备考2024届高考数学一轮复习讲义第六章平面向量复数第1讲平面向量的概念及线性运算

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注意 （1）0是一个向量，0是一个实数，｜0｜＝0.
（2）两个向量不能比较大小，只能判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小.
2.平面向量的线性运算
注意 利用三角形法则时，两向量要首尾相连；利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点.
常用结论
向量运算的常用结论
（1）若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝12（OA＋OB）.
（2）对于任意两个向量a，b，都有：①｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜；
②｜a＋b｜2＋｜a－b｜2＝2（｜a｜2＋｜b｜2）.
注意 当a，b不共线时：①式的几何意义是三角形中两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边；②式的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系.
3.共线向量定理
向量a（a≠0）与b共线的充要条件：存在唯一一个实数λ，使⑫ b＝λa .
注意 （1）只有非零向量才能表示与之共线的其他向量.（2）两向量共线包含同向共线和反向共线两种情况.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.单位向量都相等
C.a与b同向，且｜a｜＞｜b｜，则a＞b
D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
2.[新高考卷Ⅱ]若D为△ABC的边AB的中点，则CB＝（ A ）
A.2CD－CAB.2CA－CD
C.2CD＋CAD.2CA＋CD
解析 解法一 因为D是AB的中点，所以AB＝2AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋2AD＝CA＋2（CD－CA）＝2CD－CA，故选A.
解法二 因为D是AB的中点，所以CD＝12（CA＋CB），即2CD＝CA＋CB，所以CB＝2CD－CA，故选A.
3.已知向量a，b，若｜a｜＝2，｜b｜＝4，则｜a－b｜的取值范围是 [2，6] .
解析 由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜，得2≤｜a－b｜≤6.
4.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－（b－3a）共线，则λ＝ －13 .
解析 由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－（b－3a）]，所以λ＝－k，1=3k，解得k＝13，λ＝－13.
研透高考 明确方向
命题点1 平面向量的有关概念
例1 （1）下列说法正确的是（ B ）
A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B.若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形
C.a＝b的充要条件是｜a｜＝｜b｜且a∥b
D.已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
解析 A错误，两个向量是否相等只与模及方向有关，与位置无关；B正确，因为AB＝DC，所以｜AB｜＝｜DC｜且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当a∥b且｜a｜＝｜b｜时还可能是a＝－b，所以“｜a｜＝｜b｜且a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件；D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线.故选B.
（2）设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a｜a｜＝b｜b｜成立的充分条件是（ C ）
A.a＝－bB.a∥b
C.a＝2bD.a∥b且｜a｜＝｜b｜
解析 因为向量a｜a｜的方向与向量a的方向相同，向量b｜b｜的方向与向量b的方向相同，且a｜a｜＝b｜b｜，所以向量a与向量b的方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，a｜a｜＝2b｜2b｜＝b｜b｜，故a＝2b是a｜a｜＝b｜b｜成立的充分条件.
方法技巧
向量有关概念的关注点
（1）向量定义的关键是方向和长度.
（2）非零向量的平行具有传递性.
（3）平行向量即共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.
（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
（5）向量a｜a｜是与向量a同方向的单位向量.
训练1 下列说法正确的是（ B ）
A.相反向量就是方向相反的向量
B.a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则a∥c
C.若a与b共线，则a＝b或a＝－b
D.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝｜a｜a0
解析 对于A，相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，故A错误；对于C，若向量a与b共线，则a与b的方向相同或相反，但长度不一定相等，故C错误；对于D，a与
｜a｜a0的模相等，但方向不一定相同，故D错误；易知B正确.故选B.
命题点2 平面向量的线性运算
角度1 向量加、减法的几何意义
例2 （1）[多选]P是△ABC所在平面内一点，且满足｜PB－PC｜－｜PB＋PC－2PA｜＝0，则△ABC不可能是（ AD ）
A.钝角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
解析 设D为边BC的中点，则PB＋PC＝2PD，由已知有｜CB｜＝｜2PD－2PA｜＝
2｜AD｜，所以△ABC为直角三角形，故选AD.
（2）[全国卷Ⅰ]设a，b为单位向量，且｜a＋b｜＝1，则｜a－b｜＝ 3 .
解析 解法一 如图，四边形OACB为平行四边形，设OA＝a，OB＝b，利用平行四边形法则得OC＝a＋b，∵｜a｜＝｜b｜＝｜a＋b｜＝1，∴△OAC为正三角形，∴｜BA｜＝｜a－b｜＝2×32×｜a｜＝3.
解法二 ∵a，b为单位向量，且｜a＋b｜＝1，∴（a＋b）2＝1，∴1＋1＋2a·b＝1，
∴a·b＝－12，∴｜a－b｜2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×（－12）＝3，∴｜a－b｜＝3.
方法技巧
利用向量加、减法的几何意义解决问题的思路
（1）根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解；
（2）平面几何中，如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，那么可考虑利用向量知识来求解.
角度2 向量的线性运算
例3 [2022新高考卷Ⅰ]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB＝（ B ）
A.3m－2nB.－2m＋3n
C.3m＋2nD.2m＋3n
解析 因为BD＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3（CD－CA）＝－2CA＋3CD＝－2m＋3n.故选B.
方法技巧
向量的线性运算问题的求解策略
（1）利用三角形法则或平行四边形法则求解；
（2）利用相等向量、相反向量、共线向量以及三角形中位线等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
角度3 根据向量线性运算求参数
例4 在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝2DC，点O在线段CD上（与点C，D不重合）.若AO＝xAB＋（1－x）AC，则x的取值范围是（ C ）
A.（0，1）B.（23，1）C.（0，13）D.（13，23）
解析 设BO＝λBC，λ∈（23，1），则AO＝AB＋BO＝AB＋λBC＝（1－λ）AB＋λAC＝xAB＋（1－x）AC，则x＝1－λ∈（0，13）.故选C.
方法技巧
求参数问题可以通过向量的线性运算将向量表示出来，进行比较，构造方程（组）求解.
训练2 （1）[多选]在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC与BD相交于点O，则下列结论正确的是（ ABD ）
A.AC－AD＝12ABB.｜OA＋2OC｜＝0
C.OA＝23CD＋13CBD.AB＋BC＋CD＋DA＝0
解析 对于A，AC－AD＝DC＝12AB，故A正确.对于B，由题知COAO＝CDAB＝12，所以OA＋2OC＝0，故｜OA＋2OC｜＝0，故B正确.对于C，OA＝23CA＝23（CB－AB）＝23（CB＋2CD）＝23CB＋43CD，故C错误.对于D，AB＋BC＋CD＋DA＝AC＋CA＝0，故D正确.故选ABD.
（2）在△ABC中，AB＝2，BC＝33，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高.若AD＝λAB＋μAC，则λ－μ＝ 13 .
解析 如图，∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC.∵AB＝2，∠ABC＝30°，∴BD＝3＝13BC，∴AD＝AB＋BD＝AB＋13BC＝AB＋13（AC－AB）＝23AB＋13AC.
又AD＝λAB＋μAC，∴λ＝23，μ＝13，故λ－μ＝13.
命题点3 共线向量定理的应用
例5 （1）已知O为△ABC内一点，且AO＝12（OB＋OC），AD＝tAC，若B，O，D三点共线，则t＝（ B ）
A.14B.13C.12D.23
解析 设E是BC边的中点，则12（OB＋OC）＝OE，由题意得AO＝OE，所以AO＝12AE＝
14（AB＋AC）＝14AB＋14tAD，又因为B，O，D三点共线，所以14＋14t＝1，解得t＝13.故选B.
（2）[全国卷Ⅱ]设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝ 12 .
解析 因为λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ（a＋2b），即（λ－μ）a＋（1－2μ）b＝0.因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.
方法技巧
利用共线向量定理解题的策略
（1）利用a∥b⇔a＝λb（b≠0）求解.
（2）当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB，AC共线.
（3）若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
（4）OA＝λOB＋μOC（λ，μ为实数），若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
注意 OA＝λOB＋μOC中的三个向量的起点相同时，才有A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.
训练3 （1）已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，OA＝3e1＋2e2，OB＝4e1＋ke2，OC＝5e1－4e2，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ A ）
A.－1B.0C.1D.2
解析 解法一 因为OA＝3e1＋2e2，OB＝4e1＋ke2，OC＝5e1－4e2，所以AB＝OB－OA＝（4e1＋ke2）－（3e1＋2e2）＝e1＋（k－2）e2，AC＝OC－OA＝（5e1－4e2）－（3e1＋2e2）＝2e1－6e2，又A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ，使得AB＝λAC，即e1＋（k－2）e2＝λ（2e1－6e2），所以2λ=1，－6λ＝k－2，解得k＝－1，λ＝12，故选A.
解法二 根据题意，设OA＝xOB＋（1－x）OC，则3e1＋2e2＝[4x＋5（1－x）]e1＋[kx－
4（1－x）]e2，因为e1，e2是平面内两个不共线的向量，所以4x+5（1－x）=3，kx－4（1－x）=2，得x=2，k＝－1.故选A.
（2）[2023湖北天门中学、仙桃中学等校5月联考]如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，G为△ABC的重心，M，N分别为线段AB，AC上的动点，且M，N，G三点共线，若AM＝λAB（λ≠0），AN＝μAC（μ≠0），则λ＋4μ的最小值为（ B ）
A.32B.3C.2D.94
解析 由题意得AG＝23AD＝23×12（AB＋AC）＝13（AB＋AC）＝13（1λAM＋1μAN），由于M，N，G三点共线，故13λ＋13μ＝1.故λ＋4μ＝（λ＋4μ）（13λ＋13μ）＝53＋4μ3λ＋λ3μ≥53＋24μ3λ·λ3μ＝3，当且仅当4μ3λ＝λ3μ，即λ＝1，μ＝12时等号成立，故λ＋4μ的最小值为3，故选B.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.
4.掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.
5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
平面向量的有关概念
2022新高考卷ⅠT3
本讲命题热点为平面向量的线性运算、共线向量定理的应用，一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大.预计2025年高考命题稳定，备考时注意对向量的几何意义的理解和应用.
平面向量的线性运算
2022新高考卷ⅠT3；2020全国卷ⅠT14；2020新高考卷ⅡT3
共线向量定理的应用
名称
定义
备注
向量
既有① 大小 又有② 方向 的量；向量的大小叫做向量的长度（或③ 模 ）.
平面向量是自由向量.
零向量
长度为0的向量.
零向量记作0，其方向是④ 任意 的.
单位向量
长度等于1个单位长度的向量.
与非零向量a共线的单位向量为⑤ a｜a｜ 和⑥ －a｜a｜ .
平行向量（共线向量）
方向⑦ 相同或相反 的非零向量.
0与任意向量平行（共线）.
相等向量
长度⑧ 相等 且方向⑨ 相同 的向量.
相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量.
相反向量
长度相等且方向相反的两个向量.
若a，b互为相反向量，则a＝－b.
0的相反向量为0.
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算.
三角形法则平行四边形法则
（1）a＋b＝b＋a.
（2）（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差.
三角形法则
a－b＝a＋（－b）.
数乘
求实数λ与向量a的积的运算.
（1）｜λa｜＝｜λ｜｜a｜.
（2）当λ＞0时，λa与a的方向⑩ 相同 ；当λ＜0时，λa与a的方向⑪ 相反 ；当λ＝0时，λa＝0.
（1）λ（μa）＝λμa＝
μ（λa）.
（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa.
（3）λ（a＋b）＝λa＋λb.