备考2024届高考数学一轮复习讲义第二章函数第6讲函数的图象

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1.利用描点法作函数的图象
2.利用图象变换法作函数的图象
注意 （1）平移变换，基本原则是“左加右减”“上加下减”.“左加右减”只针对x本身，若x的系数不是1，需先将系数变为1后，再进行变换.
（2）对称变换的对称是指两个函数的图象之间的关系，而与奇偶性有关的对称，是指一个函数图象自身的特征.
常用结论
1.函数图象自身的对称性
（1）若函数y＝f（x）的定义域为R，且有f（a＋x）＝f（b－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a＋b2对称.特别地，若f（a＋x）＝f（a－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝a对称.
（2）若函数y＝f（x）的定义域为R，且有f（a＋kx）＝f（b－kx）（k≠0），则函数
f（x）的图象关于直线x＝a＋b2对称，函数f（kx）的图象关于直线x＝a＋b2k对称.
（3）函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）中心对称⇔f（a＋x）＝2b－f（a－x）⇔f（x）＝2b－f（2a－x）.特别地，若f（a＋x）＝－f（a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称.
2.两个函数图象之间的对称关系
（1）函数y＝f（a＋x）与y＝f（b－x）的图象关于直线x＝b－a2对称（由a＋x＝b－x得对称轴方程）.
（2）函数y＝f（x）与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点（a，b）对称.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.函数y＝f（1－x）的图象可由y＝f（－x）的图象向左平移1个单位长度得到
B.函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称
C.当x∈（0，＋∞）时，函数y＝f（｜x｜）的图象与y＝｜f（x）｜的图象相同
D.若函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
解析 y＝f（1－x）可由y＝f（－x）的图象向右平移1个单位长度得到，A错误；y＝
f（x）与y＝－f（x）的图象关于x轴对称，B错误.令f（x）＝－x，当x∈（0，＋∞）时，y＝｜f（x）｜＝x，y＝f（｜x｜）＝－x，两者图象不同，C错误.易知D正确.
2.函数y＝x2，x<0，x－1，x≥0的图象是（ C ）
A B CD
解析 x＜0时，图象单调递减，x≥0时，图象单调递增，且函数图象过点（0，－1），易知C正确.
3.[全国卷Ⅲ]下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是（ B ）
A.y＝ln（1－x）B.y＝ln（2－x）C.y＝ln（1＋x）D.y＝ln（2＋x）
解析 设f（x）＝ln x，易知函数f（2－x）与f（x）的图象关于直线x＝1对称，f（2－x）＝ln（2－x），故选B.
4.[2024北京师范大学附属实验中学模拟]要得到函数y＝xx－1的图象，只需将函数y＝1x的图象（ A ）
A.向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C.向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D.向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析 y＝xx－1＝x－1+1x－1＝1＋1x－1，故将y＝1x的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到y＝xx－1的图象.故选A.
5.[2024江西省部分学校联考]将二次函数y＝3（x＋1）2－2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则a＋b＋c＝ 2 .
解析 由题意可得ax2＋bx＋c＝3（x－2＋1）2－2＋4＝3x2－6x＋5，所以a＝3，b＝－6，c＝5，则a＋b＋c＝2.
研透高考 明确方向
命题点1 作函数的图象
例1 分别画出下列函数的图象：
（1）y＝2x＋1－1；
（2）y＝｜lg（x－1）｜；
（3）y＝x2－｜x｜－2.
解析 （1）将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图1所示.
图1图2
（2）首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg（x－1）的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得y＝｜lg（x－1）｜的图象，如图2所示（实线部分）.
（3）y＝x2－｜x｜－2＝x2－x－2，x≥0，x2＋x－2，x<0，其图象如图所示.
方法技巧
作函数的图象的策略
（1）熟练掌握几种基本初等函数的图象.
（2）若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.
训练1 分别画出下列函数的图象：
（1）y＝（12）｜x｜；（2）y＝2x+1x+1.
解析 （1）先作出y＝（12）x的图象，再去掉y轴左侧图象，并将y轴右侧图象翻折到y轴左侧，y轴上及右侧图象不变，即得y＝（12）｜x｜的图象，如图中实线部分所示.
（2）y＝2x+1x+1＝2－1x+1的图象可由y＝－1x的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示.
命题点2 函数图象的识别
角度1 知式选图或知图选式
例2 （1）[2022全国卷甲]函数y＝（3x－3－x）·cs x在区间[－π2，π2]的图象大致为（ A ）
AB
CD
解析 解法一（特值法） 取x＝1，则y＝（3－13）cs 1＝83cs 1＞0；取x＝－1，则y＝（13－3）cs（－1）＝－83cs 1＜0.结合选项知选A.
解法二 令y＝f（x），则f（－x）＝（3－x－3x）cs（－x）＝－（3x－3－x）cs x＝
－f（x），所以函数y＝（3x－3－x）cs x是奇函数，且当x∈（0，π2）时，3x－3－x＞0，
cs x＞0，故f（x）＞0，故选A.
（2）[2022全国卷乙]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是（ A ）
A.y＝－x3+3xx2+1B.y＝x3－xx2+1
C.y＝2xcsxx2+1D.y＝2sinxx2+1
解析 对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝15sin 3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当x＞0时，y＝2xcsxx2+1＝2csxx＋1x，因为x＋1x≥2，当x＝1时取等号，所以y≤csx≤1，与图象在y轴右侧最大值大于1不符，所以排除C.故选A.
方法技巧
识别函数图象的主要方法有：（1）利用函数的定义与性质，如定义域、奇偶性、单调性等判断；（2）利用函数的零点、极值点等判断；（3）利用特殊函数值判断.
角度2 借助动点探究函数图象
例3 如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝
f（x）的图象大致为（ B ）
AB
CD
解析 由题易知f（0）＝2，f（π4）＝1＋5，f（π2）＝22＜f（π4），可排除选项C，D；当点P在边BC上时，f（x）＝BP＋AP＝tan x＋4+tan2x（0≤x≤π4），不难发现f（x）的图象是非线性的，排除选项A，故选B.
方法技巧
借助动点探究函数图象的两种方法
（1）定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.
（2）定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同位置时图象的变化特征，从而作出选择.
训练2 （1）[2024重庆七校联考]函数f（x）＝ex－1ex+1·cs（π2＋x）的部分图象大致是（ C ）
解析 因为f（x）＝ex－1ex+1·cs（π2＋x）＝1－exex+1·sin x的定义域为R，且f（－x）＝1－e－xe－x+1·
sin（－x）＝－ex（1－e－x）ex（e－x+1）·sin x＝1－exex+1·sin x＝f（x），所以f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，D；当0＜x＜π 时，1－exex+1＜0，sin x＞0，所以f（x）＝1－exex+1·sin x＜0，故选项A错误，选项C正确.故选C.
（2）如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右平行移动（与线段AB有公共点）时，l把四边形ABCD分成两部分.设AE＝x，l左侧的面积为y，则y关于x的图象大致是（ C ）
解析 当l从左至右移动时，一开始l左侧面积的增加速度越来越快，过了D点后l左侧面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后l左侧面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.
命题点3 函数图象的应用
角度1 研究函数性质
例4 已知函数f（x）＝x｜x｜－2x，则下列结论正确的是（ C ）
A.f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）
B.f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）
C.f（x）是奇函数，递减区间是（－1，1）
D.f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）
解析 由题意得f（x）＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x<0，画出函数f（x）的图象，如图所示，观察图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，故函数
f（x）为奇函数，且在（－1，1）上单调递减.故选C.
角度2 解不等式（或方程）
例5 （1）[北京高考]已知函数f（x）＝2x－x－1，则不等式f（x）＞0的解集是（ D ）
A.（－1，1）B.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
C.（0，1）D.（－∞，0）∪（1，＋∞）
解析 函数f（x）＝2x－x－1，则不等式f（x）＞0的解集即2x＞x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x＋1的图象，如图所示，结合图象易得2x＞x＋1的解集为（－∞，0）∪（1，
＋∞）.故选D.
（2）设f（x）＝｜lg（x－1）｜，若1＜a＜b且f（a）＝f（b），则ab的取值范围是 （4，＋∞） .
解析 画出函数f（x）＝｜lg（x－1）｜的图象，如图所示.由1＜a＜b且f（a）＝f（b）可得－lg（a－1）＝lg（b－1），解得ab＝a＋b＞2ab（由于a＜b，故取不到等号），所以ab＞4.
角度3 求参数范围
例6 [2024福建三明第一中学模拟]已知函数f（x）＝sinπx，0≤x≤1，lg2 024x，x>1，若实数a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a＋b＋c的取值范围是（ A ）
A.（2，2 025）B.（2，2 025]
C.（2，2 024）D.（2，2 024]
解析 函数f（x）＝sinπx，0≤x≤1，lg2 024x，x>1的图象如图所示，
不妨令a＜b＜c，由f（a）＝f（b）＝f（c）及正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，1＜c＜
2 024，所以2＜a＋b＋c＜2 025.故选A.
方法技巧
函数图象的应用，实质是数形结合思想的应用.
（1）研究函数的性质可借助函数图象的对称性、走向趋势、最高点、最低点等进行分析；
（2）不等式问题可转化为图象的上下位置关系问题；
（3）函数零点或方程根的问题可转化为函数图象的交点问题.
训练3 （1）把函数f（x）＝ln｜x－a｜的图象向左平移2个单位长度，所得图象对应的函数在（0，＋∞）上单调递增，则a的最大值为（ B ）
A.1B.2C.3D.4
解析 把函数f（x）＝ln｜x－a｜的图象向左平移2个单位长度，得到函数g（x）＝
ln｜x＋2－a｜的图象，则函数g（x）在（a－2，＋∞）上单调递增，又因为所得函数在（0，＋∞）上单调递增，所以a－2≤0，即a≤2，所以a的最大值为2.
（2）已知函数f（x）＝（12）x，x≥1，lg4（x+1),－1A.（－∞，0]B.（－1，0]
C.（－1，0]∪[1，＋∞）D.[1，＋∞）
解析 作出函数y＝f（x）与y＝12x的图象，如图.
结合图象知不等式f（x）≤12x的解集为（－1，0]∪[1，＋∞），故选C.
（3）已知函数f（x）＝2x－x，x≤0，lg2x－x，x>0，若方程f（x）＝－2x＋a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是 （－∞，1] .
解析 方程f（x）＝－2x＋a有两个不同的实数根，即方程f（x）＋x＝－x＋a有两个不同的根，等价于函数y＝f（x）＋x与函数y＝－x＋a的图象有两个不同的交点.
因为f（x）＝2x－x，x≤0，lg2x－x，x>0，
所以y＝f（x）＋x＝2x，x≤0，lg2x，x>0，
作出函数y＝f（x）＋x与y＝－x＋a的大致图象，如图所示.
数形结合可知，当a≤1时，两个函数的图象有两个不同的交点，即方程f（x）＝－2x＋a有两个不同的实数根.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数，理解函数图象的作用.
作函数的图象
本讲是高考的一个热点，主要考查函数图象的识别和应用，题型以选择题为主，中档难度.在2025年高考备考过程中要掌握数形结合思想，并能灵活应用.
函数图象的识别
2023天津T4；2022全国卷乙T8；2022全国卷甲T5；2019全国卷ⅠT5；2019全国卷ⅢT7
函数图象的应用
2020北京T6
平移变换
y＝f（x）的图象y＝f（x＋a）的图象.
y＝f（x）的图象y＝① f（x－a） 的图象.
y＝f（x）的图象y＝f（x）＋h的图象.
y＝f（x）的图象y＝② f（x）－h 的图象.
对称变换
y＝f（x）的图象y＝－f（x）的图象.
y＝f（x）的图象y＝③ f（－x） 的图象.
y＝f（x）的图象y＝f（x）的反函数的图象.
y＝f（x）的图象y＝④ －f（－x） 的图象.
翻折变换
y＝f（x）的图象y＝｜f（x）｜的图象.
y＝f（x）的图象y＝⑤ f（｜x｜） 的图象.
伸缩变换
y＝f（x）的图象y＝f（ax）的图象.
y＝f（x）的图象y＝⑥ Af（x） 的图象.