备考2024届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破2空间几何体的截面交线问题命题点1截面的形状问题

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例1 [多选/2023岳阳市联合体联考]用一个平面截正方体，所得的截面不可能是（ BCD ）
A.锐角三角形B.直角梯形
C.有一个内角为75°的菱形D.正五边形
解析 对于A，如图1，截面的形状可能是正三角形，故A可能；对于B，首先考虑截正方体得到的截面为梯形，且QR与AA1不平行，如图2所示，不妨假设PQ⊥QR，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，PQ⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥PQ，又AA1与QR相交，所以可得PQ⊥平面A1ABB1，这是不可能的，故B不可能；对于C，当平面截正方体得到的截面为菱形（非正方形）时，只有如下情形，如图3，其中P，R为所在棱的中点，易知当菱形为PBRD1时，菱形中的锐角取得最小值，即∠PD1R最小，设正方体的棱长为2，则PD1＝RD1＝5，PR＝22，则由余弦定理，得cs∠PD1R＝PD12＋RD12－PR22PD1·RD1＝5+5－82×5×5＝15＜6－24＝cs 75°，所以∠PD1R＞75°，故C不可能；对于D，假设截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，可知必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，所以截面的形状不可能是正五边形，故D不可能.综上所述，选BCD.
思维拓展
1.正方体的基本截面
用一个平面截正方体，可以得到的截面形状如下：
注意 正方体的斜截面不会出现直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形.
2.圆柱体的基本截面
用一个平面截圆柱，可以得到的截面形状如下：
训练1 [2024江西高三联考]已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BB1＝2BC，点P，Q，T分别在棱BB1，CC1和AB上，且B1P＝3BP，CQ＝3C1Q，BT＝3AT，则平面PQT截长方体所得的截面形状为（ C ）
A.三角形B.四边形
C.五边形D.六边形
解析 如图，连接QP并延长，交CB的延长线于点E，连接ET并延长，交AD于点S，过点S作SR∥EQ交DD1于点R，连接RQ，则五边形PQRST即平面PQT截该长方体所得的截面多边形.故选C.横截
竖截
斜截
正方形
正方形
如图所示
横截
竖截
斜截
圆形，如图1
矩形，如图2
如图3，4，5所示