备考2024届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破3立体几何中的动态问题命题点3最值与范围问题

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A.[18，814]B.[274，814]C.[274，643]D.[18，27]
解析 设正四棱锥的底面边长为a，高为h，外接球的球心为O，半径为R，依题意，得36π＝43πR3，解得R＝3.由题意可得l2＝h2＋（22a）2，R2＝（h－R）2＋（22a）2，解得h＝l22R＝l26，a2=2l2－l418，所以正四棱锥的体积V＝13a2h＝13（2l2－l418）×l26＝l418（2－l218）（3≤l≤33），所以V'＝49l3－l554＝19l3（4－l26）（3≤l≤33）.令V'＝0，得l＝26，当3≤l＜26时，V'＞0；当26＜l≤33时，V'＜0，所以函数V＝l418（2－l218）（3≤l≤33）在[3，26）上单调递增，在（26，33]上单调递减.又当l＝3时，V＝274；当l＝26时，V＝643；当l＝33时，V＝814.所以该正四棱锥体积的取值范围是[274，643].故选C.
方法技巧
立体几何中的范围问题的解题方法
（1）几何法：分析变化过程，找到满足条件的最值位置.
（2）代数法：通过引入变量，将动态问题转化为关于变量的代数式，利用函数思想或不等式思想求最值.
训练3 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P的长度的取值范围是（ B ）
A.[2，5]B.[322，5]C.[5，22]D.[22，23]
解析 如图，取B1C1的中点G，BB1的中点H，连接GH，A1G，A1H，则A1G∥AE，又A1G⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，所以A1G∥平面AEF，同理得GH∥平面AEF，又A1G∩GH＝G，所以平面A1GH∥平面AEF.因为P是侧面BCC1B1内一点，所以当P点在线段GH上时，能够满足A1P∥平面AEF.由勾股定理可求得A1G＝A1H＝5，GH＝2，所以当点P为GH的中点时，A1P的长度最小，此时A1P＝5－12＝322，当点P与点G或点H重合时，A1P的长度最大，此时A1P＝5.故线段A1P的长度的取值范围是[322，5].故选B.