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备考2024届高考数学一轮复习讲义第六章平面向量复数第3讲平面向量的数量积及应用
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第六章平面向量复数第3讲平面向量的数量积及应用，共8页。
注意 确定向量的夹角时应注意“共起点”.
思维拓展
1.两个向量夹角的范围为[0，π]，两条直线夹角的范围为[0，π2].
2.（1）两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且向量a，b不共线；
（2）两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且向量a，b不共线.
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b的夹角为θ，我们把数量⑤ ｜a｜｜b｜csθ 叫做向量a与b的数量积，记作⑥ a·b .
注意 零向量与任一向量的数量积为0.
3.投影与投影向量
如图，过AB的起点A和终点B，分别作向量CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b⑦ 投影 ，A1B1叫做向量a在向量b上的⑧ 投影向量 .
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则A1B1＝｜a｜csθe.
4.向量数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
（1）a·b＝b·a；
（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；
（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.
注意 （1）向量数量积的运算不满足乘法结合律，即（a·b）·c不一定等于a·（b·c），这是由于（a·b）·c表示一个与c共线的向量，a·（b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.
（2）a·b＝a·c（a≠0）b＝c，等式两边不能约去同一个向量.
（3）平方差公式、完全平方公式仍适用.
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.
1.以下说法正确的是（ A ）
A.两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量
B.由a·b＝0可得a＝0或b＝0
C.（a·b）·c＝a·（b·c）
D.已知两个非零向量a与b的夹角为θ，若a·b＞0，则θ为锐角
2.[教材改编]已知向量a＝（1＋x，x－3），b＝（1－x，2），a·b＝－4，则a＋2b与b的夹角为（ B ）
A.π3B.π4C.2π3D.3π4
解析 因为a·b＝－4，所以（1＋x）（1－x）＋2（x－3）＝－4，得x＝1.所以a＝（2，－2），b＝（0，2），所以a＋2b＝（2，2），｜a＋2b｜＝22＋22＝22，｜b｜＝2，所以cs＜a＋2b，b＞＝（a+2b）·b｜a+2b||b｜＝422×2＝22.又＜a＋2b，b＞∈[0，π]，所以a＋2b与b的夹角为π4.故选B.
3.[2022全国卷甲]已知向量a＝（m，3），b＝（1，m＋1）.若a⊥b，则m＝ －34 .
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝m＋3（m＋1）＝4m＋3＝0，解得m＝－34.
4.已知点A（－1，1），B（1，2），C（－2，－1），D（3，4），则AB在CD方向上的投影向量为 （32，32） .
解析 依题意，得CD＝（5，5），则与CD同向的单位向量e＝CD｜CD｜＝（22，22），AB＝（2，1），则AB在CD方向上的投影向量为AB·CD｜CD｜·e＝10+552（22，22）＝322（22，22）＝（32，32）.
5.[易错题]已知平面内三个向量a，b，c两两夹角相等，且｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝3，则｜a＋b＋c｜＝ 2或5 .
解析 当a，b，c共线时，｜a＋b＋c｜＝｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝5；当a，b，c两两夹角为2π3时，a·b＝－12，a·c＝b·c＝－32.｜a＋b＋c｜＝｜a｜2＋｜b｜2＋｜c｜2+2a·b+2a·c+2b·c＝1+1+9－1－3－3＝2.
研透高考 明确方向
命题点1 平面向量的数量积运算
例1 （1）[2023全国卷乙]正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED＝（ B ）
A.5B.3C.25D.5
解析 解法一 由题意知，EC＝EB＋BC＝12AB＋AD，ED＝EA＋AD＝－12AB＋AD，所以EC·ED＝（12AB＋AD）·（－12AB＋AD）＝｜AD｜2－14｜AB｜2，由题意知｜AD｜＝
｜AB｜＝2，所以EC·ED＝4－1＝3，故选B.
解法二 以点A为坐标原点，AB，AD的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则E（1，0），C（2，2），D（0，2），则EC＝（1，2），ED＝（－1，2），EC·ED＝－1＋4＝3，故选B.
（2）[2022全国卷甲]设向量a，b的夹角的余弦值为13，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，则（2a＋b）·b＝ 11 .
解析 （2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜｜b｜cs＜a，b＞＋｜b｜2＝2×1×3×13＋32＝11.
方法技巧
求非零向量a，b的数量积的方法
1.定义法：a·b＝｜a｜｜b｜csθ.
2.基底法：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解.
3.坐标法：已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，利用a·b＝x1x2＋y1y2求解.
训练1 （1）[2022全国卷乙]已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝3，｜a－2b｜＝3，则a·b＝（ C ）
A.－2B.－1C.1D.2
解析 由｜a－2b｜＝3，可得｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝9.
又｜a｜＝1，｜b｜＝3，所以a·b＝1，故选C.
（2）[全国卷Ⅱ]已知AB＝（2，3），AC＝（3，t），｜BC｜＝1，则AB·BC＝（ C ）
A.－3B.－2C.2D.3
解析 因为BC＝AC－AB＝（1，t－3），所以｜BC｜＝1+（t－3）2＝1，解得t＝3，所以BC＝（1，0），所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2，故选C.
命题点2 平面向量数量积的应用
角度1 向量的模问题
例2 （1）[2022全国卷乙]已知向量a＝（2，1），b＝（－2，4），则｜a－b｜＝（ D ）
A.2B.3C.4D.5
解析 由题意知a－b＝（2，1）－（－2，4）＝（4，－3），所以｜a－b｜＝42＋（－3）2＝5.故选D.
（2）[2023新高考卷Ⅱ]已知向量a，b满足｜a－b｜＝3，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则
｜b｜＝ 3 .
解析 由｜a－b｜＝3，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3 ①.由｜a＋b｜＝
｜2a－b｜，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，a2＝2a·b，结合①，得a2＝a2＋b2－3，整理得，b2＝3，所以｜b｜＝3.
方法技巧
求平面向量模的两种方法
角度2 向量的夹角问题
例3 （1）[2023全国卷甲]已知向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，且a＋b＋c＝0，则cs＜a－c，b－c＞＝（ D ）
A.－45B.－25C.25D.45
解析 ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式两边同时平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.
解法一 ∵a－c＝a－（－a－b）＝2a＋b，b－c＝b－（－a－b）＝a＋2b，∴（a－c）·（b－c）＝（2a＋b）·（a＋2b）＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且｜a－c｜＝｜2a＋b｜＝（2a＋b）2＝4+1＝5，｜b－c｜＝｜a＋2b｜＝（a+2b）2＝1+4＝5，
∴cs＜a－c，b－c＞＝（a－c）·（b－c）｜a－c｜·｜b－c｜＝45，故选D.
解法二 如图，令OA＝a，OB＝b，则OC＝c，∴CA＝a－c，CB＝b－c，而｜AB｜＝2，｜AC｜＝｜BC｜＝5，在△ABC中，由余弦定理得cs＜a－c，b－c＞＝cs＜CA，CB＞＝cs∠ACB＝5+5－225×5＝45，故选D.
解法三 如图，令向量a，b的起点均为O，终点分别为A，B，以OA，OB的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则a＝（1，0），b＝（0，1），c＝－a－b＝
（－1，－1），所以a－c＝（2，1），b－c＝（1，2），则cs＜a－c，b－c＞＝（a－c）·（b－c）｜a－c｜·｜b－c｜＝2+25×5＝45，故选D.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝
＜b，c＞，则t＝（ C ）
A.－6B.－5C.5D.6
解析 解法一 由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cs＜a，c＞＝cs＜b，
c＞，即a·c｜a||c｜＝b·c｜b||c｜，即25+3t5＝3＋t，解得t＝5.故选C.
解法二 因为＜a，c＞＝＜b，c＞，且c＝a＋tb，所以由向量加法的平行四边形法则得｜a｜＝t｜b｜，易知｜a｜＝5，｜b｜＝1，所以t＝5.
方法技巧
求平面向量夹角问题的三种方法
角度3 向量的垂直问题
例4 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知向量a＝（1，1），b＝（1，－1）.若（a＋λb）⊥（a＋μb），则（ D ）
A.λ＋μ＝1B.λ＋μ＝－1
C.λμ＝1D.λμ＝－1
解析 因为a＝（1，1），b＝（1，－1），所以a＋λb＝（1＋λ，1－λ），a＋μb＝（1＋μ，1－μ），因为（a＋λb）⊥（a＋μb），所以（a＋λb）·（a＋μb）＝0，所以（1＋λ）（1＋μ）＋（1－λ）（1－μ）＝0，整理得λμ＝－1.故选D.
（2）[全国卷Ⅱ]已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（ D ）
A.a＋2bB.2a＋bC.a－2bD.2a－b
解析 解法一 由题意，得a·b＝｜a｜｜b｜cs 60°＝12.对于A，（a＋2b）·b＝a·b＋2b2＝12＋2＝52≠0，故A不符合题意；对于B，（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，（a－2b）·b＝a·b－2b2＝12－2＝－32≠0，故C不符合题意；对于D，（2a－b）·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以（2a－b）⊥b，符合题意.故选D.
解法二 根据条件，分别作出向量b与A，B，C，D四个选项对应的向量的位置关系，如图所示.
A B C D
由图易知，只有选项D满足题意.故选D.
解法三 不妨设a＝（12，32），b＝（1，0），则a＋2b＝（52，32）， 2a＋b＝（2，3），a－2b＝（－32，32），2a－b＝（0，3），易知，只有（2a－b）·b＝0，即（2a－b）⊥b.故选D.
方法技巧
1.证明两个向量垂直的解题策略
先计算出这两个向量的坐标或表示出两个向量，然后根据数量积的运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可.
2.已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数.
训练2 （1）[2023广州市二检]已知两个非零向量a，b满足｜a｜＝3｜b｜，（a＋b）⊥b，则cs 〈a，b〉＝（ D ）
A.12B.－12C.13D.－13
解析 因为（a＋b）⊥b，所以（a＋b）·b＝0，即a·b＝－b2，所以｜a｜·｜b｜·cs 〈a，b〉＝－｜b｜2，即3｜b｜·｜b｜cs 〈a，b〉＝－｜b｜2，则cs 〈a，b〉＝－13.故选D.
（2）[2021全国卷甲]若向量a，b满足｜a｜＝3，｜a－b｜＝5，a·b＝1，则｜b｜＝ 32 .
解析 由｜a－b｜＝5得（a－b）2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合｜a｜＝3，a·b＝1，得32－2×1＋｜b｜2＝25，所以｜b｜＝32.
命题点3 平面向量的应用
例5 在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情况（如图）.假设行李包所受重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2.若｜F1｜＝
｜F2｜，F1与F2的夹角为θ，则下列结论不正确的是（ D ）
A.｜F1｜的最小值为12｜G｜
B.当θ＝2π3时，｜F1｜＝｜G｜
C.当θ＝π2时，｜F1｜＝22｜G｜
D.当θ＝2π3时，F1在F2方向上的投影数量为｜G｜2
解析 由题意知，｜G｜＝｜F1＋F2｜，且｜G｜为定值，因为｜F1｜＝｜F2｜，所以
｜G｜2＝｜F1｜2＋｜F2｜2＋2｜F1｜｜F2｜·cs θ＝2｜F1｜2（1＋cs θ），所以｜F1｜2＝｜G｜22（1+csθ）.
当θ∈（0，π）时，y＝cs θ单调递减，
所以关于θ的函数y＝｜F1｜2＝｜G｜22（1+csθ）单调递增，
即θ越大越费力，θ越小越省力.
当θ＝0时，｜F1｜min＝12｜G｜；
当θ＝π2时，｜F1｜＝22｜G｜；
当θ＝2π3时，｜F1｜＝｜G｜.故A，B，C正确.
对于D选项，当θ＝2π3时，F1在F2方向上的投影数量为｜F1｜cs 2π3＝｜G｜cs2π3＝
－｜G｜2，故D不正确.故选D.
方法技巧
用向量方法解决实际问题的步骤
训练3 一条东西方向的河流两岸平行，河宽2503 m，河水的速度为正东3 km/h.一艘小货船准备从河流南岸码头P处出发，航行到河流对岸对应点Q（PQ与河流的方向垂直）的正西方向并且与Q相距250 m的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为 5 km/h，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（ C ）
A.33 km/hB.6 km/h
C.7 km/hD.36 km/h
解析 连接PM，由题意得，当小货船的航程最短时，其航线为线段PM.
设小货船航行的速度为v，水流的速度为v1，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为v2，作出示意图，如图所示.
PQ＝2503 m，QM＝250 m.
在Rt△PQM中，（根据“PQ与河流的方向垂直”得到△PMQ的形状）
tan∠PMQ＝PQQM＝2503250＝3，由题意∠PMQ∈（0，π2），
所以∠PMQ＝π3，∠MPQ＝π6，＜v1，v2＞＝π2＋π6＝2π3，
易知v＝v2－v1，｜v1｜＝3，｜v2｜＝5，
所以｜v｜＝（v2－v1）2＝｜v2｜2＋｜v1｜2－2v1·v2＝52＋32－2×5×3cs2π3＝7，
所以小货船航行速度的大小为7 km/h，故选C.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.
2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.
5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的应用.
平面向量的数量积运算
2023全国卷乙T6；2022全国卷乙T3；2022全国卷甲T13；2021新高考卷ⅡT15；2020北京T13；2019全国卷ⅡT3
本讲每年必考，主要考查向量的数量积运算、向量的夹角、模长、垂直问题，一般以客观题形式出现，难度不大.预计2025年高考命题稳定，常规备考的同时要关注向量与三角、解析几何等的综合以及坐标法在解题中的应用.
平面向量数量积的应用
2023新高考卷ⅠT3；2023新高考卷ⅡT13；2023全国卷甲T4；2022全国卷乙T3；2022新高考卷ⅡT4；2022天津T14；2021新高考卷ⅠT10；2021全国卷甲T14；2021全国卷甲T14；2021全国卷乙T14；2020全国卷ⅠT14；2020全国卷ⅡT13；2020新高考卷ⅠT7；2019全国卷ⅠT7
平面向量的应用
2023全国卷乙T12；2020天津T15
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点.作OA＝a，OB＝b，则① ∠AOB 叫做向量a与b的夹角，记作＜a，b＞.
设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是② [0，π] .
θ＝0或π⇔③ a∥b ，
④ θ＝π2 ⇔ a⊥b.
几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝｜a｜｜b｜csθ.
a·b＝⑨ x1x2＋y1y2 .
模
｜a｜＝a·a.
｜a｜＝⑩ x12＋y12 .
夹角
cs θ＝⑪ a·b｜a||b｜ .
cs θ＝x1x2＋y1y2x12＋y12·x22＋y22.
a⊥b的充要条件
a·b＝0.
⑫ x1x2＋y1y2＝0 .
a∥b的充要条件
a＝λb（λ∈R）.
⑬ x1y2－x2y1＝0 .
｜a·b｜与
｜a｜｜b｜的关系
｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立）.
｜x1x2＋y1y2｜≤
（x12＋y12)(x22＋y22）.
公式法
利用如下公式转化求解.
①a2＝a·a＝｜a｜2或｜a｜＝a·a；
②｜a±b｜＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；
③若a＝（x，y），则｜a｜＝x2＋y2.
几何法
利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等求解.
定义法
当a，b是非坐标形式时，由cs θ＝a·b｜a||b｜求解.
坐标法
若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则cs＜a，b＞＝x1x2＋y1y2x12＋y12·x22＋y22，＜a，b＞∈[0，π].
解三角
形法
可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.注意向量夹角与三角形内角的关系.
注意 确定向量的夹角时应注意“共起点”.
思维拓展
1.两个向量夹角的范围为[0，π]，两条直线夹角的范围为[0，π2].
2.（1）两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且向量a，b不共线；
（2）两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且向量a，b不共线.
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b的夹角为θ，我们把数量⑤ ｜a｜｜b｜csθ 叫做向量a与b的数量积，记作⑥ a·b .
注意 零向量与任一向量的数量积为0.
3.投影与投影向量
如图，过AB的起点A和终点B，分别作向量CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b⑦ 投影 ，A1B1叫做向量a在向量b上的⑧ 投影向量 .
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则A1B1＝｜a｜csθe.
4.向量数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
（1）a·b＝b·a；
（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；
（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.
注意 （1）向量数量积的运算不满足乘法结合律，即（a·b）·c不一定等于a·（b·c），这是由于（a·b）·c表示一个与c共线的向量，a·（b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.
（2）a·b＝a·c（a≠0）b＝c，等式两边不能约去同一个向量.
（3）平方差公式、完全平方公式仍适用.
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.
1.以下说法正确的是（ A ）
A.两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量
B.由a·b＝0可得a＝0或b＝0
C.（a·b）·c＝a·（b·c）
D.已知两个非零向量a与b的夹角为θ，若a·b＞0，则θ为锐角
2.[教材改编]已知向量a＝（1＋x，x－3），b＝（1－x，2），a·b＝－4，则a＋2b与b的夹角为（ B ）
A.π3B.π4C.2π3D.3π4
解析 因为a·b＝－4，所以（1＋x）（1－x）＋2（x－3）＝－4，得x＝1.所以a＝（2，－2），b＝（0，2），所以a＋2b＝（2，2），｜a＋2b｜＝22＋22＝22，｜b｜＝2，所以cs＜a＋2b，b＞＝（a+2b）·b｜a+2b||b｜＝422×2＝22.又＜a＋2b，b＞∈[0，π]，所以a＋2b与b的夹角为π4.故选B.
3.[2022全国卷甲]已知向量a＝（m，3），b＝（1，m＋1）.若a⊥b，则m＝ －34 .
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝m＋3（m＋1）＝4m＋3＝0，解得m＝－34.
4.已知点A（－1，1），B（1，2），C（－2，－1），D（3，4），则AB在CD方向上的投影向量为 （32，32） .
解析 依题意，得CD＝（5，5），则与CD同向的单位向量e＝CD｜CD｜＝（22，22），AB＝（2，1），则AB在CD方向上的投影向量为AB·CD｜CD｜·e＝10+552（22，22）＝322（22，22）＝（32，32）.
5.[易错题]已知平面内三个向量a，b，c两两夹角相等，且｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝3，则｜a＋b＋c｜＝ 2或5 .
解析 当a，b，c共线时，｜a＋b＋c｜＝｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝5；当a，b，c两两夹角为2π3时，a·b＝－12，a·c＝b·c＝－32.｜a＋b＋c｜＝｜a｜2＋｜b｜2＋｜c｜2+2a·b+2a·c+2b·c＝1+1+9－1－3－3＝2.
研透高考 明确方向
命题点1 平面向量的数量积运算
例1 （1）[2023全国卷乙]正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED＝（ B ）
A.5B.3C.25D.5
解析 解法一 由题意知，EC＝EB＋BC＝12AB＋AD，ED＝EA＋AD＝－12AB＋AD，所以EC·ED＝（12AB＋AD）·（－12AB＋AD）＝｜AD｜2－14｜AB｜2，由题意知｜AD｜＝
｜AB｜＝2，所以EC·ED＝4－1＝3，故选B.
解法二 以点A为坐标原点，AB，AD的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则E（1，0），C（2，2），D（0，2），则EC＝（1，2），ED＝（－1，2），EC·ED＝－1＋4＝3，故选B.
（2）[2022全国卷甲]设向量a，b的夹角的余弦值为13，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，则（2a＋b）·b＝ 11 .
解析 （2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜｜b｜cs＜a，b＞＋｜b｜2＝2×1×3×13＋32＝11.
方法技巧
求非零向量a，b的数量积的方法
1.定义法：a·b＝｜a｜｜b｜csθ.
2.基底法：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解.
3.坐标法：已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，利用a·b＝x1x2＋y1y2求解.
训练1 （1）[2022全国卷乙]已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝3，｜a－2b｜＝3，则a·b＝（ C ）
A.－2B.－1C.1D.2
解析 由｜a－2b｜＝3，可得｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝9.
又｜a｜＝1，｜b｜＝3，所以a·b＝1，故选C.
（2）[全国卷Ⅱ]已知AB＝（2，3），AC＝（3，t），｜BC｜＝1，则AB·BC＝（ C ）
A.－3B.－2C.2D.3
解析 因为BC＝AC－AB＝（1，t－3），所以｜BC｜＝1+（t－3）2＝1，解得t＝3，所以BC＝（1，0），所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2，故选C.
命题点2 平面向量数量积的应用
角度1 向量的模问题
例2 （1）[2022全国卷乙]已知向量a＝（2，1），b＝（－2，4），则｜a－b｜＝（ D ）
A.2B.3C.4D.5
解析 由题意知a－b＝（2，1）－（－2，4）＝（4，－3），所以｜a－b｜＝42＋（－3）2＝5.故选D.
（2）[2023新高考卷Ⅱ]已知向量a，b满足｜a－b｜＝3，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则
｜b｜＝ 3 .
解析 由｜a－b｜＝3，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3 ①.由｜a＋b｜＝
｜2a－b｜，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，a2＝2a·b，结合①，得a2＝a2＋b2－3，整理得，b2＝3，所以｜b｜＝3.
方法技巧
求平面向量模的两种方法
角度2 向量的夹角问题
例3 （1）[2023全国卷甲]已知向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，且a＋b＋c＝0，则cs＜a－c，b－c＞＝（ D ）
A.－45B.－25C.25D.45
解析 ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式两边同时平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.
解法一 ∵a－c＝a－（－a－b）＝2a＋b，b－c＝b－（－a－b）＝a＋2b，∴（a－c）·（b－c）＝（2a＋b）·（a＋2b）＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且｜a－c｜＝｜2a＋b｜＝（2a＋b）2＝4+1＝5，｜b－c｜＝｜a＋2b｜＝（a+2b）2＝1+4＝5，
∴cs＜a－c，b－c＞＝（a－c）·（b－c）｜a－c｜·｜b－c｜＝45，故选D.
解法二 如图，令OA＝a，OB＝b，则OC＝c，∴CA＝a－c，CB＝b－c，而｜AB｜＝2，｜AC｜＝｜BC｜＝5，在△ABC中，由余弦定理得cs＜a－c，b－c＞＝cs＜CA，CB＞＝cs∠ACB＝5+5－225×5＝45，故选D.
解法三 如图，令向量a，b的起点均为O，终点分别为A，B，以OA，OB的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则a＝（1，0），b＝（0，1），c＝－a－b＝
（－1，－1），所以a－c＝（2，1），b－c＝（1，2），则cs＜a－c，b－c＞＝（a－c）·（b－c）｜a－c｜·｜b－c｜＝2+25×5＝45，故选D.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝
＜b，c＞，则t＝（ C ）
A.－6B.－5C.5D.6
解析 解法一 由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cs＜a，c＞＝cs＜b，
c＞，即a·c｜a||c｜＝b·c｜b||c｜，即25+3t5＝3＋t，解得t＝5.故选C.
解法二 因为＜a，c＞＝＜b，c＞，且c＝a＋tb，所以由向量加法的平行四边形法则得｜a｜＝t｜b｜，易知｜a｜＝5，｜b｜＝1，所以t＝5.
方法技巧
求平面向量夹角问题的三种方法
角度3 向量的垂直问题
例4 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知向量a＝（1，1），b＝（1，－1）.若（a＋λb）⊥（a＋μb），则（ D ）
A.λ＋μ＝1B.λ＋μ＝－1
C.λμ＝1D.λμ＝－1
解析 因为a＝（1，1），b＝（1，－1），所以a＋λb＝（1＋λ，1－λ），a＋μb＝（1＋μ，1－μ），因为（a＋λb）⊥（a＋μb），所以（a＋λb）·（a＋μb）＝0，所以（1＋λ）（1＋μ）＋（1－λ）（1－μ）＝0，整理得λμ＝－1.故选D.
（2）[全国卷Ⅱ]已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（ D ）
A.a＋2bB.2a＋bC.a－2bD.2a－b
解析 解法一 由题意，得a·b＝｜a｜｜b｜cs 60°＝12.对于A，（a＋2b）·b＝a·b＋2b2＝12＋2＝52≠0，故A不符合题意；对于B，（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，（a－2b）·b＝a·b－2b2＝12－2＝－32≠0，故C不符合题意；对于D，（2a－b）·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以（2a－b）⊥b，符合题意.故选D.
解法二 根据条件，分别作出向量b与A，B，C，D四个选项对应的向量的位置关系，如图所示.
A B C D
由图易知，只有选项D满足题意.故选D.
解法三 不妨设a＝（12，32），b＝（1，0），则a＋2b＝（52，32）， 2a＋b＝（2，3），a－2b＝（－32，32），2a－b＝（0，3），易知，只有（2a－b）·b＝0，即（2a－b）⊥b.故选D.
方法技巧
1.证明两个向量垂直的解题策略
先计算出这两个向量的坐标或表示出两个向量，然后根据数量积的运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可.
2.已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数.
训练2 （1）[2023广州市二检]已知两个非零向量a，b满足｜a｜＝3｜b｜，（a＋b）⊥b，则cs 〈a，b〉＝（ D ）
A.12B.－12C.13D.－13
解析 因为（a＋b）⊥b，所以（a＋b）·b＝0，即a·b＝－b2，所以｜a｜·｜b｜·cs 〈a，b〉＝－｜b｜2，即3｜b｜·｜b｜cs 〈a，b〉＝－｜b｜2，则cs 〈a，b〉＝－13.故选D.
（2）[2021全国卷甲]若向量a，b满足｜a｜＝3，｜a－b｜＝5，a·b＝1，则｜b｜＝ 32 .
解析 由｜a－b｜＝5得（a－b）2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合｜a｜＝3，a·b＝1，得32－2×1＋｜b｜2＝25，所以｜b｜＝32.
命题点3 平面向量的应用
例5 在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情况（如图）.假设行李包所受重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2.若｜F1｜＝
｜F2｜，F1与F2的夹角为θ，则下列结论不正确的是（ D ）
A.｜F1｜的最小值为12｜G｜
B.当θ＝2π3时，｜F1｜＝｜G｜
C.当θ＝π2时，｜F1｜＝22｜G｜
D.当θ＝2π3时，F1在F2方向上的投影数量为｜G｜2
解析 由题意知，｜G｜＝｜F1＋F2｜，且｜G｜为定值，因为｜F1｜＝｜F2｜，所以
｜G｜2＝｜F1｜2＋｜F2｜2＋2｜F1｜｜F2｜·cs θ＝2｜F1｜2（1＋cs θ），所以｜F1｜2＝｜G｜22（1+csθ）.
当θ∈（0，π）时，y＝cs θ单调递减，
所以关于θ的函数y＝｜F1｜2＝｜G｜22（1+csθ）单调递增，
即θ越大越费力，θ越小越省力.
当θ＝0时，｜F1｜min＝12｜G｜；
当θ＝π2时，｜F1｜＝22｜G｜；
当θ＝2π3时，｜F1｜＝｜G｜.故A，B，C正确.
对于D选项，当θ＝2π3时，F1在F2方向上的投影数量为｜F1｜cs 2π3＝｜G｜cs2π3＝
－｜G｜2，故D不正确.故选D.
方法技巧
用向量方法解决实际问题的步骤
训练3 一条东西方向的河流两岸平行，河宽2503 m，河水的速度为正东3 km/h.一艘小货船准备从河流南岸码头P处出发，航行到河流对岸对应点Q（PQ与河流的方向垂直）的正西方向并且与Q相距250 m的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为 5 km/h，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（ C ）
A.33 km/hB.6 km/h
C.7 km/hD.36 km/h
解析 连接PM，由题意得，当小货船的航程最短时，其航线为线段PM.
设小货船航行的速度为v，水流的速度为v1，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为v2，作出示意图，如图所示.
PQ＝2503 m，QM＝250 m.
在Rt△PQM中，（根据“PQ与河流的方向垂直”得到△PMQ的形状）
tan∠PMQ＝PQQM＝2503250＝3，由题意∠PMQ∈（0，π2），
所以∠PMQ＝π3，∠MPQ＝π6，＜v1，v2＞＝π2＋π6＝2π3，
易知v＝v2－v1，｜v1｜＝3，｜v2｜＝5，
所以｜v｜＝（v2－v1）2＝｜v2｜2＋｜v1｜2－2v1·v2＝52＋32－2×5×3cs2π3＝7，
所以小货船航行速度的大小为7 km/h，故选C.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.
2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.
5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的应用.
平面向量的数量积运算
2023全国卷乙T6；2022全国卷乙T3；2022全国卷甲T13；2021新高考卷ⅡT15；2020北京T13；2019全国卷ⅡT3
本讲每年必考，主要考查向量的数量积运算、向量的夹角、模长、垂直问题，一般以客观题形式出现，难度不大.预计2025年高考命题稳定，常规备考的同时要关注向量与三角、解析几何等的综合以及坐标法在解题中的应用.
平面向量数量积的应用
2023新高考卷ⅠT3；2023新高考卷ⅡT13；2023全国卷甲T4；2022全国卷乙T3；2022新高考卷ⅡT4；2022天津T14；2021新高考卷ⅠT10；2021全国卷甲T14；2021全国卷甲T14；2021全国卷乙T14；2020全国卷ⅠT14；2020全国卷ⅡT13；2020新高考卷ⅠT7；2019全国卷ⅠT7
平面向量的应用
2023全国卷乙T12；2020天津T15
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点.作OA＝a，OB＝b，则① ∠AOB 叫做向量a与b的夹角，记作＜a，b＞.
设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是② [0，π] .
θ＝0或π⇔③ a∥b ，
④ θ＝π2 ⇔ a⊥b.
几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝｜a｜｜b｜csθ.
a·b＝⑨ x1x2＋y1y2 .
模
｜a｜＝a·a.
｜a｜＝⑩ x12＋y12 .
夹角
cs θ＝⑪ a·b｜a||b｜ .
cs θ＝x1x2＋y1y2x12＋y12·x22＋y22.
a⊥b的充要条件
a·b＝0.
⑫ x1x2＋y1y2＝0 .
a∥b的充要条件
a＝λb（λ∈R）.
⑬ x1y2－x2y1＝0 .
｜a·b｜与
｜a｜｜b｜的关系
｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立）.
｜x1x2＋y1y2｜≤
（x12＋y12)(x22＋y22）.
公式法
利用如下公式转化求解.
①a2＝a·a＝｜a｜2或｜a｜＝a·a；
②｜a±b｜＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；
③若a＝（x，y），则｜a｜＝x2＋y2.
几何法
利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等求解.
定义法
当a，b是非坐标形式时，由cs θ＝a·b｜a||b｜求解.
坐标法
若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则cs＜a，b＞＝x1x2＋y1y2x12＋y12·x22＋y22，＜a，b＞∈[0，π].
解三角
形法
可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.注意向量夹角与三角形内角的关系.
相关学案
备考2024届高考数学一轮复习讲义第六章平面向量复数第4讲余弦定理正弦定理： 这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第六章平面向量复数第4讲余弦定理正弦定理，共8页。
备考2024届高考数学一轮复习讲义第六章平面向量复数第1讲平面向量的概念及线性运算： 这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第六章平面向量复数第1讲平面向量的概念及线性运算，共8页。
备考2024届高考数学一轮复习讲义第六章平面向量复数第2讲平面向量基本定理及坐标表示： 这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第六章平面向量复数第2讲平面向量基本定理及坐标表示，共7页。
