备考2024届高考数学一轮复习讲义第七章立体几何与空间向量第2讲空间点直线平面之间的位置关系

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1.平面的基本性质
（1）三个基本事实
基本事实1 过① 不在一条直线上 的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3 如果两个不重合的平面② 有一个公共点 ，那么它们有且只有③ 一条 过该点的公共直线.
（2）三个推论
利用基本事实1和基本事实2，结合“两点确定一条直线”可得到以下推论.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条④ 相交 直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条⑤ 平行 直线，有且只有一个平面.
2.空间中直线间的位置关系
共面直线相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点.平行直线：在同一平面内，没有公共点.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
（1）过平面外一点A和平面内一点B的直线，与平面内不过点B的直线是异面直线；（2）异面直线既不平行，也不相交；（3）异面直线不具有传递性，即若直线a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c不一定是异面直线.
3.空间中直线、平面间的位置关系
说明 分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
1.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（ D ）
A.点AB.点B
C.点C但不过点MD.点C和点M
2.[多选]以下说法正确的是（ CD ）
A.若一条直线上有两个点到一个平面距离相等，则这条直线与该平面平行
B.若一个平面上有三个点到另一个平面距离相等，则这两个平面平行
C.若三条直线a，b，c两两平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面
D.不共面的四点中，任意三点都不共线
解析 对于A，直线也可能在平面内或与平面相交；对于B，两平面也可能相交；易知C，D正确.
3.[多选]如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（ CD ）
A.AF与CN平行B.BM与AN是异面直线
C.AF与BM是异面直线D.BN与DE是异面直线
解析 把正方体的平面展开图还原，如图，由正方体的结构特征可知，AF与CN是异面直线，故A错误；
BM与AN平行，故B错误；
BM⊂平面BCMF，F∈平面BCMF，A∉平面BCMF，F∉BM，故AF与BM是异面直线，故C正确；
DE⊂平面ADNE，N∈平面ADNE，B∉平面ADNE，N∉DE，故BN与DE是异面直线，故D正确.
研透高考 明确方向
命题点1 平面的基本性质及应用
例1 已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：（1）D，B，F，E四点共面.
（2）若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线.
（3）DE，BF，CC1三线交于一点.
解析 （1）如图所示，连接B1D1.由题意知EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.
（2）记A1，C，C1三点确定的平面为平面α，平面BDEF为平面β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点.同理，P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
（3）因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.
所以DE，BF，CC1三线交于一点.
方法技巧
1.证明点共线问题的常用方法
2.证明线共点问题的常用方法
先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.
3.证明点、直线共面问题的常用方法
训练1 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱CC1，AA1的中点.
（1）画出平面BED1F与平面ABCD的交线，并说明理由.
（2）设H为直线B1D与平面BED1F的交点，求证：B，H，D1三点共线.
解析 （1）如图1所示，直线PB为平面BED1F与平面ABCD的交线，理由如下：
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
因为DA⊂平面AA1D1D，D1F⊂平面AA1D1D，且DA与D1F不平行，图1
所以在平面AA1D1D内分别延长D1F，DA，则D1F与DA必相交于一点，不妨设为点P，所以P∈AD，P∈D1F.
因为DA⊂平面ABCD，D1F⊂平面BED1F，
所以P∈平面ABCD，P∈平面BED1F，
即P为平面ABCD和平面BED1F的公共点.
连接PB，又B为平面ABCD和平面BED1F的公共点，
所以直线PB为平面BED1F与平面ABCD的交线.
（2）如图2所示，连接BD1，BD，B1D1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
因为BB1∥DD1，且BB1＝DD1，
所以四边形BB1D1D为平行四边形.
因为H为直线B1D与平面BED1F的交点，所以H∈B1D， 图2
又B1D⊂平面BB1D1D，所以H∈平面BB1D1D，
又H∈平面BED1F，平面BED1F∩平面BB1D1D＝BD 1，
所以H∈BD1，
所以B，H，D1三点共线.
命题点2 空间直线、平面间的位置关系
例2 （1）[2023上海春季高考]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ B ）
A.DD1B.ACC.AD1D.B1C
解析 对于A，如图1，当点P为A1C1的中点时，连接B1D1，BD，则P在B1D1上，BP⊂平面BDD1B1，又DD1⊂平面BDD1B1，所以BP与DD1共面，故A错误；
图1图2
对于B，如图2，连接AC，易知AC⊂平面ACC1A1，BP⊄平面ACC1A1，且BP∩平面ACC1A1＝P，P不在AC上，所以BP与AC为异面直线，故B正确；当点P与点C1重合时，连接AD1，B1C（图略），由正方体的性质，易知BP∥AD1，BP与B1C相交，故C，D错误.故选B.
（2）[2023高三名校联考（一）]设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列说法正确的是（ B ）
A.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
B.若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α
C.若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n
D.若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m
解析 A选项，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l与α相交、平行或l⊂α，如图1，m∥n，且满足m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，但此时l与α斜交，故A错误；B选项，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，因为l⊥α，所以n⊥α，故B正确；C选项，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，因为l∥m，所以l∥n，故C错误；D选项，若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，如图2，满足m⊂α，n⊥α，l⊥n，但此时l与m异面，故D错误.故选B.
图1图2
方法技巧
1.判断空间直线、平面间的位置关系时，注意对平面的基本性质及有关定理的应用.
2.判断空间直线、平面间位置关系的命题的真假时，常借助几何模型（长方体、正方体）或实物（墙角、桌面等）.
3.注意反证法在判断空间两直线位置关系时的应用.
训练2 若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ D ）
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条直线相交
D.l至少与l1，l2中的一条直线相交
解析 解法一（反证法） 若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条直线相交.
解法二（模型法） 如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.
课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解4个基本事实和定理.
平面的基本性质及应用
2020新高考卷ⅠT16；2020全国卷ⅡT16；2020全国卷ⅢT19
该讲是立体几何的基础，主要以客观题的形式出现，考查平面的基本性质及应用（如作截面），线线位置关系的判定等，难度中等.在2025年高考备考中要侧重对基本性质的理解和应用.
空间直线、平面间的位置关系
2023上海春季T15；2021新高考卷ⅡT10；2019全国卷ⅢT8
图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
a∩α＝A
1个
平行
a∥α
0个
在平面内
a⊂α
⑥ 无数 个
平面与平面
平行
α∥β
⑦ 0 个
相交
α∩β＝l
无数个
基本事实法
先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本事实3证明这些点都在交线上.
纳入直线法
选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.
纳入平面法
先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.
辅助平面法
先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.