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备考2024届高考数学一轮复习讲义第六章平面向量复数第2讲平面向量基本定理及坐标表示
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第六章平面向量复数第2讲平面向量基本定理及坐标表示，共7页。
（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个① 不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，② 有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
（2）基底：若e1，e2③ 不共线 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
注意 （1）基底向量e1，e2必须是同一平面内的两个不共线的向量，零向量不能作为基底向量；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一.
2.平面向量的坐标表示
（1）把一个向量分解为两个④ 互相垂直 的向量，叫做把向量作正交分解.
（2）平面向量运算的坐标表示
说明 （1）相等向量的坐标相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关.
（3）平面向量共线的坐标表示
如果a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），那么a∥b的充要条件为⑧ x1y2－x2y1＝0 .
注意 a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2的形式，因为x2，y2有可能等于0.
1.下列说法正确的是（ B ）
A.平面内的任意两个向量都可以作为一个基底
B.设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2
C.若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y2
D.平面向量经过平移后其坐标改变
解析 对于A，共线向量不可以作为基底，故A错误；对于B，同一向量在给定基底下的分解是唯一的，B正确；对于C，若b＝（0，0），则x1x2＝y1y2无意义，故C错误；对于D，平面向量不论经过怎样的平移，其坐标都不变，故D错误.
2.[教材改编]已知M（－2，7），N（10，－2），点P是线段MN上的点，且PN＝
－2PM，则点P的坐标为（ A ）
A.（2，4）B.（－14，16）
C.（6，1）D.（2，－11）
解析 设P（x，y），则PN＝（10－x，－2－y），PM＝（－2－x，7－y），又PN＝
－2PM，所以10－x＝－2（－2－x),－2－y＝－2（7－y),解得x=2，y=4，所以点P的坐标为（2，4）.故选A.
3.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内所有向量的一个基底，则实数λ的取值范围是 （－∞，4）∪（4，＋∞） .
研透高考 明确方向
命题点1 平面向量基本定理的应用
例1 （1）[全国卷Ⅰ]在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝（ A ）
A.34AB－14ACB.14AB－34AC
C.34AB＋14ACD.14AB＋34AC
解析 解法一 根据向量的运算法则可得，在△ABE中，EB＝EA＋AB.因为E为AD的中点，所以EA＝12DA，在△ABD中，DA＝DB＋BA＝DB－AB.因为D为BC的中点，所以DB＝12CB.在△ABC中，CB＝AB－AC.逐步代入，可得EB＝EA＋AB＝12DA＋AB＝12（DB－AB）＋AB＝12（12CB－AB）＋AB＝14CB＋12AB＝14（AB－AC）＋12AB＝34AB－14AC.故选A.
解法二 由D为BC的中点，得AD＝12（AB＋AC），由E为AD的中点，得AE＝12AD＝14（AB＋AC）.在△ABE中，EB＝AB－AE＝AB－14（AB＋AC）＝34AB－14AC.故选A.
（2）如图，在直角梯形ABCD中，DC＝14AB，BE＝2EC，且AE＝rAB＋sAD，则2r＋3s＝（ C ）
A.1B.2
C.3D.4
解析 根据题图，由题意可得AE＝AB＋BE＝AB＋23BC＝AB＋23（BA＋AD＋DC）＝13AB＋23（AD＋DC）＝13AB＋23（AD＋14AB）＝12AB＋23AD.因为AE＝rAB＋sAD，所以r＝12，s＝23，所以2r＋3s＝1＋2＝3.故选C.
方法技巧
1.应用平面向量基本定理表示向量，实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将相关向量表示出来，再通过向量的运算来解决.
注意 同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在同一基底下的分解是唯一的.
训练1 （1）[2024昆明市模拟]在平行四边形ABCD中，点T为CD的中点，则（ A ）
A.AT＝12AB＋ADB.AT＝AB＋12AD
C.AT＝13AB＋23ADD.AT＝23AB＋13AD
解析 因为四边形ABCD是平行四边形，所以DC＝AB.因为T为CD的中点，所以DT＝12DC，则AT＝AD＋DT＝AD＋12DC＝12AB＋AD，故选A.
（2）[2024广东省模拟]已知△OAB中，OC＝CA，OD＝2DB，AD与BC相交于点M，OM＝xOA＋yOB，则有序数对（x，y）＝（ D ）
A.（12，13）B.（13，12）
C.（12，14）D.（14，12）
解析 如图，依题意A，M，D三点共线，故AM＝λAD，所以OM＝OA＋AM＝OA＋λAD＝OA＋λ（OD－OA）＝OA＋λ（23OB－OA）＝2λ3OB＋（1－λ）OA，又C，M，B三点共线，故CM＝μCB，则OM＝OC＋CM＝OC＋μCB＝OC＋μ（OB－OC）＝（1－μ）OC＋μOB＝1－μ2OA＋μOB，所以1－μ2=1－λ，μ＝2λ3，解得λ＝34，μ＝12，所以OM＝12OB＋14OA，又OM＝xOA＋yOB，所以x＝14，y＝12，所以有序数对（x，y）＝（14，12）.故选D.
命题点2 平面向量的坐标运算
例2 （1）[全国卷Ⅰ]已知点A（0，1），B（3，2），向量AC＝（－4，－3），则向量BC＝（ A ）
A.（－7，－4）B.（7，4）
C.（－1，4）D.（1，4）
解析 因为AB＝（3，2）－（0，1）＝（3，1），所以BC＝AC－AB＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）.故选A.
（2）已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，以a，b为基底，则（ C ）
A.c＝－2a＋3bB.c＝－3a＋2b
C.c＝3a－2bD.c＝2a－3b
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝（1，1），b＝
（－2，3），c＝（7，－3）.设c＝xa＋yb，则x－2y=7，x+3y＝－3，解得x=3，y＝－2，故c＝3a－2b.故选C.
方法技巧
1.利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程（组）进行求解.
2.向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
训练2 （1）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若CA＝λCE＋μDB（λ，μ∈R），则λ＋μ的值为（ B ）
A.65B.85
C.2D.83
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D（0，0）.不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C（2，0），A（0，2），B（1，2），E（0，1），∴CA＝（－2，2），CE＝（－2，1），DB＝（1，2），∵CA＝λCE＋μDB，
∴（－2，2）＝λ（－2，1）＋μ（1，2），∴－2λ＋μ＝－2，λ+2μ=2，解得λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.
（2）已知平面上的三个点A（－2，1），B（－1，3），C（3，4），若A，B，C，D四点能构成平行四边形，则点D的坐标为 （2，2）或（4，6）或（－6，0） .
解析 由四边形ABCD为平行四边形，得AB＝DC，可解得D（2，2）.
由四边形ABDC为平行四边形，得AB＝CD，可解得D（4，6）.
由四边形ADBC为平行四边形，得AD＝CB，可解得D（－6，0）.
因此，使A，B，C，D四点构成平行四边形的点D的坐标为（2，2）或（4，6）或
（－6，0）.
命题点3 向量共线的坐标表示
例3 （1）[2021全国卷乙]已知向量a＝（2，5），b＝（λ，4），若a∥b，则λ＝ 85 .
解析 因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝85.
（2）已知点O（0，0），A（0，5），B（4，3），OC＝14OA，OD＝12OB，AD与BC交于点M，则点M的坐标为 （127，2） .
解析 由已知可得点C（0，54），点D（2，32）.因为A，M，D三点共线，所以AM与AD共线，设M的坐标为（x，y），则AM＝（x，y－5），又AD＝（2，－72），所以－72x－2（y－5）＝0，即7x＋4y＝20.因为C，M，B三点共线，所以CM与CB共线，又CM＝（x，y－54），CB＝（4，74），所以74x－4（y－54）＝0，即7x－16y＝－20.由7x+4y=20，7x－16y＝－20，得x＝127，y=2，所以点M的坐标为（127，2）.
方法技巧
平面向量共线问题的解题策略
（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
（2）若a∥b（b≠0），则a＝λb.
训练3 （1）[2023贵州省联考]已知P1（3，2），P2（9，11），P（5，y），P1P＝λPP2，则y与λ的值分别为（ D ）
A.y＝8，λ＝2B.y＝132，λ＝12
C.y＝154，λ＝12D.y＝5，λ＝12
解析 因为P1（3，2），P2（9，11），P（5，y），所以P1P＝（2，y－2），PP2＝（4，11－y），由P1P＝λPP2，得（2，y－2）＝λ（4，11－y）＝（4λ，11λ－λy），所以2=4λ，y－2=11λ－λy，解得λ＝12，y=5.故选D.
（2）设0＜θ＜π2，向量a＝（sin 2θ，cs θ），b＝（cs θ，1），若a∥b，则tan θ＝ 12 .
解析 ∵a∥b，∴sin 2θ＝cs2θ，
∴2sin θcsθ＝cs2θ.
∵θ∈（0，π2），
∴2sin θ＝cs θ，tan θ＝12.
思维帮·提升思维 快速解题
奔驰定理
例4 [2023江苏南京三模]如图，O是△ABC内一点，且OA＋OB＋2OC＝0，则S△ABCS△AOC＝ 4 .
解析 解法一 取AB的中点D，连接OD，则OD＝12（OA＋OB），又OA＋OB＋2OC＝0，所以OD＝－OC，即O为CD的中点.
又D为AB的中点，所以S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，故S△ABCS△AOC＝4.
解法二 OA＋OB＋2OC＝0，则由奔驰定理得S△ABCS△AOC＝1+1+21＝4.
方法技巧
奔驰定理：P为△ABC内一点，则SA·PA＋SB·PB＋SC·PC＝0，其中SA，SB，SC分别是△BPC，△CPA，△APB的面积.
证明过程如下.
延长AP交边BC于点Q，如图所示.
用S表示△ABC的面积，则S＝SA＋SB＋SC，用h1表示△BPC的边BC上的高，用h表示△ABC的边BC上的高.
则PQAQ＝h1h＝12BC·h112BC·h＝SAS，APAQ＝AQ－PQAQ＝1－PQAQ＝1－SAS＝SB＋SCS，所以AP＝SB＋SCS·AQ.
用h2表示△CPA的边AP上的高，用h3表示△APB的边AP上的高.
则CQBQ＝h2h3＝SBSC，所以AQ＝SBSB＋SC·AB＋SCSB＋SC·AC，则AP＝SBS·AB＋SCS·AC，
即S·AP＝SB·（PB－PA）＋SC·（PC－PA），所以SA·PA＋SB·PB＋SC·PC＝0.
训练4 [2023江苏苏州市第六中学三模]已知O是△ABC内一点，满足OA＋2OB＋mOC＝0，且S△AOBS△ABC＝47，则m＝（ C ）
A.2B.3C.4D.5
解析 解法一 由OA＋2OB＋mOC＝0，得－m3OC＝13OA＋23OB，令OM＝－m3OC，则OM＝13OA＋23OB，所以A，B，M三点共线，所以S△AOBS△ABC＝｜OM｜｜OC｜＝mm+3＝47，解得m＝4.
解法二 由奔驰定理得S△BOC·OA＋S△AOC·OB＋S△AOB·OC＝0，又OA＋2OB＋mOC＝0，所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m，所以S△AOBS△ABC＝m1+2+m＝47，解得m＝4.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
平面向量基本定理的应用
该讲命题热点为平面向量的坐标运算、共线的坐标表示等，一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大.预计2025年高考命题稳定，备考时要关注坐标法在求解向量问题中的应用.
平面向量的坐标运算
2023新高考卷ⅠT3；2022北京T10；2021全国卷甲T14；2021新高考卷ⅠT10；2019全国卷ⅡT3
向量共线的坐标表示
2021全国卷乙T13
坐标表示
和（差）
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝⑤ （x1＋x2，y1＋y2） ，a－b＝⑥ （x1－x2，y1－y2） .
数乘
已知a＝（x1，y1），则λa＝（λx1，λy1），其中λ是实数.
任一向量的坐标
已知A（x1，y1），B（x2，y2），则AB＝⑦ （x2－x1，y2－y1） .
（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个① 不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，② 有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
（2）基底：若e1，e2③ 不共线 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
注意 （1）基底向量e1，e2必须是同一平面内的两个不共线的向量，零向量不能作为基底向量；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一.
2.平面向量的坐标表示
（1）把一个向量分解为两个④ 互相垂直 的向量，叫做把向量作正交分解.
（2）平面向量运算的坐标表示
说明 （1）相等向量的坐标相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关.
（3）平面向量共线的坐标表示
如果a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），那么a∥b的充要条件为⑧ x1y2－x2y1＝0 .
注意 a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2的形式，因为x2，y2有可能等于0.
1.下列说法正确的是（ B ）
A.平面内的任意两个向量都可以作为一个基底
B.设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2
C.若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y2
D.平面向量经过平移后其坐标改变
解析 对于A，共线向量不可以作为基底，故A错误；对于B，同一向量在给定基底下的分解是唯一的，B正确；对于C，若b＝（0，0），则x1x2＝y1y2无意义，故C错误；对于D，平面向量不论经过怎样的平移，其坐标都不变，故D错误.
2.[教材改编]已知M（－2，7），N（10，－2），点P是线段MN上的点，且PN＝
－2PM，则点P的坐标为（ A ）
A.（2，4）B.（－14，16）
C.（6，1）D.（2，－11）
解析 设P（x，y），则PN＝（10－x，－2－y），PM＝（－2－x，7－y），又PN＝
－2PM，所以10－x＝－2（－2－x),－2－y＝－2（7－y),解得x=2，y=4，所以点P的坐标为（2，4）.故选A.
3.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内所有向量的一个基底，则实数λ的取值范围是 （－∞，4）∪（4，＋∞） .
研透高考 明确方向
命题点1 平面向量基本定理的应用
例1 （1）[全国卷Ⅰ]在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝（ A ）
A.34AB－14ACB.14AB－34AC
C.34AB＋14ACD.14AB＋34AC
解析 解法一 根据向量的运算法则可得，在△ABE中，EB＝EA＋AB.因为E为AD的中点，所以EA＝12DA，在△ABD中，DA＝DB＋BA＝DB－AB.因为D为BC的中点，所以DB＝12CB.在△ABC中，CB＝AB－AC.逐步代入，可得EB＝EA＋AB＝12DA＋AB＝12（DB－AB）＋AB＝12（12CB－AB）＋AB＝14CB＋12AB＝14（AB－AC）＋12AB＝34AB－14AC.故选A.
解法二 由D为BC的中点，得AD＝12（AB＋AC），由E为AD的中点，得AE＝12AD＝14（AB＋AC）.在△ABE中，EB＝AB－AE＝AB－14（AB＋AC）＝34AB－14AC.故选A.
（2）如图，在直角梯形ABCD中，DC＝14AB，BE＝2EC，且AE＝rAB＋sAD，则2r＋3s＝（ C ）
A.1B.2
C.3D.4
解析 根据题图，由题意可得AE＝AB＋BE＝AB＋23BC＝AB＋23（BA＋AD＋DC）＝13AB＋23（AD＋DC）＝13AB＋23（AD＋14AB）＝12AB＋23AD.因为AE＝rAB＋sAD，所以r＝12，s＝23，所以2r＋3s＝1＋2＝3.故选C.
方法技巧
1.应用平面向量基本定理表示向量，实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将相关向量表示出来，再通过向量的运算来解决.
注意 同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在同一基底下的分解是唯一的.
训练1 （1）[2024昆明市模拟]在平行四边形ABCD中，点T为CD的中点，则（ A ）
A.AT＝12AB＋ADB.AT＝AB＋12AD
C.AT＝13AB＋23ADD.AT＝23AB＋13AD
解析 因为四边形ABCD是平行四边形，所以DC＝AB.因为T为CD的中点，所以DT＝12DC，则AT＝AD＋DT＝AD＋12DC＝12AB＋AD，故选A.
（2）[2024广东省模拟]已知△OAB中，OC＝CA，OD＝2DB，AD与BC相交于点M，OM＝xOA＋yOB，则有序数对（x，y）＝（ D ）
A.（12，13）B.（13，12）
C.（12，14）D.（14，12）
解析 如图，依题意A，M，D三点共线，故AM＝λAD，所以OM＝OA＋AM＝OA＋λAD＝OA＋λ（OD－OA）＝OA＋λ（23OB－OA）＝2λ3OB＋（1－λ）OA，又C，M，B三点共线，故CM＝μCB，则OM＝OC＋CM＝OC＋μCB＝OC＋μ（OB－OC）＝（1－μ）OC＋μOB＝1－μ2OA＋μOB，所以1－μ2=1－λ，μ＝2λ3，解得λ＝34，μ＝12，所以OM＝12OB＋14OA，又OM＝xOA＋yOB，所以x＝14，y＝12，所以有序数对（x，y）＝（14，12）.故选D.
命题点2 平面向量的坐标运算
例2 （1）[全国卷Ⅰ]已知点A（0，1），B（3，2），向量AC＝（－4，－3），则向量BC＝（ A ）
A.（－7，－4）B.（7，4）
C.（－1，4）D.（1，4）
解析 因为AB＝（3，2）－（0，1）＝（3，1），所以BC＝AC－AB＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）.故选A.
（2）已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，以a，b为基底，则（ C ）
A.c＝－2a＋3bB.c＝－3a＋2b
C.c＝3a－2bD.c＝2a－3b
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝（1，1），b＝
（－2，3），c＝（7，－3）.设c＝xa＋yb，则x－2y=7，x+3y＝－3，解得x=3，y＝－2，故c＝3a－2b.故选C.
方法技巧
1.利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程（组）进行求解.
2.向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
训练2 （1）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若CA＝λCE＋μDB（λ，μ∈R），则λ＋μ的值为（ B ）
A.65B.85
C.2D.83
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D（0，0）.不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C（2，0），A（0，2），B（1，2），E（0，1），∴CA＝（－2，2），CE＝（－2，1），DB＝（1，2），∵CA＝λCE＋μDB，
∴（－2，2）＝λ（－2，1）＋μ（1，2），∴－2λ＋μ＝－2，λ+2μ=2，解得λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.
（2）已知平面上的三个点A（－2，1），B（－1，3），C（3，4），若A，B，C，D四点能构成平行四边形，则点D的坐标为 （2，2）或（4，6）或（－6，0） .
解析 由四边形ABCD为平行四边形，得AB＝DC，可解得D（2，2）.
由四边形ABDC为平行四边形，得AB＝CD，可解得D（4，6）.
由四边形ADBC为平行四边形，得AD＝CB，可解得D（－6，0）.
因此，使A，B，C，D四点构成平行四边形的点D的坐标为（2，2）或（4，6）或
（－6，0）.
命题点3 向量共线的坐标表示
例3 （1）[2021全国卷乙]已知向量a＝（2，5），b＝（λ，4），若a∥b，则λ＝ 85 .
解析 因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝85.
（2）已知点O（0，0），A（0，5），B（4，3），OC＝14OA，OD＝12OB，AD与BC交于点M，则点M的坐标为 （127，2） .
解析 由已知可得点C（0，54），点D（2，32）.因为A，M，D三点共线，所以AM与AD共线，设M的坐标为（x，y），则AM＝（x，y－5），又AD＝（2，－72），所以－72x－2（y－5）＝0，即7x＋4y＝20.因为C，M，B三点共线，所以CM与CB共线，又CM＝（x，y－54），CB＝（4，74），所以74x－4（y－54）＝0，即7x－16y＝－20.由7x+4y=20，7x－16y＝－20，得x＝127，y=2，所以点M的坐标为（127，2）.
方法技巧
平面向量共线问题的解题策略
（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
（2）若a∥b（b≠0），则a＝λb.
训练3 （1）[2023贵州省联考]已知P1（3，2），P2（9，11），P（5，y），P1P＝λPP2，则y与λ的值分别为（ D ）
A.y＝8，λ＝2B.y＝132，λ＝12
C.y＝154，λ＝12D.y＝5，λ＝12
解析 因为P1（3，2），P2（9，11），P（5，y），所以P1P＝（2，y－2），PP2＝（4，11－y），由P1P＝λPP2，得（2，y－2）＝λ（4，11－y）＝（4λ，11λ－λy），所以2=4λ，y－2=11λ－λy，解得λ＝12，y=5.故选D.
（2）设0＜θ＜π2，向量a＝（sin 2θ，cs θ），b＝（cs θ，1），若a∥b，则tan θ＝ 12 .
解析 ∵a∥b，∴sin 2θ＝cs2θ，
∴2sin θcsθ＝cs2θ.
∵θ∈（0，π2），
∴2sin θ＝cs θ，tan θ＝12.
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奔驰定理
例4 [2023江苏南京三模]如图，O是△ABC内一点，且OA＋OB＋2OC＝0，则S△ABCS△AOC＝ 4 .
解析 解法一 取AB的中点D，连接OD，则OD＝12（OA＋OB），又OA＋OB＋2OC＝0，所以OD＝－OC，即O为CD的中点.
又D为AB的中点，所以S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，故S△ABCS△AOC＝4.
解法二 OA＋OB＋2OC＝0，则由奔驰定理得S△ABCS△AOC＝1+1+21＝4.
方法技巧
奔驰定理：P为△ABC内一点，则SA·PA＋SB·PB＋SC·PC＝0，其中SA，SB，SC分别是△BPC，△CPA，△APB的面积.
证明过程如下.
延长AP交边BC于点Q，如图所示.
用S表示△ABC的面积，则S＝SA＋SB＋SC，用h1表示△BPC的边BC上的高，用h表示△ABC的边BC上的高.
则PQAQ＝h1h＝12BC·h112BC·h＝SAS，APAQ＝AQ－PQAQ＝1－PQAQ＝1－SAS＝SB＋SCS，所以AP＝SB＋SCS·AQ.
用h2表示△CPA的边AP上的高，用h3表示△APB的边AP上的高.
则CQBQ＝h2h3＝SBSC，所以AQ＝SBSB＋SC·AB＋SCSB＋SC·AC，则AP＝SBS·AB＋SCS·AC，
即S·AP＝SB·（PB－PA）＋SC·（PC－PA），所以SA·PA＋SB·PB＋SC·PC＝0.
训练4 [2023江苏苏州市第六中学三模]已知O是△ABC内一点，满足OA＋2OB＋mOC＝0，且S△AOBS△ABC＝47，则m＝（ C ）
A.2B.3C.4D.5
解析 解法一 由OA＋2OB＋mOC＝0，得－m3OC＝13OA＋23OB，令OM＝－m3OC，则OM＝13OA＋23OB，所以A，B，M三点共线，所以S△AOBS△ABC＝｜OM｜｜OC｜＝mm+3＝47，解得m＝4.
解法二 由奔驰定理得S△BOC·OA＋S△AOC·OB＋S△AOB·OC＝0，又OA＋2OB＋mOC＝0，所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m，所以S△AOBS△ABC＝m1+2+m＝47，解得m＝4.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
平面向量基本定理的应用
该讲命题热点为平面向量的坐标运算、共线的坐标表示等，一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大.预计2025年高考命题稳定，备考时要关注坐标法在求解向量问题中的应用.
平面向量的坐标运算
2023新高考卷ⅠT3；2022北京T10；2021全国卷甲T14；2021新高考卷ⅠT10；2019全国卷ⅡT3
向量共线的坐标表示
2021全国卷乙T13
坐标表示
和（差）
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝⑤ （x1＋x2，y1＋y2） ，a－b＝⑥ （x1－x2，y1－y2） .
数乘
已知a＝（x1，y1），则λa＝（λx1，λy1），其中λ是实数.
任一向量的坐标
已知A（x1，y1），B（x2，y2），则AB＝⑦ （x2－x1，y2－y1） .
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