备考2024届高考数学一轮复习讲义第八章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系

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设圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则
常用结论
与圆的切线有关的结论
（1）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）上一点P（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；
（2）过圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）外一点P（x0，y0）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则P，A，B，C四点共圆，且AB所在直线的方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；
（3）若圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），则过圆外一点P（x0，y0）的切线长d＝（x0－a）2＋（y0－b）2－r2.
2.圆与圆的位置关系
（1）设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R，r（R＞r），则
（2）两圆相交时，公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 （*），圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 （**），若两圆相交，则两圆有一条公共弦，由（*）－（**），得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0 （***）.方程（***）表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程.
注意 （1）方程（***）存在的前提是两圆相交；（2）两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.
规律总结
圆系方程
1.[多选]下列说法正确的是（ AD ）
A.若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切
B.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交
C.“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件
D.过圆O：x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2
2.[易错题]若半径为1的圆C与圆（x＋1）2＋（y－2）2＝9相切，则圆C的圆心C的轨迹方程为 （x＋1）2＋（y－2）2＝16或（x＋1）2＋（y－2）2＝4 .
解析 若两圆外切，则点C与点（－1，2）间的距离为4，点C在以（－1，2）为圆心，4为半径的圆上，此时点C的轨迹方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝16；若两圆内切，则点C与点（－1，2）间的距离为2，点C在以（－1，2）为圆心，2为半径的圆上，此时点C的轨迹方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝4.
3.[易错题]已知圆C：x2＋y2＝9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为 x＝3或4x＋3y－15＝0 .
解析 由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，则切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，由｜k×0－0+1－3k｜k2＋（－1）2＝3，解得k＝－43，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0.
4.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为 x2＋y2－3x＋y－1＝0 .
解析 易知x2＋y2－2y－4＝0不符合题意，设所求圆的方程为x2+y2-4x+2y+λx2+y2-2y－4=0λ≠-1，
则（1＋λ）x2－4x＋（1＋λ）y2＋（2－2λ）y－4λ＝0，
把圆心坐标（21+λ，λ－11+λ）代入直线l的方程2x＋4y－1＝0，可得λ＝13，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
5.[浙江高考]已知直线y＝kx＋b（k＞0）与圆x2＋y2＝1和圆（x－4）2＋y2＝1均相切，则k＝ 33 ，b＝ -233 .
解析 解法一 因为直线y＝kx＋b（k＞0）与圆x2＋y2＝1，圆（x－4）2＋y2＝1都相切，所以｜b｜1+k2＝｜4k＋b｜1+k2＝1，得k＝33，b＝－233.
解法二 因为直线y＝kx＋b（k＞0）与圆x2＋y2＝1，圆（x－4）2＋y2＝1都相切，
所以直线y＝kx＋b必过两圆心连线的中点（2，0），
所以2k＋b＝0.设直线y＝kx＋b的倾斜角为θ，则sin θ＝12，又k＞0，所以θ＝π6，所以k＝tan π6＝33，b＝－2k＝－233.
研透高考 明确方向
命题点1 直线与圆的位置关系
例1 （1）[多选/2021新高考卷Ⅱ]已知直线l：ax＋by－r2＝0（r＞0）与圆C：x2＋y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（ ABD ）
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
解析 对于A，若点A（a，b）在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＝r，所以直线l与圆C相切，故A正确；对于B，若点A（a，b）在圆C内，则a2＋b2＜r2，所以圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＞r，所以直线l与圆C相离，故B正确；对于C，若点A（a，b）在圆C外，则a2＋b2＞r2，所以圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＜r，所以直线l与圆C相交，故C不正确；对于D，因为点A在直线l上，所以a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＝r，所以直线l与圆C相切，D正确.故选ABD.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]设点A（－2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，则a的取值范围是 [13,32] .
解析 解法一 由题意知点A（－2，3）关于直线y＝a的对称点为A'（－2，2a－3），所以kA'B＝3－a2，所以直线A'B的方程为y＝3－a2x＋a，即（3－a）x－2y＋2a＝0.由题意知直线A'B与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，易知圆心为（－3，－2），半径为1，所以｜－3（3－a）＋（－2）×（－2）+2a｜（3－a）2＋（－2）2≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得13≤a≤32，所以实数a的取值范围是[13，32].
解法二 设已知圆关于直线y＝a的对称圆为圆C，则易知圆心C（－3，2a＋2），半径r=1.
又直线AB的方程为y＝a－32x＋a，即（a－3）x－2y＋2a＝0.
于是，根据题意可知直线AB与圆C有公共点，从而可得|(a－3)(－3）－2（2a+2）+2a｜（a－3）2＋（－2）2≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得13≤a≤32.故所求a的取值范围是[13，32].
方法技巧
直线与圆的位置关系的判断方法
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中，若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离不易表达，则用代数法.
训练1 （1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是（ A ）
A.相交B.相切
C.相离D.不确定
解析 解法一（代数法） 由mx－y+1－m=0，x2＋（y－1）2=5，消去y，整理得（1＋m2）x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆C相交.
解法二（几何法） 由题意知，圆心C（0，1）到直线l的距离d＝｜m｜m2+1＜1＜5，故直线l与圆C相交.
解法三（点与圆的位置关系法） 直线l：mx－y＋1－m＝0过定点（1，1），因为点（1，1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，所以直线l与圆C相交.
（2）[2023重庆市调研质量抽测（一）]已知圆C：x2＋y2＝16上恰有3个点到直线l：y＝3x＋b（b＞0）的距离等于2，则b的值为 4 .
解析 如图，分别作直线l1，l2与直线l平行，且与直线l的距离均为2.圆C：x2＋y2＝16，则圆心坐标为（0，0），半径r＝4.圆心（0，0）到直线l：3x－y＋b＝0的距离d＝｜b｜2.因为圆C上恰有3个点到直线l的距离等于2，由图可知，圆C与l2相切，与l1有2个交点，（转化为圆C与直线l1，l2的位置关系）
则d+2=4，d－2<4，得｜b｜2=2，｜b｜2<6，又b＞0，所以b＝4.
命题点2 圆的弦长问题
例2 （1）[2023全国卷甲]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为5，C的一条渐近线与圆（x－2）2＋（y－3）2＝1交于A，B两点，则｜AB｜＝（ D ）
A.55B.255C.355D.455
解析 根据双曲线的离心率e＝5＝ca，得c＝5a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，b2a2＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交.
解法一 由y=2x，（x－2）2＋（y－3）2=1，得5x2－16x＋12＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝165，x1x2＝125.所以｜AB｜＝1+22｜x1－x2｜＝5×（165）2－4×125＝455，故选D.
解法二 则圆心（2，3）到渐近线y＝2x的距离d＝｜2×2－3｜22＋（－1）2＝55，所以｜AB｜＝21－d2＝21－（55）2＝455，故选D.
（2）[2023新高考卷Ⅱ]已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值 2（答案不唯一） .
解析 设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知☉C的圆心C（1，0），半径R＝2，C到直线l的距离d＝21+m2，（提示：点（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝｜Ax0＋By0＋C｜A2＋B2）｜AB｜＝2R2－d2＝24－（21+m2）2＝4｜m｜1+m2.由S△ABC＝85，得12×4｜m｜1+m2×21+m2＝85，整理得2m2－5｜m｜＋2＝0，解得m＝±2或m＝±12.
方法技巧
求解圆的弦长问题的方法
训练2 （1）[2021北京高考]已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k的值发生变化时，直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2，则m的值为（ C ）
A.±2B.±2C.±3D.±3
解析 解法一（几何法） 设直线l与y轴交于点A（0，m），由题意知，圆心C（0，0），当k的值发生变化时，要使直线l被圆C所截得的弦长最小，则圆心C到直线l的距离最大，为｜AC｜，即｜m｜＝22－12＝3，所以m＝±3.
解法二（代数法） 由x2＋y2=4，y＝kx＋m得（k2＋1）x2＋2kmx＋m2－4＝0.设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－2kmk2+1，x1x2＝m2－4k2+1.则｜AB｜＝1+k2｜x1－x2｜＝1+k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1+k2（－2kmk2+1）2－4·m2－4k2+1＝24－m2k2+1.
显然当k＝0时，弦长取得最小值24－m2＝2，解得m＝±3.
（2）[多选/2024南京市第五高级中学模拟]已知圆O：x2＋y2＝9，过点A（2，0）的直线l与圆O交于M，N两点，则（ BD ）
A.存在直线l，使得｜MN｜＝4
B.使得｜MN｜为整数的直线l有3条
C.存在直线l，使得△MON的面积为92
D.存在直线l，使得△MON的面积为934
解析 因为圆O的半径为3，｜OA｜＝2，所以232－22≤｜MN｜≤6，即25≤｜MN｜≤6，故A不正确.
若｜MN｜为整数，则｜MN｜＝5或｜MN｜＝6，且满足｜MN｜＝5的直线l有2条，满足｜MN｜＝6的直线有1条，故B正确.
S△MON＝12｜OM｜｜ON｜sin∠MON＝92sin∠MON，且点O到直线l的距离的最大值为2.
若S＝92，则sin∠MON＝1，则∠MON＝π2，则O到直线l的距离为3csπ4＝322＞2，不符合条件，故C不正确.
若S＝934，则sin∠MON＝32，则∠MON＝π3或2π3.若∠MON＝π3，则O到直线l的距离为3csπ6＝332＞2，不符合条件；若∠MON＝2π3，则O到直线l的距离为3csπ3＝32＜2，符合条件，故D正确.故选BD.
命题点3 圆的切线问题
例3 [2023新高考卷Ⅰ]过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（ B ）
A.1B.154C.104D.64
解析 如图，x2＋y2－4x－1＝0，即（x－2）2＋y2＝5，所以圆心坐标为（2，0），半径r＝5，所以圆心到点（0，－2）的距离为（2－0）2＋（0+2）2＝22，因为圆心与点（0，－2）的连线平分角α，所以sin α2＝r22＝522＝104，所以cs α2＝64，所以sinα=2sinα2csα2=2×104×64=154.故选B.
例4 已知点P（2＋1，2－2），点M（3，1），圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4.
（1）求过点P的圆C的切线方程；
（2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.
解析 由题意得圆心C（1，2），半径r＝2.
（1）∵（2＋1－1）2＋（2－2－2）2＝4，∴点P在圆C上.
又kPC＝2－2－22+1－1＝－1，∴切线的斜率k＝－1kPC＝1.
∴过点P的圆C的切线方程是y－（2－2）＝x－（2＋1），即x－y＋1－22＝0.
（2）∵（3－1）2＋（1－2）2＝5＞4，
∴点M在圆C外部.
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C（1，2）到直线x-3=0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，∴直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝｜k－2+1－3k｜k2+1＝r＝2，解得k＝34.
∴切线方程为y－1＝34（x－3），即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵｜MC｜＝（3－1）2＋（1－2）2＝5，
∴过点M的圆C的切线长为｜MC｜2－r2＝5－4＝1.
方法技巧
1.求过圆O上一点P（x0，y0）的切线l方程的方法
利用OP与l垂直及l过点P求切线方程.
2.求过圆外一点的切线方程的方法
注意 （1）求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系.（2）设直线方程时注意对斜率是否存在进行讨论.
3.过圆外一点M作圆的切线，求切线长的技巧
先求M与圆心的距离d，再由勾股定理求得切线长为d2－r2（其中r为圆的半径）.
训练3 （1）[2023重庆市二调]已知直线l：x－y＋8＝0与x轴交于点A，过直线l上的动点P作圆x2＋y2＝16的两条切线，切点分别为C，D，则直线CD恒过定点的坐标为 (-2，2) ；若M是线段CD的中点，则｜AM｜的最小值为 42 .
解析 解法一 设点P坐标为（x0，y0），O为坐标原点，连接OP，易证C，D两点在以OP为直径的圆上，故C，D两点为此圆与圆x2＋y2＝16的交点，由x2＋y2=16，（x－x02）2＋（y－y02）2＝14（x02＋y02),化简得x0x＋y0y＝16，此方程即直线CD的方程，又点P是直线l上的动点，所以y0＝x0＋8，所以直线CD的方程为x0x＋（x0＋8）y＝16，即x0（x＋y）＋8y＝16.当x＋y＝0，8y＝16时，y＝2，x＝－2.故直线CD过定点(-2，2).令定点为F，由OM⊥CD知，OM⊥MF，又｜OF｜＝22，所以点M在以OF为直径的圆上，其轨迹方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝2，设圆心为N，则N（－1，1）.又A（－8，0），｜AN｜＝（－1+8）2＋12＝52，故｜AM｜的最小值为52－2＝42.
解法二 依题意，设点P坐标为（x0，x0＋8），则CD：x0x＋（x0＋8）y＝16.（二级结论：从圆外一点P（x0，y0），引圆x2＋y2＝r2的两条切线，切点弦所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2）
后同解法一.
（2）[2021天津高考]若斜率为3的直线与y轴交于点A，与圆x2＋（y－1）2＝1相切于点B，则｜AB｜＝ 3 .
解析 设直线AB的方程为y＝3x＋b，则点A（0，b），由于直线AB与圆x2+y－12=1相切，且圆心为C（0，1），半径为1，则｜b－1｜2＝1，解得b＝－1或b＝3，所以｜AC｜＝2，因为｜BC｜＝1，所以｜AB｜＝｜AC｜2－｜BC｜2＝3.
命题点4 圆与圆的位置关系
角度1 圆与圆位置关系的判断
例5 [2023安徽省十校联考]已知直线l：mx＋y－3m－2＝0与圆M:x－52+y－42=25交于A，B两点，则当弦AB最短时，圆M与圆N：（x＋2m）2＋y2＝9的位置关系是（ B ）
A.内切B.外离C.外切D.相交
解析 易知直线l：mx＋y－3m－2＝0即m（x－3）＋y－2＝0，可知l过定点P（3，2），因为（3－5）2＋（2－4）2＜25，故P（3，2）在圆M：（x－5）2＋（y－4）2＝25内.故弦AB最短时直线l垂直于PM，又kPM＝4－25－3＝1，所以1×（－m）＝－1，解得m＝1，此时圆N的方程是（x＋2）2＋y2＝9.两圆圆心之间的距离｜MN｜=(5+2)2+(4－0)2=65，两圆半径分别为5，3，又65＞64＝5＋3，所以这两圆外离.故选B.
角度2 两圆的公切线问题
例6 [2022新高考卷Ⅰ]写出与圆x2＋y2＝1和（x－3）2＋（y－4）2＝16都相切的一条直线的方程 x＝－1（答案不唯一） .
解法一 如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O（0，0），半径r1＝1，圆（x－3）2＋（y－4）2＝16的圆心为A（3，4），半径r2＝4，所以｜OA｜＝5，r1＋r2＝5，所以｜OA｜＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1；②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称，易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝43x，由x＝－1，y＝43x，得x＝－1，y＝－43，由对称性可知公切线l2过点（－1，－43），设公切线l2的方程为y＋43＝k（x＋1），则点O（0，0）到l2的距离为1，所以1＝｜k－43｜k2+1，解得k＝724，所以公切线l2的方程为y＋43＝724（x＋1），即7x－24y－25＝0；③还有一条公切线l3与直线l：y＝43x垂直，设公切线l3的方程为y＝－34x＋t，易知t＞0，则点O（0，0）到l3的距离为1，所以1＝｜t｜（－34）2＋（－1）2，解得t＝54或t＝－54（舍去），所以公切线l3的方程为y＝－34x＋54，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x-24y-25=0或3x＋4y－5＝0.
解法二 若两圆公切线的斜率不存在，则设其方程为x＝m，由题意得｜m｜＝1，且｜m－3｜＝4，解得m＝－1，所以此时两圆公切线的方程为x＝－1.
若两圆公切线的斜率存在，则设其方程为y＝kx＋b，由题意得｜b｜k2+1＝1，｜3k－4+b｜k2+1＝4，
所以有｜3k－4＋b｜＝4｜b｜，所以可得3k－4＋b＝±4b，即b＝k－43或b＝45－35k.
将b＝k－43代入｜b｜k2+1＝1化简可得k＝724，b＝－2524；
将b＝45－35k代入｜b｜k2+1＝1化简可得k＝－34，b＝54.
则可得两圆公切线的方程为y＝724x－2524或y＝－34x＋54，
即7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
综上，可知两圆公切线的方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
角度3 两圆相交的公共弦问题
例7 圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为 x－2y＋4＝0 ，公共弦长为 25 .
解析 联立两圆的方程，得x2＋y2－2x+10y－24=0，x2＋y2+2x+2y－8=0，两式相减并整理得x－2y＋4＝0，所以两圆公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0.
解法一 设两圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点的坐标满足x－2y+4=0，x2＋y2+2x+2y－8=0，解得x1＝－4，y1=0或x2=0，y2=2.所以｜AB｜＝（0+4）2＋（2－0）2＝25，即公共弦长为25.
解法二 由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得（x－1）2＋（y＋5）2＝50，其圆心坐标为（1，－5），半径r＝52，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离d＝｜1－2×（－5）+4｜1+(－2）2＝35.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝（35）2＋l2，解得l＝5，故公共弦长2l＝25.
方法技巧
1.判断两圆的位置关系常用的方法是几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.两圆的公切线问题实质为直线与圆的相切问题，利用两圆圆心到公切线的距离分别等于两圆的半径列方程组求解.
3.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
训练4 （1）[2023湖南省六校联考]在平面直角坐标
系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（ B ）
A.0B.43C.34D.7
解析 圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，则圆C的标准方程为（x－4）2＋y2＝1，则圆C是以C（4，0）为圆心，1为半径的圆.若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则圆心C到直线y＝kx－2的距离d≤2，即｜4k－2｜k2+1≤2，解得0≤k≤43，即k的最大值为43.故选B.
（2）[多选/2023海南省文昌中学模拟]已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2+y2-2y-1=0的交点为A，B，直线l：x＋y＋λ＝0与圆O1交于C，D两点，则下列结论正确的是（ CD ）
A.直线AB的方程为x－y＋2＝0
B.圆O2上存在两点P和Q，使得｜PQ｜＞｜AB｜
C.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋2
D.若O1C⊥O1D，则λ＝－3或λ＝1
解析 圆O1的圆心为O1（1，0），半径r1＝2，圆O2的圆心为O2（0，1），半径r2＝2，所以｜O1O2｜＝（1－0）2＋（0－1）2＝2，r1－r2＜｜O1O2｜＜r1＋r2，所以两圆相交，所以将两圆的方程作差可得直线AB的方程，为x－y＋1＝0，故A错误；
圆心O1到直线AB的距离为d1＝22＝2，所以｜AB｜＝2r12－d12＝22，对于圆O2上的任意两点P，Q，｜PQ｜≤2r2＝｜AB｜，故B错误；
圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为d1＋r1＝2＋2，故C正确；
因为O1C⊥O1D，所以圆心O1到直线CD的距离为2，所以｜1+λ｜2＝2，故λ＝－3或λ＝1，故D正确.故选CD.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
直线与圆的位置关系
2022新高考卷ⅡT15；2021新高考卷ⅡT11；2021全国卷甲T20
本讲是高考的命题热点，主要考查：（1）直线与圆的位置关系的判断，圆与圆的位置关系的判断，切线问题，弦长问题；（2）将圆的方程及几何性质，直线与圆、圆与圆的位置关系作为研究圆锥曲线几何量的条件.主要以选择题、填空题的形式出现，也可能作为解答题的一部分考查，难度中等.在2025年高考的备考中重视常规考向的同时注意与圆锥曲线的综合命题.
圆的弦长问题
2023新高考卷ⅡT15；2023全国卷甲T8；2021北京T9
圆的切线问题
2023新高考卷ⅠT6；2022新高考卷ⅠT14；2022全国卷甲T14；2020全国卷ⅠT11；2019全国卷ⅢT21
圆与圆的位置关系
2022新高考卷ⅠT14
位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0
1
2
判定方法
代数法
Δ① ＜ 0
Δ② ＝ 0
Δ③ ＞ 0
几何法
d④ ＞ r
d⑤ ＝ r
d⑥ ＜ r
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图形
公共点个数
0
1
2
1
0
d，R，r的关系
⑦ d＞R＋r
⑧ d＝R＋r
⑨ R－r＜d＜R＋r
⑩ d＝R－r
⑪ d＜R－r
公切线条数
⑫ 4
⑬ 3
⑭ 2
⑮ 1
0
过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ∈R）.
过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程
x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）（该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意）.
几何法
由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.
代数法
联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，利用Δ判断.
点与圆的位置关系法
若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
几何法
设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则｜AB｜＝2r2－d2.在解决圆的弦长问题时，多用几何法.
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A（xA，yA），B（xB，yB）两点，则｜AB｜＝1+k2·｜xA－xB｜＝1+1k2｜yA－yB｜（其中k≠0）.特别地，当k＝0时，｜AB｜＝｜xA－xB｜；当斜率不存在时，｜AB｜＝｜yA－yB｜.
几何法
设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解.
代数法
设出直线方程，再与圆的方程联立，得到一个关于x或y的一元二次方程，利用Δ＝0求解.