备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第5讲二次函数与一元二次方程不等式

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1.二次函数的图象与性质
注意 对于函数y＝ax2＋bx＋c，要使它是二次函数，就必须满足a≠0.当题中条件未说明a≠0时，要讨论a＝0和a≠0两种情况.
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于a＜0的情况同理可得出相应的结论.
注意 （1）当二次项系数含参时，需要对参数分类讨论；（2）对于含参的一元二次不等式，需要注意对应的一元二次方程两根的大小关系.
常用结论
分式不等式的解法
（1）f（x）g（x）＞0⇔f（x）g（x）＞0；（2）f（x）g（x）＜0⇔f（x）g（x）＜0；（3）f（x）g（x）≥0⇔f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；
（4）f（x）g（x）≤0⇔f（x）g（x）≤0，g（x）≠0；（5）f（x）g（x）＜a（a≠0）⇔f（x）g（x）－a＜0（a≠0）.
1.不等式x－3x－2＜0的解集为（ B ）
A.∅B.（2，3）
C.（－∞，2）∪（3，＋∞）D.（－∞，＋∞）
解析 x－3x－2＜0等价于（x－3）（x－2）＜0，解得2＜x＜3.
2.已知函数f（x）＝ax2＋ax＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是（ B ）
A.（0，20）B.[0，20）C.[0，20]D.[20，＋∞）
3.一元二次不等式2x2＋mx＋n＞0的解集是{x｜x＞3或x＜－2}，则m＋n的值是（ D ）
A.14B.0C.－10D.－14
解析 由题意可知一元二次方程2x2＋mx＋n＝0的两个根分别为3，－2，所以由根与系数的关系得－2+3=－m2，－2×3=n2，解得m＝－2，n＝－12，所以m＋n＝－14.故选D.
4.[多选]下列说法不正确的是（ BCD ）
A.若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0
B.若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R
C.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且b2－4ac≤0
D.x－ax－b≥0⇔（x－a）（x－b）≥0（a≠b）
5.1+x＜1＋x2的解集为 [－1，0）∪（0，＋∞） .
研透高考 明确方向
命题点1 二次函数的图象与性质
角度1 二次函数的图象及应用
例1 （1）[2024江苏省苏州市模拟]一次函数y＝ax－b（a≠0）与二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在同一坐标系中的大致图象是（ B ）
解析 若a＞0，则一次函数y＝ax－b（a≠0）为增函数，
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象开口向上，故可排除A；若a＜0，则一次函数y＝ax－b（a≠0）为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象开口向下，故可排除D；对于选项C，由直线可知a＜0，b＞0，从而－b2a＞0，即二次函数图象的对称轴应该在y轴的右侧，故应排除C.故选B.
（2）已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），且截x轴所得的线段长为2，若对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x）＝ x2－4x＋3 .
解析 因为f（2－x）＝f（2＋x）对任意x∈R恒成立，所以f（x）图象的对称轴为直线x＝2.又f（x）的图象截x轴所得的线段长为2，所以f（x）＝0的两根为1和3.设f（x）的解析式为f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0），因为f（x）的图象过点（4，3），所以3a＝3，即a＝1，所以f（x）＝（x－1）（x－3）＝x2－4x＋3.
方法技巧
识别二次函数图象应学会“三看”
角度2 二次函数的性质及应用
例2 （1）[2024江西景德镇统考改编]若函数f（x）＝x2－3x－4在区间[t，t＋2]上的最小值为6，则实数t＝ －4或5 .
解析 当t＋2≤32，即t≤－12时，函数f（x）在区间[t，t＋2]上单调递减，则f（x）min＝
f（t＋2）＝（t＋2）2－3（t＋2）－4＝t2＋t－6＝6，解得t＝－4或t＝3（舍去）；当t≥32时，函数f（x）在区间[t，t＋2]上单调递增，则f（x）min＝f（t）＝t2－3t－4＝6，解得t＝5或t＝－2（舍去）；当t＜32＜t＋2，即－12＜t＜32时，函数f（x）min＝f（32）＝－254≠6.
综上所述，t＝－4或t＝5.
命题拓展
[变条件]若函数f（x）＝x2－3x－4在区间[t，t＋2]上的最大值为6，则实数t＝ －2或3 .
解析 因为f（x）＝x2－3x－4在区间[t，t＋2]上的最大值为6，且其图象的对称轴方程为x＝32，所以当32－t＞1，即t＜12时，f（x）max＝f（t）＝t2－3t－4＝6，解得t＝5（舍去）或t＝－2；当32－t≤1，即t≥12时，f（x）max＝f（t＋2）＝（t＋2）2－3（t＋2）－4＝t2＋t－6＝6，解得t＝－4（舍去）或t＝3.综上所述，t＝－2或3.
（2）若函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞），则a＝ －3 .
解析 由题意知f（x）为二次函数且a＜0，3－a2a＝－1，所以a＝－3.
命题拓展
[变条件]若函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1在区间[－1，＋∞）上单调递减，则实数a的取值范围是 [－3，0] .
解析 当a＝0时，f（x）＝－3x＋1在[－1，＋∞）上单调递减，满足题意；当a≠0时，
f（x）图象的对称轴为直线x＝3－a2a，由f（x）在[－1，＋∞）上单调递减知a0，h（2）=2（x－2）＋（x－2)(x－3）>0，解得x＜1或x＞3.故选A.
方法技巧
1.一元二次不等式在R上恒成立，可以利用判别式判断.
2.一元二次不等式在给定区间上恒成立，一般分离参数求最值或分类讨论.
3.一元二次不等式在给定参数范围恒成立，可变换主元求解，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
方法技巧
求解不等式恒成立问题的常用方法
训练3 （1）已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为（ C ）
A.（－∞，2）∪（3，＋∞）
B.（－∞，1）∪（2，＋∞）
C.（－∞，1）∪（3，＋∞）
D.（1，3）
解析 把不等式的左边看成关于a的一次函数，记f（a）＝（x－2）a＋x2－4x＋4，则由
f（a）＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f（－1）＝x2－5x＋6＞0，且f（1）＝x2－3x＋2＞0，解不等式组x2－5x+6>0，x2－3x+2>0，得x＜1或x＞3.故选C.
（2）[2024江苏省扬州市模拟]设函数f（x）＝mx2－mx－1，若对于任意的x∈{x｜1≤x≤2}，f（x）＜－m＋4恒成立，则（ C ）
A.m≤0B.0≤m＜53
C.m＜53D.0＜m＜53
解析 ∵∀x∈[1，2]，mx2－mx－1＜－m＋4恒成立，
∴m（x2－x＋1）＜5对∀x∈[1，2]恒成立，
又当x∈[1，2]时，y＝x2－x＋1＝（x－12）2＋34∈[1，3]，
∴m＜（5x2－x+1）min＝53，即m＜53.
故选C.
（3）[2024湖南省长沙市模拟]已知关于x的不等式kx2－3kx＋k＋5＞0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为 [0，4） .
解析 当k＝0时，不等式为5＞0，恒成立，符合题意；当k＞0时，若不等式kx2－3kx＋k＋5＞0对任意x∈R恒成立，则对应方程的Δ＝9k2－4k（k＋5）＜0，解得0＜k＜4；
当k＜0时，不等式kx2－3kx＋k＋5＞0不能对任意x∈R恒成立.
综上，k的取值范围是[0，4）.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
二次函数的图象与性质
2023新高考卷ⅠT4；2020新高考卷ⅡT7
本讲很少单独命题，常与其他知识综合命题，如作为工具求解集合、函数、导数、圆锥曲线等问题，命题热点有一元二次不等式的解法及恒成立问题，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养.预计2025年高考命题点变化不大，复习备考时要重点掌握一元二次不等式的解法，二次函数的图象与性质，并能充分运用.
“三个二次”之间的关系与一元二次不等式的解法
一元二次不等式的恒成立问题
2019天津T8
函数
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）
y＝ax2＋bx＋c（a＜0）
图象
开口向上的抛物线
开口向下的抛物线
定义域
R
R
值域
[4ac－b24a，＋∞）
（－∞，4ac－b24a]
单调性
在① （－∞，－b2a） 上单调递减，
在② （－b2a，＋∞） 上单调递增
在③ （－∞，－b2a） 上单调递增，
在④ （－b2a，＋∞） 上单调递减
奇偶性
当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点坐标
（－b2a，4ac－b24a）
对称轴
直线x＝⑤ －b2a
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象
ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根
有两个相异的实数根x1，x2（x1＜x2）
有两个相等的实数根x1＝x2＝⑥－b2a
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集
⑦ {x｜x＜x1或x＞x2}
{x｜x≠－b2a}
⑧ R
ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集
⑨ {x｜x1＜x＜x2}
⌀
⑩ ⌀
一看符号
看二次项系数的符号，它的正负决定二次函数图象的开口方向.若符号不确定，要分类讨论.
二看对称轴
看对称轴和最值，它们决定二次函数图象的具体位置.
三看特殊点
看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等.
不等式解集法
不等式f（x）≥0在集合A中恒成立等价于集合A是不等式f（x）≥0的解集B的子集，通过求不等式的解集，并研究集合间的关系可以求出参数的取值范围.
分离参数法
若不等式f（x，λ）≥0（x∈D，λ为实参数）恒成立，将f（x，λ）≥0转化为λ≥
g（x）或λ≤g（x）（x∈D）恒成立，进而转化为λ≥g（x）max或λ≤g（x）min，求g（x）（x∈D）的最值即可.该方法适用于参数与变量能分离，函数最值易求的题目.
主参换位法
变换思维角度，即把主元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原参数的取值范围列式求解.一般地，条件给出谁的范围，就看成是有关谁的函数，利用函数单调性求解.
数形结
合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x轴）求解.此外，若涉及的不等式能转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.