB⊥平面O1O2P.又OH⊂平面O1O2P，所以AB⊥OH.因为OH⊥O2P，且AB∩PO2＝O2，所以OH⊥平面ABP.
因为O1O2＝2r＝22，O1P＝2，O1O2⊥O1P，
所以O2P＝O1O22＋O1P2＝（22）2＋（2）2＝10，
所以sin∠O1O2P＝O1PO2P＝210＝55，
所以OH＝OO2×sin∠O1O2P＝2×55＝105.
易知平面PAB与球O的交线为一个圆，其半径为r1＝r2－OH2＝（2）2－（105）2＝2105，所以交线长为2πr1＝2π×2105＝4105π.