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备考2024届高考数学一轮复习讲义第五章数列第3讲等比数列
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第五章数列第3讲等比数列，共8页。
（1）等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q（q≠0）表示.
注意 （1）等比数列中的任何一项都不为0，且公比q≠0.（2）若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，….
（2）等比中项的概念
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝ab.
注意 只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个.
（3）等比数列的通项公式及其变形
通项公式：① an＝a1·qn－1 ，其中a1是首项，q是公比.
通项公式的变形：an＝am·qn－m.
说明 当q＞0且q≠1时，an＝a1q·qn可以看成函数y＝cqx，其表示一个不为0的常数与指数函数的乘积.
规律总结
等比数列的单调性
当a1>0，q>1或a1<0，01或a1>0，0当q＝1时，{an}是常数列；当q＜0时，{an}是摆动数列.
2.等比数列的前n项和
设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.
（1）Sn＝②na1 ，q=1，③a1（1－qn）1－q ＝a1－anq1－q，q≠1.
（2）当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q＝－a11－qqn＋a11－q，若设a＝a11－q，则Sn＝④ －aqn＋a （a≠0，q≠0，q≠1）.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a的图象上一系列孤立的点，且qn的系数与常数项互为相反数.
当q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x的图象上一系列孤立的点.
注意 在运用等比数列的前n项和公式时，要注意对q＝1与q≠1进行讨论.
3.等比数列的性质
（1）等比数列项的性质
设数列{an}，{bn}是等比数列.
a.若m＋n＝k＋l，则⑤ aman＝akal ，其中m，n，k，l∈N*，反之，不一定成立，如当数列{an}是非零常数列时，此结论不成立.
b.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）仍是等比数列，公比为⑥ qm .
c.数列{λan}，{an2}，{1an}，{an·bn}和{anbn}（λ≠0，n∈N*）也是等比数列.
d.若an＞0，则数列{lg an}是等差数列.
（2）等比数列的前n项和的性质
设Sn是等比数列{an}的前n项和.
a.Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.
b.当q≠－1（或q＝－1且k为奇数）时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是⑦ 等比 数列.
注意 当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列.
1.下列说法正确的是（ B ）
A.满足an＋1＝qan（q≠0，n∈N*）的数列{an}为等比数列
B.a，b，c三个数成等比数列是b2＝ac的充分不必要条件
C.若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列
D.若等比数列{an}为递增数列，则其公比q＞1
2.[多选]已知数列{an}是等比数列，公比为q，前n项和为Sn，则下列说法错误的是（ BC ）
A.{1an}为等比数列B.{lg2an}为等差数列
C.{an＋an＋1}为等比数列D.若Sn＝3n－1＋r，则r＝－13
解析 令bn＝1an，则bn+1bn＝anan+1＝1q（非零常数），所以{1an}是等比数列，选项A正确；若an＜0，则lg2an无意义，所以选项B错误；当q＝－1时，an＋an＋1＝0，此时{an＋an＋1}不是等比数列，所以选项C错误；当q≠1时，Sn＝A－A·qn（A＝a11－q），由Sn＝3n－1＋r＝13×3n＋r可得r＝－13，所以选项D正确.故选BC.
3.[易错题]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝6，则S4＝ 8或－10 .
解析 设公比为q.当q＝1时，S3＝3a1成立，所以S4＝4a1＝8.当q≠1时，S3＝a1（1－q3）1－q＝6，解得q＝－2，所以S4＝6＋2q3＝－10.所以S4＝8或－10.
4.[教材改编]有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，则这四个数依次为 3，6，12，18或754，454，274，94 .
解析 设后三个数分别为a－d，a，a＋d，则第一个数为（a－d）2a，因此这四个数为（a－d）2a，a－d，a，a＋d.由题意得（a－d）2a＋（a＋d）=21，a－d＋a=18，解得a=12，d=6或a＝274，d＝－92.故这四个数为3，6，12，18或754，454，274，94.
研透高考 明确方向
命题点1 等比数列的基本运算
例1 （1）[2023全国卷甲]设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝（ C ）
A.158B.658C.15D.40
解析 解法一 若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.由1－q51－q＝5×1－q31－q－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1（舍）或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1－q41－q＝15.故选C.
解法二 设等比数列{an}的公比为q，由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5（1＋q＋q2）－4，整理得q（1＋q）（q2－4）＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.
（2）[2023天津高考]已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为（ C ）
A.3B.18C.54D.152
解析 解法一 因为an＋1＝2Sn＋2，所以当n≥2时，an＝2Sn－1＋2，两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，所以等比数列{an}的公比q＝an+1an＝3.当n＝1时，a2＝2S1＋2＝2a1＋2，又a2＝3a1，所以3a1＝2a1＋2，解得a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54，故选C.
解法二 设等比数列{an}的公比为q，因为an＋1＝2Sn＋2，所以公比q≠1，且a1qn＝2a1（1－qn）1－q＋2＝－2a11－qqn＋2a11－q＋2，所以a1＝－2a11－q，0=2a11－q+2，又a1≠0，所以q＝3，a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54，故选C.
方法技巧
1.等比数列基本运算中常用的数学思想
2.等比数列基本运算中常用的技巧
（1）（对称设元）一般地，若连续奇数个项成等比数列，则可设
这些项为…，xq，x，xq，…；若连续偶数个符号相同的项成等比数列，则可设这些项为…，xq3，xq，xq，xq3，….
（2）求解等比数列基本量时注意运用整体思想、设而不求等，同时合理运用q＝a2a1＝a3a2＝…＝anan－1＝a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋…＋an－1.
（3）注意立方差公式的应用：a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）.
训练1 （1）[2022全国卷乙]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝（ D ）
A.14B.12C.6D.3
解析 解法一 设等比数列{an}的公比为q，
由题意可得a1＋a2＋a3=168，a2－a5=42，
即a1（1+q＋q2）=168，a1q（1－q3）＝a1q（1－q)(1+q＋q2）=42，解得a1=96，q＝12，
所以a6＝a1q5＝3，故选D.
解法二 设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，由题意可得a1（1－q3）1－q=168，a1q（1－q3）=42，解得a1=96，q＝12，所以a6＝a1q5＝3，故选D.
（2）[全国卷Ⅰ]设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝（ D ）
A.12B.24C.30D.32
解析 设等比数列{an}的公比为q，所以a2＋a3＋a4a1＋a2＋a3＝（a1＋a2＋a3）qa1＋a2＋a3＝q＝2，所以a6＋a7＋a8＝（a1＋a2＋a3）·q5＝25＝32，故选D.
命题点2 等比数列的判定与证明
例2 [全国卷Ⅰ]已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an.设bn＝ann.
（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式.
解析 （1）由条件可得an＋1＝2（n+1）nan.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
由条件可得an+1n+1＝2ann，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
（3）由（2）可得ann＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
方法技巧
判定与证明等比数列的常用方法
训练2 [2023江苏省七市模拟]已知数列{an}满足a1＝1，a2＝5，an＋2＝5an＋1－6an.
（1）证明：{an＋1－2an}是等比数列.
（2）证明：存在两个等比数列{bn}，{cn}，使得an＝bn＋cn成立.
解析 解法一 （1）∵an＋2＝5an＋1－6an，
∴an＋2－2an＋1＝5an＋1－6an－2an＋1＝3an＋1－6an＝3（an＋1－2an），
∵a1＝1，a2＝5，∴a2－2a1＝3≠0，
∴数列{an＋1－2an}是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）∵an＋2＝5an＋1－6an，∴an＋2－3an＋1＝5an＋1－6an－3an＋1＝2an＋1－6an＝2（an＋1－3an）.
∵a1＝1，a2＝5，∴a2－3a1＝2≠0，
∴数列{an＋1－3an}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an＋1－3an＝2n ①，
由第（1）问得an＋1－2an＝3n ②，
由②－①得，an＝3n－2n.
故存在通项为bn＝3n，cn＝－2n的两个等比数列，使得an＝bn＋cn成立.
解法二 （1）令an＋2＋λan＋1＝μ（an＋1＋λan），
由an＋2＝5an＋1－6an得μ－λ=5，μλ＝－6，解得μ=3，λ＝－2或μ=2，λ＝－3.
∴an＋2－2an＋1＝3（an＋1－2an）或an＋2－3an＋1＝2（an＋1－3an）.
∵a1＝1，a2＝5，
∴a2－2a1＝3≠0，
∴数列{an＋1－2an}是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）知an＋1－2an＝3n ①，
由an＋2－3an＋1＝2（an＋1－3an）可得an＋1－3an＝2n ②，
由①－②得，an＝3n－2n，
故存在通项为bn＝3n，cn＝－2n的两个等比数列，使得an＝bn＋cn成立.
命题点3 等比数列的性质的应用
例3 （1）[2023新高考卷Ⅱ]记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝（ C ）
A.120B.85C.－85D.－120
解析 解法一 设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由题意易知q≠1，则a1（1－q4）1－q＝－5，a1（1－q6）1－q=21×a1（1－q2）1－q，化简整理得q2=4，a11－q＝13.所以S8＝a1（1－q8）1－q＝13×（1－44）＝－85.故选C.
解法二 易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6为等比数列，所以（S4－S2）2＝S2·（S6－S4），解得S2＝－1或S2＝54.当S2＝－1时，由（S6－S4）2＝（S4－S2）·（S8－S6），解得S8＝
－85；当S2＝54时，结合S4＝－5得a1（1－q4）1－q＝－5，a1（1－q2）1－q＝54，化简可得q2＝－5，不成立，舍去.所以S8＝－85，故选C.
（2）[2023全国卷乙]已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝ －2 .
解析 解法一 设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5.又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1 ①.又a9a10＝a1q8·a1q9＝a12q17＝－8 ②，所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2.
解法二 设数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.
训练3 （1）[2021全国卷甲]记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝（ A ）
A.7B.8C.9D.10
解析 易知公比q≠－1，则S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，
由等比中项得S2（S6－S4）＝（S4－S2）2，即4（S6－6）＝22，所以S6＝7.故选A.
（2）若公比大于1的等比数列{an}满足a1a5＝144，a2＋a4＝30，则公比q＝ 2 .
解析 解法一 由题意知a1a5＝a2a4＝144 ①，a2＋a4＝
30 ②，由①②得a2=6，a4=24或a2=24，a4=6.因为公比q＞1，所以an＋1＞an，所以a2=6，a4=24，则q2＝a4a2＝4，故q＝2.
解法二 由题意知a1＞0，q＞1，
由a1a5=144，a2＋a4=30，得a1·a1q4=144，a1q＋a1q3＝30，解得a1=3，q=2.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
4.体会等比数列与指数函数的关系.
等比数列的基本运算
2023新高考卷ⅡT8；2023全国卷乙T15；2023全国卷甲T5；2023天津T6；2022全国卷乙T8；2020全国卷ⅠT17；2020新高考卷ⅠT18；2020新高考卷ⅡT18；2019全国卷ⅠT14；2019全国卷ⅢT5
本讲的命题热点为等比数列的基本运算、等比数列的判定与证明、等比数列的性质的应用，整体比等差数列的运算量大.在客观题与主观题中都有可能出现，难度中等.预计2025年高考命题稳定，重点掌握等比数列的通项公式和前n项和公式及其变形应用，同时也要关注等比数列与其他知识的综合运用.
等比数列的判定与证明
2020全国卷ⅡT6
等比数列的性质的应用
2023新高考卷ⅡT8；2023全国卷乙T15，2021全国卷甲T7
方程
思想
等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求解.
分类讨
论思想
等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论（分q＝1和q≠1两种情况讨论）.
定义法
若anan－1＝q（q为非零常数且n≥2），则{an}是等比数列
等比
中项法
若数列{an}中，an≠0且an+12＝an·an＋2，则{an}是等比数列
通项
公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1（c，q均为非零常数），则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k（k为非零常数，q≠0且q≠1），则{an}是等比数列
（1）等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q（q≠0）表示.
注意 （1）等比数列中的任何一项都不为0，且公比q≠0.（2）若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，….
（2）等比中项的概念
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝ab.
注意 只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个.
（3）等比数列的通项公式及其变形
通项公式：① an＝a1·qn－1 ，其中a1是首项，q是公比.
通项公式的变形：an＝am·qn－m.
说明 当q＞0且q≠1时，an＝a1q·qn可以看成函数y＝cqx，其表示一个不为0的常数与指数函数的乘积.
规律总结
等比数列的单调性
当a1>0，q>1或a1<0，0
2.等比数列的前n项和
设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.
（1）Sn＝②na1 ，q=1，③a1（1－qn）1－q ＝a1－anq1－q，q≠1.
（2）当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q＝－a11－qqn＋a11－q，若设a＝a11－q，则Sn＝④ －aqn＋a （a≠0，q≠0，q≠1）.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a的图象上一系列孤立的点，且qn的系数与常数项互为相反数.
当q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x的图象上一系列孤立的点.
注意 在运用等比数列的前n项和公式时，要注意对q＝1与q≠1进行讨论.
3.等比数列的性质
（1）等比数列项的性质
设数列{an}，{bn}是等比数列.
a.若m＋n＝k＋l，则⑤ aman＝akal ，其中m，n，k，l∈N*，反之，不一定成立，如当数列{an}是非零常数列时，此结论不成立.
b.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）仍是等比数列，公比为⑥ qm .
c.数列{λan}，{an2}，{1an}，{an·bn}和{anbn}（λ≠0，n∈N*）也是等比数列.
d.若an＞0，则数列{lg an}是等差数列.
（2）等比数列的前n项和的性质
设Sn是等比数列{an}的前n项和.
a.Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.
b.当q≠－1（或q＝－1且k为奇数）时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是⑦ 等比 数列.
注意 当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列.
1.下列说法正确的是（ B ）
A.满足an＋1＝qan（q≠0，n∈N*）的数列{an}为等比数列
B.a，b，c三个数成等比数列是b2＝ac的充分不必要条件
C.若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列
D.若等比数列{an}为递增数列，则其公比q＞1
2.[多选]已知数列{an}是等比数列，公比为q，前n项和为Sn，则下列说法错误的是（ BC ）
A.{1an}为等比数列B.{lg2an}为等差数列
C.{an＋an＋1}为等比数列D.若Sn＝3n－1＋r，则r＝－13
解析 令bn＝1an，则bn+1bn＝anan+1＝1q（非零常数），所以{1an}是等比数列，选项A正确；若an＜0，则lg2an无意义，所以选项B错误；当q＝－1时，an＋an＋1＝0，此时{an＋an＋1}不是等比数列，所以选项C错误；当q≠1时，Sn＝A－A·qn（A＝a11－q），由Sn＝3n－1＋r＝13×3n＋r可得r＝－13，所以选项D正确.故选BC.
3.[易错题]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝6，则S4＝ 8或－10 .
解析 设公比为q.当q＝1时，S3＝3a1成立，所以S4＝4a1＝8.当q≠1时，S3＝a1（1－q3）1－q＝6，解得q＝－2，所以S4＝6＋2q3＝－10.所以S4＝8或－10.
4.[教材改编]有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，则这四个数依次为 3，6，12，18或754，454，274，94 .
解析 设后三个数分别为a－d，a，a＋d，则第一个数为（a－d）2a，因此这四个数为（a－d）2a，a－d，a，a＋d.由题意得（a－d）2a＋（a＋d）=21，a－d＋a=18，解得a=12，d=6或a＝274，d＝－92.故这四个数为3，6，12，18或754，454，274，94.
研透高考 明确方向
命题点1 等比数列的基本运算
例1 （1）[2023全国卷甲]设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝（ C ）
A.158B.658C.15D.40
解析 解法一 若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.由1－q51－q＝5×1－q31－q－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1（舍）或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1－q41－q＝15.故选C.
解法二 设等比数列{an}的公比为q，由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5（1＋q＋q2）－4，整理得q（1＋q）（q2－4）＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.
（2）[2023天津高考]已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为（ C ）
A.3B.18C.54D.152
解析 解法一 因为an＋1＝2Sn＋2，所以当n≥2时，an＝2Sn－1＋2，两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，所以等比数列{an}的公比q＝an+1an＝3.当n＝1时，a2＝2S1＋2＝2a1＋2，又a2＝3a1，所以3a1＝2a1＋2，解得a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54，故选C.
解法二 设等比数列{an}的公比为q，因为an＋1＝2Sn＋2，所以公比q≠1，且a1qn＝2a1（1－qn）1－q＋2＝－2a11－qqn＋2a11－q＋2，所以a1＝－2a11－q，0=2a11－q+2，又a1≠0，所以q＝3，a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54，故选C.
方法技巧
1.等比数列基本运算中常用的数学思想
2.等比数列基本运算中常用的技巧
（1）（对称设元）一般地，若连续奇数个项成等比数列，则可设
这些项为…，xq，x，xq，…；若连续偶数个符号相同的项成等比数列，则可设这些项为…，xq3，xq，xq，xq3，….
（2）求解等比数列基本量时注意运用整体思想、设而不求等，同时合理运用q＝a2a1＝a3a2＝…＝anan－1＝a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋…＋an－1.
（3）注意立方差公式的应用：a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）.
训练1 （1）[2022全国卷乙]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝（ D ）
A.14B.12C.6D.3
解析 解法一 设等比数列{an}的公比为q，
由题意可得a1＋a2＋a3=168，a2－a5=42，
即a1（1+q＋q2）=168，a1q（1－q3）＝a1q（1－q)(1+q＋q2）=42，解得a1=96，q＝12，
所以a6＝a1q5＝3，故选D.
解法二 设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，由题意可得a1（1－q3）1－q=168，a1q（1－q3）=42，解得a1=96，q＝12，所以a6＝a1q5＝3，故选D.
（2）[全国卷Ⅰ]设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝（ D ）
A.12B.24C.30D.32
解析 设等比数列{an}的公比为q，所以a2＋a3＋a4a1＋a2＋a3＝（a1＋a2＋a3）qa1＋a2＋a3＝q＝2，所以a6＋a7＋a8＝（a1＋a2＋a3）·q5＝25＝32，故选D.
命题点2 等比数列的判定与证明
例2 [全国卷Ⅰ]已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an.设bn＝ann.
（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式.
解析 （1）由条件可得an＋1＝2（n+1）nan.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
由条件可得an+1n+1＝2ann，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
（3）由（2）可得ann＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
方法技巧
判定与证明等比数列的常用方法
训练2 [2023江苏省七市模拟]已知数列{an}满足a1＝1，a2＝5，an＋2＝5an＋1－6an.
（1）证明：{an＋1－2an}是等比数列.
（2）证明：存在两个等比数列{bn}，{cn}，使得an＝bn＋cn成立.
解析 解法一 （1）∵an＋2＝5an＋1－6an，
∴an＋2－2an＋1＝5an＋1－6an－2an＋1＝3an＋1－6an＝3（an＋1－2an），
∵a1＝1，a2＝5，∴a2－2a1＝3≠0，
∴数列{an＋1－2an}是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）∵an＋2＝5an＋1－6an，∴an＋2－3an＋1＝5an＋1－6an－3an＋1＝2an＋1－6an＝2（an＋1－3an）.
∵a1＝1，a2＝5，∴a2－3a1＝2≠0，
∴数列{an＋1－3an}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an＋1－3an＝2n ①，
由第（1）问得an＋1－2an＝3n ②，
由②－①得，an＝3n－2n.
故存在通项为bn＝3n，cn＝－2n的两个等比数列，使得an＝bn＋cn成立.
解法二 （1）令an＋2＋λan＋1＝μ（an＋1＋λan），
由an＋2＝5an＋1－6an得μ－λ=5，μλ＝－6，解得μ=3，λ＝－2或μ=2，λ＝－3.
∴an＋2－2an＋1＝3（an＋1－2an）或an＋2－3an＋1＝2（an＋1－3an）.
∵a1＝1，a2＝5，
∴a2－2a1＝3≠0，
∴数列{an＋1－2an}是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）知an＋1－2an＝3n ①，
由an＋2－3an＋1＝2（an＋1－3an）可得an＋1－3an＝2n ②，
由①－②得，an＝3n－2n，
故存在通项为bn＝3n，cn＝－2n的两个等比数列，使得an＝bn＋cn成立.
命题点3 等比数列的性质的应用
例3 （1）[2023新高考卷Ⅱ]记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝（ C ）
A.120B.85C.－85D.－120
解析 解法一 设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由题意易知q≠1，则a1（1－q4）1－q＝－5，a1（1－q6）1－q=21×a1（1－q2）1－q，化简整理得q2=4，a11－q＝13.所以S8＝a1（1－q8）1－q＝13×（1－44）＝－85.故选C.
解法二 易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6为等比数列，所以（S4－S2）2＝S2·（S6－S4），解得S2＝－1或S2＝54.当S2＝－1时，由（S6－S4）2＝（S4－S2）·（S8－S6），解得S8＝
－85；当S2＝54时，结合S4＝－5得a1（1－q4）1－q＝－5，a1（1－q2）1－q＝54，化简可得q2＝－5，不成立，舍去.所以S8＝－85，故选C.
（2）[2023全国卷乙]已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝ －2 .
解析 解法一 设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5.又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1 ①.又a9a10＝a1q8·a1q9＝a12q17＝－8 ②，所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2.
解法二 设数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.
训练3 （1）[2021全国卷甲]记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝（ A ）
A.7B.8C.9D.10
解析 易知公比q≠－1，则S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，
由等比中项得S2（S6－S4）＝（S4－S2）2，即4（S6－6）＝22，所以S6＝7.故选A.
（2）若公比大于1的等比数列{an}满足a1a5＝144，a2＋a4＝30，则公比q＝ 2 .
解析 解法一 由题意知a1a5＝a2a4＝144 ①，a2＋a4＝
30 ②，由①②得a2=6，a4=24或a2=24，a4=6.因为公比q＞1，所以an＋1＞an，所以a2=6，a4=24，则q2＝a4a2＝4，故q＝2.
解法二 由题意知a1＞0，q＞1，
由a1a5=144，a2＋a4=30，得a1·a1q4=144，a1q＋a1q3＝30，解得a1=3，q=2.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
4.体会等比数列与指数函数的关系.
等比数列的基本运算
2023新高考卷ⅡT8；2023全国卷乙T15；2023全国卷甲T5；2023天津T6；2022全国卷乙T8；2020全国卷ⅠT17；2020新高考卷ⅠT18；2020新高考卷ⅡT18；2019全国卷ⅠT14；2019全国卷ⅢT5
本讲的命题热点为等比数列的基本运算、等比数列的判定与证明、等比数列的性质的应用，整体比等差数列的运算量大.在客观题与主观题中都有可能出现，难度中等.预计2025年高考命题稳定，重点掌握等比数列的通项公式和前n项和公式及其变形应用，同时也要关注等比数列与其他知识的综合运用.
等比数列的判定与证明
2020全国卷ⅡT6
等比数列的性质的应用
2023新高考卷ⅡT8；2023全国卷乙T15，2021全国卷甲T7
方程
思想
等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求解.
分类讨
论思想
等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论（分q＝1和q≠1两种情况讨论）.
定义法
若anan－1＝q（q为非零常数且n≥2），则{an}是等比数列
等比
中项法
若数列{an}中，an≠0且an+12＝an·an＋2，则{an}是等比数列
通项
公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1（c，q均为非零常数），则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k（k为非零常数，q≠0且q≠1），则{an}是等比数列
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