备考2024届高考数学一轮复习讲义第二章函数第1讲函数的概念及其表示

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注意 （1）与x轴垂直的直线和函数图象最多有一个交点；（2）解决函数问题时，优先考虑定义域.
常用结论
求函数的定义域时常用的结论
（1）分式型1f（x）要满足f（x）≠0；（2）偶次根式型2nf（x）（n∈N*）要满足f（x）≥0；（3）[f（x）]0要满足f（x）≠0；（4）对数型lgaf（x）（a＞0，且a≠1）要满足
f（x）＞0；（5）正切型tan f（x）要满足f（x）≠π2＋kπ，k∈Z.
2.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
注意 （1）分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数；（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集.
1.下列f（x）与g（x）表示同一个函数的是（ B ）
A.f（x）＝x2－1与g（x）＝x－1·x+1B.f（x）＝x与g（x）＝x3＋xx2+1
C.f（x）＝x与g（x）＝（x）2D.f（x）＝x2与g（x）＝3x3
2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是（ D ）
A.y＝xB.y＝lg xC.y＝2xD.y＝1x
3.[教材改编]已知函数f（x）＝x2－1，x≤1，1x－1，x>1，则f（f（－2））＝（ B ）
A.8B.12C.－34D.－109
解析 因为f（x）＝x2－1，x≤1，1x－1，x>1，所以f（－2）＝（－2）2－1＝3，所以
f（f（－2））＝f（3）＝13－1＝12，故选B.
4.已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为 {－1，1，3，5，7} .
研透高考 明确方向
命题点1 求函数的定义域
例1 （1）[2022北京高考]函数f（x）＝1x＋1－x的定义域是 （－∞，0）∪（0，1] .
解析 因为f（x）＝1x＋1－x，所以x≠0，1－x≥0，解得x∈（－∞，0）∪（0，1].
（2）若函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，则函数f（x）的定义域为 [－3，3] .
解析 因为函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，所以－1≤x≤2，所以－3≤1－2x≤3.所以函数f（x）的定义域为[－3，3].
命题拓展
若函数f（x）的定义域为[－1，2]，则函数f（1－2x）的定义域为 [－12，1] .
解析 由－1≤1－2x≤2，得－12≤x≤1，所以函数f（1－2x）的定义域为[－12，1].
方法技巧
1.求具体函数的定义域的策略
根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义.
2.求抽象函数的定义域的策略
（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；
（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域.
注意 无论函数的形式如何，定义域均是指其中的自变量x的取值集合.
训练1 （1）[2024浙江省宁波市余姚中学一检]已知函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，则函数y＝f（2x+1）x+1的定义域是（ A ）
A.[－32，－1）∪（－1，1]
B.[－3，－1）∪（－1，7]
C.（－1，7]
D.[－32，－1）
解析 因为函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，所以－2≤2x＋1≤3，且x＋1≠0，解得x∈[－32，－1）∪（－1，1].故选A.
（2）[2024江苏省镇江市丹阳市模拟]函数f（x）＝3x－2＋（x－4）0的定义域为 [23，4）∪（4，＋∞） .
解析 要使函数f（x）＝3x－2＋（x－4）0有意义，则有3x－2≥0，x－4≠0，解得x≥23且x≠4，
所以函数f（x）＝3x－2＋（x－4）0的定义域为[23，4）∪（4，＋∞）.
命题点2 求函数的解析式
例2 （1）[2024河南省内乡高中模拟]已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝16x－25，则f（x）＝ 4x－5或－4x＋253 .
解析 设f（x）＝kx＋b（k≠0），则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，∴k2=16，kb＋b＝－25，∴k=4，b＝－5或k＝－4，b＝253，∴f（x）＝4x－5或f（x）＝－4x＋253.
（2）已知f（x）满足2f（x）＋f（1x）＝3x－1，则f（x）＝ 2x－1x－13 .
解析 已知2f（x）＋f（1x）＝3x－1 ①，
以1x代替①中的x（x≠0），得2f（1x）＋f（x）＝3x－1 ②，
①×2－②，得3f（x）＝6x－3x－1，故f（x）＝2x－1x－13.
方法技巧
求函数解析式的常用方法
（1）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），则可用待定系数法求解.
（2）换元法：若已知复合函数f（g（x））的解析式求解函数f（x）的解析式，可令
g（x）＝t，解出x，然后代入f（g（x））中即可求得f（t），从而求得f（x）.此时要注意新元的取值范围.
（3）配凑法：配凑法是将函数f（g（x））的解析式配凑成关于g（x）的形式，进而求出函数f（x）的解析式.
（4）构造方程组法（消元法）：若已知f（x）与f（1x），f（－x）等的表达式，则可通过赋值（如令x为1x，－x等）构造出另一个等式，通过解方程组求出f（x）.
注意 求函数解析式时，若定义域不是R，一定要注明函数定义域.
训练2 （1）已知f（x2＋1x2）＝x4＋1x4，则f（x）的解析式为 f（x）＝x2－2，x∈[2，
＋∞）.
解析 因为f（x2＋1x2）＝（x2＋1x2）2－2，所以f（x）＝x2－2，x∈[2，＋∞）.
（2）[2024安徽淮南模拟]已知f（x）是二次函数，且f（x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x＋4，则f（x）＝ x2－2x＋1 .
解析 因为f（x）是二次函数，所以设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则有a（x＋1）2＋
b（x＋1）＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝2x2－4x＋4，即2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x＋4，所以2a=2，2b＝－4，2a+2c=4，所以a=1，b＝－2，c=1，所以f（x）＝x2－2x＋1.
（3）[2024湖北省钟祥市第一中学模拟]已知f（x）满足3f（x）＋2f（1－x）＝4x，则
f（x）的解析式为 f（x）＝4x－85 .
解析 3f（x）＋2f（1－x）＝4x ①，用1－x代替①中的x可得3f（1－x）＋2f（x）＝
4（1－x） ②，由3×①－2×②可得f（x）＝4x－85.
命题点3 分段函数
角度1 分段函数的求值（求参）问题
例3 （1）[山东高考]设f（x）＝x，0A.2B.4C.6D.8
解析 作出f（x）的图象，如图所示，因为a＜a＋1，所以要使f（a）＝f（a＋1），则有a＝2（a＋1－1），0＜a＜1，所以解得a＝14，所以f（1a）＝f（4）＝6.
（2）[2022浙江高考]已知函数f（x）＝－x2+2，x≤1，x＋1x－1，x>1，则f（f（12））＝ 3728 ；若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b－a的最大值是 3＋3 .
解析 由题意知f（12）＝－（12）2＋2＝74，则f（f（12））＝f（74）＝74＋174－1＝74＋47－1＝3728.
作出函数f（x）的大致图象，如图所示，
结合图象，令－x2＋2＝1，解得x＝±1；令x＋1x－1＝3，解得x＝2±3，又x＞1，所以x＝2＋3.
所以（b－a）max＝2＋3－（－1）＝3＋3.
角度2 分段函数的解不等式问题
例4 [全国卷Ⅰ]设函数f（x）＝2－x，x≤0，1，x>0，则满足f（x＋1）＜f（2x）的x的取值范围是（ D ）
A.（－∞，－1]B.（0，＋∞）
C.（－1，0）D.（－∞，0）
解析 解法一 当x≤0时，函数f（x）＝2－x是减函数，则f（x）≥
f（0）＝1.作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知，要使
f（x＋1）＜f（2x），则需x+1<0，2x<0，2x＜x+1或x+1≥0，2x<0，所以x＜0，故选D.
解法二 当x＝－12时，f（x＋1）＝f（12）＝1，f（2x）＝f（－1）＝2－（－1）＝2，满足
f（x＋1）＜f（2x），排除A，B；当x＝－1时，f（x＋1）＝f（0）＝20＝1，f（2x）＝
f（－2）＝22＝4，满足f（x＋1）＜f（2x），排除C.故选D.
方法技巧
1.解分段函数的求值问题的思路：一般根据自变量所在区间代入相应的函数解析式求解，当出现f（f（a））形式时，一般由内向外逐层求值.
2.解分段函数的解不等式问题的思路：（1）若图象易画，可画出函数图象，数形结合求解；（2）根据分段函数的不同段分类讨论，最后取各段结果的并集.
注意 解得值或范围后，要注意检验其是否符合相应段的自变量的范围.
训练3 （1）[2024河南郑州外国语模拟]已知实数a＜0，函数f（x）＝2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1，若f（1－a）＝f（1＋a），则a的值为（ A ）
A.－34B.－32C.－35D.－1
解析 因为a＜0，所以1－a＞1，1＋a＜1.因为f（1－a）＝f（1＋a），所以－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a，解得a＝－34.故选A.
（2）[2024四川达州外国语模拟]已知函数f（x）＝ex－1，x≤2，2f（x－2),x>2，则f（7）＝ 8 .
解析 由题意得f（7）＝2f（5）＝2×2f（3）＝4×2f（1）＝8e1－1＝8.
（3）[2023江苏南通模拟]已知函数f（x）＝max{1－x，2x}，其中max{a，b}表示a，b中的较大者.则不等式f（x）＞4的解集为 （－∞，－3）∪（2，＋∞） .
解析 作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知f（x）＝1－x，x≤0，2x，x>0.当x≤0时，由1－x＞4，得x＜－3.当x＞0时，由2x＞4，得x＞2，所以f（x）＞4的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
2.了解简单的分段函数，并能简单应用.
求函数的定义域
2022北京T11
本讲是函数部分的基础，命题热点为分段函数的求值、含参和解不等式问题，题型以选择题、填空题为主，难度中等偏易.在2025年高考的备考中，要掌握函数的三要素和以分段函数为载体的有关应用.
求函数的解析式
分段函数
2022浙江T14；2021浙江T12
函数的
定义
一般地，设A，B是① 非空的实数集 ，如果对于集合A中的② 任意 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有③ 唯一确定 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A.
三要素
④ 定义域 ，⑤ 对应关系 ，⑥ 值域 .
定义域
自变量x的取值范围A.
值域
函数值的集合{f（x）｜x∈A}，是集合B的⑦ 子集 .
相等函数
⑧ 定义域 相同，⑨ 对应关系 完全一致.
函数的表示法
⑩ 解析法 ，⑪ 列表法 ，⑫ 图象法 .