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备考2024届高考数学一轮复习讲义第四章三角函数第3讲两角和与差的正弦余弦正切公式与二倍角公式
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第四章三角函数第3讲两角和与差的正弦余弦正切公式与二倍角公式，共7页。
S（α±β）：sin（α±β）＝① sinαcsβ±csαsinβ .
C（α±β）：cs（α±β）＝② csαcsβ∓sinαsinβ .
T（α±β）：tan（α±β）＝③ tanα±tanβ1∓tanαtanβ （α，β，α±β≠kπ＋π2，k∈Z）.
注意 在公式T（α±β）中，α，β，α±β都不等于kπ＋π2（k∈Z），即保证tan α，
tan β，tan（α±β）都有意义.
2.二倍角公式
S2α：sin 2α＝④ 2sinαcsα .
C2α：cs 2α＝⑤ cs2α－sin2α ＝⑥ 2cs2α－1 ＝⑦ 1－2sin2α .
T2α：tan 2α＝⑧ 2tanα1-tan2α （α≠kπ＋π2且α≠kπ2＋π4，k∈Z）.
（1）对于两角和的正弦、余弦、正切公式，分别令β＝α，可得二倍角的正弦、余弦、正切公式.
（2）二倍角是相对的，如α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.
3.辅助角公式
asinα＋bcsα＝a2＋b2sin（α＋φ）（其中a≠0，sin φ＝ba2＋b2，cs φ＝aa2＋b2，tan φ＝⑨ ba ）.
规律总结
1.两角和与差的正切公式的变形
tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan αtan β）；tan α·tan β＝1－tanα＋tanβtan（α＋β）＝tanα－tanβtan（α－β）－1.
2.降幂公式：sin2α＝1－cs2α2；cs2α＝1+cs2α2；sin αcs α＝12sin 2α.
3.升幂公式：cs 2α＝2cs2α－1；cs 2α＝1－2sin2α.
4.其他常用变式
sin 2α＝2tanα1+tan2α；cs 2α＝1－tan2α1+tan2α；tanα2＝sinα1+csα＝1－csαsinα；1＋sin 2α＝（sin α＋cs α）2；1－sin 2α＝（sin α－cs α）2.
规律总结
1.积化和差
cs α·cs β＝12[cs（α＋β）＋cs（α－β）]；sin α·sin β＝－12[cs（α＋β）－cs（α－β）]；
sin α·cs β＝12[sin（α＋β）＋sin（α－β）]；cs α·sin β＝12[sin（α＋β）－sin（α－β）].
2.和差化积
sin α＋sin β＝2sinα＋β2csα－β2；sin α－sin β＝2csα＋β2sinα－β2；
cs α＋cs β＝2csα＋β2csα－β2；cs α－cs β＝－2sinα＋β2sinα－β2.
注意 和差化积和积化和差公式不要求记忆，可借助推导过程找规律，先得到积化和差的公式，再通过换元得到和差化积的公式.
1.[2023北京海淀区月考]若tan（α－5π12）＝12，则tan（α－π6）的值为（ A ）
A.3B.13C.－3D.－13
解析 因为tan（α－5π12）＝tan[（α－π6）－π4]＝tan（α－π6）－11+tan（α－π6）＝12，所以tan（α－π6）＝3.
2.已知sin α＝1517，α∈（π2，π），则cs（π4－α）的值为 7234 .
解析 ∵sin α＝1517，α∈（π2，π），∴cs α＝－1－sin2α＝－1－（1517）2＝－817，
∴cs（π4－α）＝cs π4cs α＋sin π4sin α＝22×（－817）＋22×1517＝7234.
3.[全国卷Ⅱ]若sin x＝－23，则cs 2x＝ 19 .
解析 cs 2x＝1－2sin2x＝1－2×（－23）2＝19.
4.[易错题]1+tan15°1－tan15°＝ 3 .
解析 1+tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan（45°＋15°）＝tan 60°＝3 .
5.若sin x－3cs x＝2sin（x－φ），φ＞0，则φ的最小值为 π3 .
解析 因为sin x－3cs x＝2（12sin x－32cs x）＝2（sin xcsφ－cs xsinφ），所以cs φ＝12，sin φ＝32.因为φ＞0，所以φ的最小值为π3.
6.[积化和差]函数f（x）＝sin（x＋π3）cs x的最小值为 －12＋34 .
解析 因为f（x）＝12[sin（x＋π3＋x）＋sin（x＋π3－x）]＝12sin（2x＋π3）＋34，所以函数
f（x）的最小值为－12＋34.
7.[和差化积]在△ABC中， sin A＝cs B＋cs C，则△ABC的形状是 直角三角形 .
解析 cs B＋cs C＝2csB＋C2·csB－C2＝2sinA2·csB－C2.
因为sin A＝cs B＋cs C，所以2sinA2csA2＝2sinA2·csB－C2，
因为sinA2≠0，所以csA2＝csB－C2，易得A2与｜B－C｜2均小于π2，所以A2＝｜B－C｜2，即A＝｜B－C｜，
所以A＋C＝B或A＋B＝C，即π－B＝B或π－C＝C，即B＝π2或C＝π2，所以△ABC是直角三角形.
研透高考 明确方向
命题点1 和、差、倍角公式的直接应用
例1 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知sin（α－β）＝13，cs αsin β＝16，则cs（2α＋2β）＝（ B ）
A.79B.19C.－19D.－79
解析 依题意，得sinαcsβ－csαsinβ＝13，csαsinβ＝16，所以sin αcs β＝12，所以sin（α＋β）＝
sin αcs β＋cs αsin β＝12＋16＝23，所以cs（2α＋2β）＝1－2sin2（α＋β）＝1－2×（23）2＝19，故选B.
（2）[全国卷Ⅲ]已知2tan θ－tan（θ＋π4）＝7，则tan θ＝（ D ）
A.－2B.－1C.1D.2
解析 由已知得2tan θ－tanθ+11－tanθ＝7，得tan θ＝2.
方法技巧
应用和、差、倍角公式化简求值的策略
（1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律，例如两角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”；
（2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；
（3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
训练1 （1）[全国卷Ⅰ]已知α∈（0，π），且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α＝（ A ）
A.53B.23C.13D.59
解析 ∵3cs 2α－8cs α＝5，∴3（2cs2α－1）－8cs α＝5，∴6cs2α－8cs α－8＝0，∴3cs2α－4cs α－4＝0，解得cs α＝2（舍去）或cs α＝－23.∵α∈（0，π），∴sin α＝1－cs2α＝53.故选A.
（2）[2024广西玉林市联考]已知cs（α＋β）＝13，cs αcs β＝12，则cs（2α－2β）＝（ B ）
A.－79B.－19C.19D.79
解析 由cs（α＋β）＝cs αcs β－sin αsin β，即13＝12－sin αsin β，可得sin α·sin β＝16，则cs（α－β）＝cs αcs β＋sin αsinβ＝12＋16＝23，所以cs（2α－2β）＝2cs2（α－β）－1＝2×（23）2－1＝－19.故选B.
命题点2 和、差、倍角公式的逆用与变形用
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]已知α为锐角，cs α＝1+54，则sin α2＝（ D ）
A.3－58B.－1+58C.3－54D.－1+54
解析 cs α＝1+54＝1－2sin2α2，得sin2α2＝3－58＝6－2516＝（5－14）2，又α为锐角，所以sinα2＞0，所以sinα2＝－1+54，故选D.
（2）[2021全国卷乙]cs2π12－cs25π12＝（ D ）
A.12B.33C.22D.32
解析 解法一 原式＝1+cs π62－1+cs 5π62＝32－（－32）2＝32.
解法二 因为cs5π12＝sin（π2－5π12）＝sinπ12，所以cs2π12－cs25π12＝cs2π12－sin2π12＝
cs（2×π12）＝csπ6＝32.故选D.
（3）[2022新高考卷Ⅱ]若sin（α＋β）＋cs（α＋β）＝22cs（α＋π4）sin β，则（ C ）
A.tan（α－β）＝1B.tan（α＋β）＝1
C.tan（α－β）＝－1D.tan（α＋β）＝－1
解析 sin （α＋β）＋cs （α＋β）＝2sin （α＋β＋π4）＝22sin βcs （α＋π4），所以
sin（α＋π4）cs β＋sin βcs（α＋π4）＝2sin βcs （α＋π4），整理得sin（α＋π4）cs β－
sin βcs（α＋π4）＝0，即sin（α＋π4－β）＝0，所以α－β＋π4＝kπ，k∈Z，所以tan（α－β）＝tan（kπ－π4）＝－1.
方法技巧
1.运用两角和与差的三角函数公式时，要熟悉公式的正用、逆用及变形用，如tan α＋
tan β＝tan（α＋β）·（1－tan αtan β）和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
2.对asinx＋bcsx化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.
训练2 （1）在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝233，则tan Atan B的值为（ B ）
A.14B.13C.12D.53
解析 解法一 由题意得tan（A＋B）＝－tan C＝－tan 120°＝3，所以tan（A＋B）＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝3，即2331－tanAtanB＝3，解得tan Atan B＝13，故选B.
解法二 由已知，可取A＝B＝30°，则tan Atan B＝33×33＝13，故选B.
（2）[2022北京高考]若函数f（x）＝Asin x－3cs x的一个零点为π3，则A＝ 1 ；
f（π12）＝ －2 .
解析 依题意得f（π3）＝A×32－3×12＝0，解得A＝1，所以f（x）＝sin x－3cs x＝
2sin（x－π3），所以f（π12）＝2sin（π12－π3）＝－2.
命题点3 角的变换问题
例3 （1）[2024山东省部分学校联考]已知sin（x＋π12）＝－14，则cs（5π6－2x）＝（ C ）
A.78B.18C.－78D.－18
解析 因为sin（x＋π12）＝－14，所以cs（5π6－2x）＝cs（π－π6－2x）＝－cs（π6＋2x）＝－[1－2sin2（x＋π12）]＝－[1－2×（－14）2]＝－78.故选C.
（2）若tan（α＋2β）＝2，tan β＝－3，则tan（α＋β）＝ －1 ，tan α＝ 12 .
解析 因为tan（α＋2β）＝2，tan β＝－3，所以tan（α＋β）＝tan（α＋2β－β）＝tan（α+2β）－tanβ1+tan（α+2β）tanβ＝2－（－3）1+2×（－3）＝－1，tan α＝tan（α＋β－β）＝－1－（－3）1+(－1）×（－3）＝12.
方法技巧
角的变换问题的解题思路
1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和差倍半的形式.
2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和差倍半的关系，注意换元思想的应用.
3.常见的配角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－（π4－α）等.
训练3 （1）[2024江苏省南通市学情检测]已知sin（α＋π6）＝63，则sin（π6－2α）＝（ C ）
A.－223B.223C.－13D.13
解析 设α＋π6＝t，则α＝t－π6，sin t＝63，∴sin（π6－2α）＝sin[π6－2（t－π6）]＝sin（π2－2t）＝cs 2t＝1－2sin2t＝1－2×（63）2＝－13，故选C.
（2）[2024辽宁省辽东南协作体联考]已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cs（π4－α）＝35，sin（3π4＋β）＝513，则sin（α＋β）的值为 5665 .
解析 ∵π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，∴－π2＜π4－α＜0，3π4＜3π4＋β＜π，∴sin（π4－α）＝
－1－cs2（π4－α）＝－45，cs（3π4＋β）＝－1－sin2（3π4＋β）＝－1213，∴sin（α＋β）＝－cs[π2＋（α＋β）]＝－cs[（3π4＋β）－（π4－α）]＝－cs（3π4＋β）cs（π4－α）－sin（3π4＋β）sin（π4－α）＝1213×35－513×（－45）＝5665.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
和、差、倍角公式的直接应用
2023新高考卷ⅠT8；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9；2020全国卷ⅢT9；2019全国卷ⅡT10
本讲每年必考，主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的正用、逆用、变形用，主要体现在三角函数式的化简和求值中.题型以选择题、填空题为主，有时在解答题中也有应用，难度中等偏易.预计 2025年高考命题趋势变化不大，在复习备考时要掌握公式及其变形，并能灵活应用，应用时注意角和函数名的变换.
和、差、倍角公式的逆用与变形用
2023新高考卷ⅡT7；2022新高考卷ⅡT6；2022北京T13；2021全国卷乙T6；2020全国卷ⅢT5
角的变换问题
2022浙江T13；2019江苏T13
S（α±β）：sin（α±β）＝① sinαcsβ±csαsinβ .
C（α±β）：cs（α±β）＝② csαcsβ∓sinαsinβ .
T（α±β）：tan（α±β）＝③ tanα±tanβ1∓tanαtanβ （α，β，α±β≠kπ＋π2，k∈Z）.
注意 在公式T（α±β）中，α，β，α±β都不等于kπ＋π2（k∈Z），即保证tan α，
tan β，tan（α±β）都有意义.
2.二倍角公式
S2α：sin 2α＝④ 2sinαcsα .
C2α：cs 2α＝⑤ cs2α－sin2α ＝⑥ 2cs2α－1 ＝⑦ 1－2sin2α .
T2α：tan 2α＝⑧ 2tanα1-tan2α （α≠kπ＋π2且α≠kπ2＋π4，k∈Z）.
（1）对于两角和的正弦、余弦、正切公式，分别令β＝α，可得二倍角的正弦、余弦、正切公式.
（2）二倍角是相对的，如α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.
3.辅助角公式
asinα＋bcsα＝a2＋b2sin（α＋φ）（其中a≠0，sin φ＝ba2＋b2，cs φ＝aa2＋b2，tan φ＝⑨ ba ）.
规律总结
1.两角和与差的正切公式的变形
tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan αtan β）；tan α·tan β＝1－tanα＋tanβtan（α＋β）＝tanα－tanβtan（α－β）－1.
2.降幂公式：sin2α＝1－cs2α2；cs2α＝1+cs2α2；sin αcs α＝12sin 2α.
3.升幂公式：cs 2α＝2cs2α－1；cs 2α＝1－2sin2α.
4.其他常用变式
sin 2α＝2tanα1+tan2α；cs 2α＝1－tan2α1+tan2α；tanα2＝sinα1+csα＝1－csαsinα；1＋sin 2α＝（sin α＋cs α）2；1－sin 2α＝（sin α－cs α）2.
规律总结
1.积化和差
cs α·cs β＝12[cs（α＋β）＋cs（α－β）]；sin α·sin β＝－12[cs（α＋β）－cs（α－β）]；
sin α·cs β＝12[sin（α＋β）＋sin（α－β）]；cs α·sin β＝12[sin（α＋β）－sin（α－β）].
2.和差化积
sin α＋sin β＝2sinα＋β2csα－β2；sin α－sin β＝2csα＋β2sinα－β2；
cs α＋cs β＝2csα＋β2csα－β2；cs α－cs β＝－2sinα＋β2sinα－β2.
注意 和差化积和积化和差公式不要求记忆，可借助推导过程找规律，先得到积化和差的公式，再通过换元得到和差化积的公式.
1.[2023北京海淀区月考]若tan（α－5π12）＝12，则tan（α－π6）的值为（ A ）
A.3B.13C.－3D.－13
解析 因为tan（α－5π12）＝tan[（α－π6）－π4]＝tan（α－π6）－11+tan（α－π6）＝12，所以tan（α－π6）＝3.
2.已知sin α＝1517，α∈（π2，π），则cs（π4－α）的值为 7234 .
解析 ∵sin α＝1517，α∈（π2，π），∴cs α＝－1－sin2α＝－1－（1517）2＝－817，
∴cs（π4－α）＝cs π4cs α＋sin π4sin α＝22×（－817）＋22×1517＝7234.
3.[全国卷Ⅱ]若sin x＝－23，则cs 2x＝ 19 .
解析 cs 2x＝1－2sin2x＝1－2×（－23）2＝19.
4.[易错题]1+tan15°1－tan15°＝ 3 .
解析 1+tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan（45°＋15°）＝tan 60°＝3 .
5.若sin x－3cs x＝2sin（x－φ），φ＞0，则φ的最小值为 π3 .
解析 因为sin x－3cs x＝2（12sin x－32cs x）＝2（sin xcsφ－cs xsinφ），所以cs φ＝12，sin φ＝32.因为φ＞0，所以φ的最小值为π3.
6.[积化和差]函数f（x）＝sin（x＋π3）cs x的最小值为 －12＋34 .
解析 因为f（x）＝12[sin（x＋π3＋x）＋sin（x＋π3－x）]＝12sin（2x＋π3）＋34，所以函数
f（x）的最小值为－12＋34.
7.[和差化积]在△ABC中， sin A＝cs B＋cs C，则△ABC的形状是 直角三角形 .
解析 cs B＋cs C＝2csB＋C2·csB－C2＝2sinA2·csB－C2.
因为sin A＝cs B＋cs C，所以2sinA2csA2＝2sinA2·csB－C2，
因为sinA2≠0，所以csA2＝csB－C2，易得A2与｜B－C｜2均小于π2，所以A2＝｜B－C｜2，即A＝｜B－C｜，
所以A＋C＝B或A＋B＝C，即π－B＝B或π－C＝C，即B＝π2或C＝π2，所以△ABC是直角三角形.
研透高考 明确方向
命题点1 和、差、倍角公式的直接应用
例1 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知sin（α－β）＝13，cs αsin β＝16，则cs（2α＋2β）＝（ B ）
A.79B.19C.－19D.－79
解析 依题意，得sinαcsβ－csαsinβ＝13，csαsinβ＝16，所以sin αcs β＝12，所以sin（α＋β）＝
sin αcs β＋cs αsin β＝12＋16＝23，所以cs（2α＋2β）＝1－2sin2（α＋β）＝1－2×（23）2＝19，故选B.
（2）[全国卷Ⅲ]已知2tan θ－tan（θ＋π4）＝7，则tan θ＝（ D ）
A.－2B.－1C.1D.2
解析 由已知得2tan θ－tanθ+11－tanθ＝7，得tan θ＝2.
方法技巧
应用和、差、倍角公式化简求值的策略
（1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律，例如两角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”；
（2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；
（3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
训练1 （1）[全国卷Ⅰ]已知α∈（0，π），且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α＝（ A ）
A.53B.23C.13D.59
解析 ∵3cs 2α－8cs α＝5，∴3（2cs2α－1）－8cs α＝5，∴6cs2α－8cs α－8＝0，∴3cs2α－4cs α－4＝0，解得cs α＝2（舍去）或cs α＝－23.∵α∈（0，π），∴sin α＝1－cs2α＝53.故选A.
（2）[2024广西玉林市联考]已知cs（α＋β）＝13，cs αcs β＝12，则cs（2α－2β）＝（ B ）
A.－79B.－19C.19D.79
解析 由cs（α＋β）＝cs αcs β－sin αsin β，即13＝12－sin αsin β，可得sin α·sin β＝16，则cs（α－β）＝cs αcs β＋sin αsinβ＝12＋16＝23，所以cs（2α－2β）＝2cs2（α－β）－1＝2×（23）2－1＝－19.故选B.
命题点2 和、差、倍角公式的逆用与变形用
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]已知α为锐角，cs α＝1+54，则sin α2＝（ D ）
A.3－58B.－1+58C.3－54D.－1+54
解析 cs α＝1+54＝1－2sin2α2，得sin2α2＝3－58＝6－2516＝（5－14）2，又α为锐角，所以sinα2＞0，所以sinα2＝－1+54，故选D.
（2）[2021全国卷乙]cs2π12－cs25π12＝（ D ）
A.12B.33C.22D.32
解析 解法一 原式＝1+cs π62－1+cs 5π62＝32－（－32）2＝32.
解法二 因为cs5π12＝sin（π2－5π12）＝sinπ12，所以cs2π12－cs25π12＝cs2π12－sin2π12＝
cs（2×π12）＝csπ6＝32.故选D.
（3）[2022新高考卷Ⅱ]若sin（α＋β）＋cs（α＋β）＝22cs（α＋π4）sin β，则（ C ）
A.tan（α－β）＝1B.tan（α＋β）＝1
C.tan（α－β）＝－1D.tan（α＋β）＝－1
解析 sin （α＋β）＋cs （α＋β）＝2sin （α＋β＋π4）＝22sin βcs （α＋π4），所以
sin（α＋π4）cs β＋sin βcs（α＋π4）＝2sin βcs （α＋π4），整理得sin（α＋π4）cs β－
sin βcs（α＋π4）＝0，即sin（α＋π4－β）＝0，所以α－β＋π4＝kπ，k∈Z，所以tan（α－β）＝tan（kπ－π4）＝－1.
方法技巧
1.运用两角和与差的三角函数公式时，要熟悉公式的正用、逆用及变形用，如tan α＋
tan β＝tan（α＋β）·（1－tan αtan β）和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
2.对asinx＋bcsx化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.
训练2 （1）在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝233，则tan Atan B的值为（ B ）
A.14B.13C.12D.53
解析 解法一 由题意得tan（A＋B）＝－tan C＝－tan 120°＝3，所以tan（A＋B）＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝3，即2331－tanAtanB＝3，解得tan Atan B＝13，故选B.
解法二 由已知，可取A＝B＝30°，则tan Atan B＝33×33＝13，故选B.
（2）[2022北京高考]若函数f（x）＝Asin x－3cs x的一个零点为π3，则A＝ 1 ；
f（π12）＝ －2 .
解析 依题意得f（π3）＝A×32－3×12＝0，解得A＝1，所以f（x）＝sin x－3cs x＝
2sin（x－π3），所以f（π12）＝2sin（π12－π3）＝－2.
命题点3 角的变换问题
例3 （1）[2024山东省部分学校联考]已知sin（x＋π12）＝－14，则cs（5π6－2x）＝（ C ）
A.78B.18C.－78D.－18
解析 因为sin（x＋π12）＝－14，所以cs（5π6－2x）＝cs（π－π6－2x）＝－cs（π6＋2x）＝－[1－2sin2（x＋π12）]＝－[1－2×（－14）2]＝－78.故选C.
（2）若tan（α＋2β）＝2，tan β＝－3，则tan（α＋β）＝ －1 ，tan α＝ 12 .
解析 因为tan（α＋2β）＝2，tan β＝－3，所以tan（α＋β）＝tan（α＋2β－β）＝tan（α+2β）－tanβ1+tan（α+2β）tanβ＝2－（－3）1+2×（－3）＝－1，tan α＝tan（α＋β－β）＝－1－（－3）1+(－1）×（－3）＝12.
方法技巧
角的变换问题的解题思路
1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和差倍半的形式.
2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和差倍半的关系，注意换元思想的应用.
3.常见的配角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－（π4－α）等.
训练3 （1）[2024江苏省南通市学情检测]已知sin（α＋π6）＝63，则sin（π6－2α）＝（ C ）
A.－223B.223C.－13D.13
解析 设α＋π6＝t，则α＝t－π6，sin t＝63，∴sin（π6－2α）＝sin[π6－2（t－π6）]＝sin（π2－2t）＝cs 2t＝1－2sin2t＝1－2×（63）2＝－13，故选C.
（2）[2024辽宁省辽东南协作体联考]已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cs（π4－α）＝35，sin（3π4＋β）＝513，则sin（α＋β）的值为 5665 .
解析 ∵π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，∴－π2＜π4－α＜0，3π4＜3π4＋β＜π，∴sin（π4－α）＝
－1－cs2（π4－α）＝－45，cs（3π4＋β）＝－1－sin2（3π4＋β）＝－1213，∴sin（α＋β）＝－cs[π2＋（α＋β）]＝－cs[（3π4＋β）－（π4－α）]＝－cs（3π4＋β）cs（π4－α）－sin（3π4＋β）sin（π4－α）＝1213×35－513×（－45）＝5665.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
和、差、倍角公式的直接应用
2023新高考卷ⅠT8；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9；2020全国卷ⅢT9；2019全国卷ⅡT10
本讲每年必考，主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的正用、逆用、变形用，主要体现在三角函数式的化简和求值中.题型以选择题、填空题为主，有时在解答题中也有应用，难度中等偏易.预计 2025年高考命题趋势变化不大，在复习备考时要掌握公式及其变形，并能灵活应用，应用时注意角和函数名的变换.
和、差、倍角公式的逆用与变形用
2023新高考卷ⅡT7；2022新高考卷ⅡT6；2022北京T13；2021全国卷乙T6；2020全国卷ⅢT5
角的变换问题
2022浙江T13；2019江苏T13
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