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备考2024届高考数学一轮复习讲义第十章计数原理概率随机变量及其分布第2讲排列与组合
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第十章计数原理概率随机变量及其分布第2讲排列与组合，共8页。
注意 排列有序，组合无序.
2.排列数、组合数的定义、公式及性质（n，m∈N*，且m≤n）
说明 Cnm＝Cnn－m的应用主要是两个方面：一是简化运算，当m＞n2时，通常将计算Cnm转化为计算Cnn－m；二是列等式，由Cnx＝Cny可得x＝y或x＋y＝n.
1.5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有（ B ）
A.A85种B.C85种C.58种D.85种
解析 由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有C85种不同的放法.
2.[教材改编]从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（ B ）
A.12B.24C.64D.81
解析 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人1本，则不同的分配方法种数为A43=24.
3.[教材改编]某班举行了“弘扬中华文化”演讲比赛，有6人参加，并决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从回答分析，6人的名次排列情况可能有（ D ）
A.216种B.240种C.288种D.384种
解析 由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有4种可能性，乙不是最后一名，所以最后一名有4种可能性，所以6人的名次排列情况可能有4×4×A44＝384（种）.
4.[多选]下列说法正确的是（ BD ）
A.所有元素完全相同的两个排列为相同排列
B.两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同
C.若Cnx＝Cnm，则x＝m
D.An+1m＝Anm＋mAnm－1
5.[易错题]计算C73＋C74＋C85＋C96的值为 210 .（用数字作答）
解析 原式＝C84＋C85＋C96＝C95＋C96＝C106＝210.
6.若Cn+13＝Cn3＋Cn4，则n＝ 6 .
解析 ∵Cn+13＝Cn3＋Cn4＝Cn+14，∴n＋1＝3＋4，解得n＝6.
研透高考 明确方向
命题点1 排列问题
例1 有3名男生、4名女生.
（1）若排成前、后两排，前排3人，后排4人，则不同的排列方法总数为 5 040 .
（2）若全体排成一排，女生必须站在一起，则不同的排列方法总数为 576 .
（3）若全体排成一排，男生互不相邻，则不同的排列方法总数为 1 440 .
（4）若全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，则不同的排列方法总数为 3 600 .
（5）若全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排列方法总数为 3 720 .
（6）若全体排成一排，其中甲、乙、丙三人从左到右顺序一定，则不同的排列方法总数为 840 .
解析 （1）分两步完成，先选3人站前排，有A73种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A73·A44＝5 040（种）.
（2）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576（种）.
（3）先排女生，有A44种方法，然后在女生之间及首尾共5个空位中任选3个空位安排男生，有A53种方法，共有A44·A53＝1 440（种）.
（4）解法一 先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600（种）.
解法二 左、右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有A62种排法，剩下的5人有A55种排法，共有A62A55＝3 600（种）.
（5）解法一 甲在最右边时，其他人可全排列，有A66种方法；甲不在最右边时，因为甲也不在最左边，所以可从余下的5个位置中任选1个，有C51种，而乙可从除去最右边的位置后剩下的5个位置中任选1个，有C51种，其余人全排列，有A55种不同排法，共有A66＋C51C51A55＝3 720（种）.
解法二 7人全排列，有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形（A55种方法），故共有A77－2A66+A55＝3 720（种）.
（6）7人全排列，有A77种方法，由于甲、乙、丙的顺序一定，则不同的排列方法总数为A77A33=840.
方法技巧
求解排列问题的常用方法
训练1 （1）[2022新高考卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（ B ）
A.12种B.24种C.36种D.48种
解析 先将丙和丁捆在一起，有A22种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A33种排列方式，最后将甲插入中间两空，有2种排列方式，所以不同的排列方式共有2A22A33＝24（种），故选B.
（2）[2023济南市统考]由3个2，1个0，2个3组成的六位数中，满足有相邻4位恰好是2 023的六位数的个数为（ B ）
A.3B.6C.9D.24
解析 2 023用了2个2，1个0，1个3，还余下1个2，1个3，故将2 023视作一个整体与余下的1个2，1个3全排列，有A33＝6（种）不同的排法.故选B.
命题点2 组合问题
例2 （1）[多选]从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ CD ）
A.若4人全部为男生，则有30种不同的选法
B.若4人中男生、女生各有2人，则有30种不同的选法
C.若男生中的甲和女生中的乙被选，则有28种不同的选法
D.若男生中的甲和女生中的乙至少有1人被选，则有140种不同的选法
解析 4人全部为男生，选法有C64＝15（种），故A错误；如果4人中男生、女生各有2人，男生的选法有C62＝15（种），女生的选法有C42＝6（种），则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6＝90（种），B错误；如果男生中的甲和女生中的乙被选，在剩下的8人中再选2人即可，有C82＝28（种）不同的选法，故C正确；在10人中任选4人，有C104＝210（种）不同的选法，甲、乙都不在其中的选法有C84＝70（种），故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人被选的选法有210－70＝140（种），故D正确.
（2）[2023新高考卷Ⅰ]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 64 种（用数字作答）.
解析 解法一 由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有C41C41种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C41C42种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有C42C41种方案.综上，不同的选课方案共有C41C41＋C41C42＋C42C41＝64（种）.
解法二 若学生从这8门课中选修2门课，则有C82－C42－C42＝16（种）选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有C83－C43－C43＝48（种）选课方案.综上，不同的选课方案共有16＋48＝64（种）.
方法技巧
组合问题常见的两类题型
（1）“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由剩下的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.
（2）“至少”与“最多”的问题：解这类题的关键是理解“至少”与“最多”这两个词的含义，通常用直接法或间接法处理，分类复杂时，用间接法更容易处理.
训练2 （1）[2023福州5月质检]“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，龙舟比赛的划手分划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（ C ）
A.15种B.18种C.19种D.36种
解析 按照从全能者（既会划左桨又会划右桨）中选多少人参与划左桨分类：①2名全能者中选2人划左桨，有C22C22＝1（种）不同的选派方法；②2名全能者中选1人划左桨，有C21C21C32＝12（种）不同的选派方法；③2名全能者中选0人划左桨，有C22C42＝6（种）不同的选派方法.所以共有1＋12＋6＝19（种）不同的选派方法.故选C.
（2）[2023南京市、盐城市二模]编号为1，2，3，4的四位同学，就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每个座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学的编号和座位编号一致的坐法种数为 6 .
解析 先选择两位同学坐对编号，有C42种方法，余下的两位同学只能交叉坐，只有1种方法，故共有C42×1＝6（种）不同坐法.
命题点3 排列与组合的综合应用
角度1 有限制条件的排列、组合问题
例3 （1）[2023沈阳市质监]甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在最中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ C ）
A.24种B.36种C.72种D.96种
解析 如图所示，当甲在3的位置时，乙、丙可能排在（1，2），（4，5），（5，6），先从这三种中选出一种安排乙、丙，然后在剩下的3个位置安排余下的3人，所以不同的排队方法有C31A22A33＝36（种）；当甲在4的位置时，由对称性可知不同的排队方法也有36种.所以不同的排队方法共有36×2＝72（种），故选C.
（2）[2023重庆市名校联考]某校从8名教师中选派4名教师去4个偏远地区支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案的种数是 600 .（用数字作答）
解析 分为两步，第一步，先选4名教师，第一步又分两类，第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C52＝10（种）不同的选法；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C64＝15（种）不同的选法.所以选4名教师，不同的选法有10＋15＝25（种）.第二步，4名教师去4个偏远地区支教，有A44＝24（种）分配方法.所以不同的选派方案的种数是25×24＝600.
方法技巧
有限制条件的排列、组合问题的解题策略
（1）先分析每个限制条件，然后考虑是分类还是分步，对于分类过多的问题可以采用间接法；
（2）采用特殊元素（位置）优先原则，即先满足有限制条件的元素（位置），再考虑其他元素（位置）.
角度2 分组、分配问题
例4 （1）有5个大学保送名额，计划分到3个班级，每班至少一个名额，有 6 种不同的分法.
解析 一共有5个保送名额，分到3个班级，每个班级至少1个名额，即将名额分成3份，每份至少1个，（定份数）
将5个名额排成一列，中间有4个空，（定空位）
即只需在中间4个空中插入2个隔板，不同的方法共有C42＝6（种）.（插隔板）
（2）若将6名教师分到3所中学任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，则有 360 种不同的分法.
解析 先将6名教师分组，共有C61C52C33＝60（种）分法.
再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6（种）分法.
故不同的分法共有60×6＝360（种）.
（3）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有 1 560 种.（用数字作答）
解析 把6本不同的书分成4组，故有“3，1，1，1”和“2，2，1，1”两种不同的分组方法.
若按“3，1，1，1”的分组方法，则不同的分法共有C63C31C21C11A33＝20（种）.（有三组元素个数相同，因与顺序无关，故需除去重复情况）
若按“2，2，1，1”的分组方法，则不同的分法共有C62C42A22·C21C11A22＝45（种）.（四组元素中，分别有两组元素个数相同，分别为“2，2”和“1，1”，因与顺序无关，故需除去重复情况）
所以不同的分组方法共有20＋45＝65（种）.
然后把分好的4组书分给4个人，分法共有A44＝24（种），所以不同的分法共有65×24＝1 560（种）.
方法技巧
分组、分配问题的解题思路是先分组后分配.
1.常见的分组
注意 关于分组问题，应注意无论分成几组，只要其中某些组中的元素个数相等，就存在均分现象.
2.常见的分配
（1）相同元素的分配问题，常用“隔板法”求解.
（2）不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配.
（3）有限制条件的分配问题，采用分类讨论法或间接法求解.
训练3 （1）[多选/2023重庆八中模拟]将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A，B，C 3个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能被安排到1个社区，则下列选项正确的是（ BD ）
A.共有72种安排方法
B.若甲、乙被安排在同一个社区，则有6种安排方法
C.若A社区需要2名志愿者，则有24种安排方法
D.若甲被安排在A社区，则有12种安排方法
解析 对于A选项，将4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法种数为C42C21C11A22×A33＝36，所以A选项不正确.
对于B选项，甲、乙被安排在同一个社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，再把剩余2个社区进行全排列，所以安排方法种数为C31A22＝6，所以B选项正确.
对于C选项，A社区需要2名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，再把剩余2名志愿者进行全排列，所以安排方法种数为C42A22＝12，C选项不正确.
对于D选项，甲被安排在A社区，分为两种情况，（对甲安排在A社区进行分类讨论，讨论A社区是甲单独一人还是甲与另外一人）
第一种为A社区安排了2名志愿者，则从剩余3名志愿者中再选择1名，分到A社区，然后把剩余2名志愿者进行全排列，安排方法共有C31A22种；第二种是A社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为2组，再分配到剩余的2个社区中，此时安排方法有C32A22种.（这两组是不均匀分组，故不需除以任何数）
所以安排方法种数一共为C31A22＋C32A22＝12，D选项正确.故选BD.
（2）将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有 1 680 种.（用数字作答）
解析 先选出3人，有C93种选法，再从剩下的6人中选出3人，有C63种选法，最后剩下的3人为一组，有C33种选法.由分步乘法计数原理以及整体均匀分组方法，可知不同的安排方案共有C93C63C33A33·A33＝1 680（种）.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
排列问题
2022新高考卷ⅡT5
本讲每年必考，主要以实际问题为情境考查计数问题，有时单独命题，以小题为主，有时作为工具应用于概率的计算，以大题为主，难度中等偏易.预计2025年高考仍会以创新实际生活情境为载体进行命题.
组合问题
2023新高考卷ⅠT13；2023新高考卷ⅡT3；2020新高考卷ⅠT3
排列与组合的综合应用
2023全国卷甲T9；2021全国卷乙T6；2020全国卷ⅡT14
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素
并按照① 一定的顺序 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
组合
作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，用符号② Anm 表示.
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，用符号③ Cnm 表示.
公式
Anm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝n！（n－m)!.规定0！＝1.
Cnm＝AnmAmm＝n（n－1)(n－2）…（n－m+1）m！＝④ n！m!(n－m)! .规定Cn0＝1.
性质
Ann＝n！＝n×（n－1）×（n－2）×…×2×1；
Anm＝（n－m＋1）Anm－1＝nAn－1m－1.
Cnm＝Cnn－m；Cn+1m＝Cnm＋Cnm－1.
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算.
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置.
捆绑法
相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列.
插空法
不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列空位中.
定序问题
除法处理
定序问题，可先不考虑顺序限制进行排列，再除以定序元素的全排列.
间接法
正难则反，等价转化处理.
1
2
3
4
5
6
整体均匀分组
分组后一定要除以Ann（n为均分的组数），避免重复计数.
部分均匀分组
若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
不等分组
分组时任何组中元素的个数都不相等.
注意 排列有序，组合无序.
2.排列数、组合数的定义、公式及性质（n，m∈N*，且m≤n）
说明 Cnm＝Cnn－m的应用主要是两个方面：一是简化运算，当m＞n2时，通常将计算Cnm转化为计算Cnn－m；二是列等式，由Cnx＝Cny可得x＝y或x＋y＝n.
1.5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有（ B ）
A.A85种B.C85种C.58种D.85种
解析 由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有C85种不同的放法.
2.[教材改编]从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（ B ）
A.12B.24C.64D.81
解析 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人1本，则不同的分配方法种数为A43=24.
3.[教材改编]某班举行了“弘扬中华文化”演讲比赛，有6人参加，并决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从回答分析，6人的名次排列情况可能有（ D ）
A.216种B.240种C.288种D.384种
解析 由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有4种可能性，乙不是最后一名，所以最后一名有4种可能性，所以6人的名次排列情况可能有4×4×A44＝384（种）.
4.[多选]下列说法正确的是（ BD ）
A.所有元素完全相同的两个排列为相同排列
B.两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同
C.若Cnx＝Cnm，则x＝m
D.An+1m＝Anm＋mAnm－1
5.[易错题]计算C73＋C74＋C85＋C96的值为 210 .（用数字作答）
解析 原式＝C84＋C85＋C96＝C95＋C96＝C106＝210.
6.若Cn+13＝Cn3＋Cn4，则n＝ 6 .
解析 ∵Cn+13＝Cn3＋Cn4＝Cn+14，∴n＋1＝3＋4，解得n＝6.
研透高考 明确方向
命题点1 排列问题
例1 有3名男生、4名女生.
（1）若排成前、后两排，前排3人，后排4人，则不同的排列方法总数为 5 040 .
（2）若全体排成一排，女生必须站在一起，则不同的排列方法总数为 576 .
（3）若全体排成一排，男生互不相邻，则不同的排列方法总数为 1 440 .
（4）若全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，则不同的排列方法总数为 3 600 .
（5）若全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排列方法总数为 3 720 .
（6）若全体排成一排，其中甲、乙、丙三人从左到右顺序一定，则不同的排列方法总数为 840 .
解析 （1）分两步完成，先选3人站前排，有A73种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A73·A44＝5 040（种）.
（2）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576（种）.
（3）先排女生，有A44种方法，然后在女生之间及首尾共5个空位中任选3个空位安排男生，有A53种方法，共有A44·A53＝1 440（种）.
（4）解法一 先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600（种）.
解法二 左、右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有A62种排法，剩下的5人有A55种排法，共有A62A55＝3 600（种）.
（5）解法一 甲在最右边时，其他人可全排列，有A66种方法；甲不在最右边时，因为甲也不在最左边，所以可从余下的5个位置中任选1个，有C51种，而乙可从除去最右边的位置后剩下的5个位置中任选1个，有C51种，其余人全排列，有A55种不同排法，共有A66＋C51C51A55＝3 720（种）.
解法二 7人全排列，有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形（A55种方法），故共有A77－2A66+A55＝3 720（种）.
（6）7人全排列，有A77种方法，由于甲、乙、丙的顺序一定，则不同的排列方法总数为A77A33=840.
方法技巧
求解排列问题的常用方法
训练1 （1）[2022新高考卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（ B ）
A.12种B.24种C.36种D.48种
解析 先将丙和丁捆在一起，有A22种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A33种排列方式，最后将甲插入中间两空，有2种排列方式，所以不同的排列方式共有2A22A33＝24（种），故选B.
（2）[2023济南市统考]由3个2，1个0，2个3组成的六位数中，满足有相邻4位恰好是2 023的六位数的个数为（ B ）
A.3B.6C.9D.24
解析 2 023用了2个2，1个0，1个3，还余下1个2，1个3，故将2 023视作一个整体与余下的1个2，1个3全排列，有A33＝6（种）不同的排法.故选B.
命题点2 组合问题
例2 （1）[多选]从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ CD ）
A.若4人全部为男生，则有30种不同的选法
B.若4人中男生、女生各有2人，则有30种不同的选法
C.若男生中的甲和女生中的乙被选，则有28种不同的选法
D.若男生中的甲和女生中的乙至少有1人被选，则有140种不同的选法
解析 4人全部为男生，选法有C64＝15（种），故A错误；如果4人中男生、女生各有2人，男生的选法有C62＝15（种），女生的选法有C42＝6（种），则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6＝90（种），B错误；如果男生中的甲和女生中的乙被选，在剩下的8人中再选2人即可，有C82＝28（种）不同的选法，故C正确；在10人中任选4人，有C104＝210（种）不同的选法，甲、乙都不在其中的选法有C84＝70（种），故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人被选的选法有210－70＝140（种），故D正确.
（2）[2023新高考卷Ⅰ]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 64 种（用数字作答）.
解析 解法一 由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有C41C41种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C41C42种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有C42C41种方案.综上，不同的选课方案共有C41C41＋C41C42＋C42C41＝64（种）.
解法二 若学生从这8门课中选修2门课，则有C82－C42－C42＝16（种）选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有C83－C43－C43＝48（种）选课方案.综上，不同的选课方案共有16＋48＝64（种）.
方法技巧
组合问题常见的两类题型
（1）“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由剩下的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.
（2）“至少”与“最多”的问题：解这类题的关键是理解“至少”与“最多”这两个词的含义，通常用直接法或间接法处理，分类复杂时，用间接法更容易处理.
训练2 （1）[2023福州5月质检]“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，龙舟比赛的划手分划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（ C ）
A.15种B.18种C.19种D.36种
解析 按照从全能者（既会划左桨又会划右桨）中选多少人参与划左桨分类：①2名全能者中选2人划左桨，有C22C22＝1（种）不同的选派方法；②2名全能者中选1人划左桨，有C21C21C32＝12（种）不同的选派方法；③2名全能者中选0人划左桨，有C22C42＝6（种）不同的选派方法.所以共有1＋12＋6＝19（种）不同的选派方法.故选C.
（2）[2023南京市、盐城市二模]编号为1，2，3，4的四位同学，就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每个座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学的编号和座位编号一致的坐法种数为 6 .
解析 先选择两位同学坐对编号，有C42种方法，余下的两位同学只能交叉坐，只有1种方法，故共有C42×1＝6（种）不同坐法.
命题点3 排列与组合的综合应用
角度1 有限制条件的排列、组合问题
例3 （1）[2023沈阳市质监]甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在最中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ C ）
A.24种B.36种C.72种D.96种
解析 如图所示，当甲在3的位置时，乙、丙可能排在（1，2），（4，5），（5，6），先从这三种中选出一种安排乙、丙，然后在剩下的3个位置安排余下的3人，所以不同的排队方法有C31A22A33＝36（种）；当甲在4的位置时，由对称性可知不同的排队方法也有36种.所以不同的排队方法共有36×2＝72（种），故选C.
（2）[2023重庆市名校联考]某校从8名教师中选派4名教师去4个偏远地区支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案的种数是 600 .（用数字作答）
解析 分为两步，第一步，先选4名教师，第一步又分两类，第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C52＝10（种）不同的选法；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C64＝15（种）不同的选法.所以选4名教师，不同的选法有10＋15＝25（种）.第二步，4名教师去4个偏远地区支教，有A44＝24（种）分配方法.所以不同的选派方案的种数是25×24＝600.
方法技巧
有限制条件的排列、组合问题的解题策略
（1）先分析每个限制条件，然后考虑是分类还是分步，对于分类过多的问题可以采用间接法；
（2）采用特殊元素（位置）优先原则，即先满足有限制条件的元素（位置），再考虑其他元素（位置）.
角度2 分组、分配问题
例4 （1）有5个大学保送名额，计划分到3个班级，每班至少一个名额，有 6 种不同的分法.
解析 一共有5个保送名额，分到3个班级，每个班级至少1个名额，即将名额分成3份，每份至少1个，（定份数）
将5个名额排成一列，中间有4个空，（定空位）
即只需在中间4个空中插入2个隔板，不同的方法共有C42＝6（种）.（插隔板）
（2）若将6名教师分到3所中学任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，则有 360 种不同的分法.
解析 先将6名教师分组，共有C61C52C33＝60（种）分法.
再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6（种）分法.
故不同的分法共有60×6＝360（种）.
（3）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有 1 560 种.（用数字作答）
解析 把6本不同的书分成4组，故有“3，1，1，1”和“2，2，1，1”两种不同的分组方法.
若按“3，1，1，1”的分组方法，则不同的分法共有C63C31C21C11A33＝20（种）.（有三组元素个数相同，因与顺序无关，故需除去重复情况）
若按“2，2，1，1”的分组方法，则不同的分法共有C62C42A22·C21C11A22＝45（种）.（四组元素中，分别有两组元素个数相同，分别为“2，2”和“1，1”，因与顺序无关，故需除去重复情况）
所以不同的分组方法共有20＋45＝65（种）.
然后把分好的4组书分给4个人，分法共有A44＝24（种），所以不同的分法共有65×24＝1 560（种）.
方法技巧
分组、分配问题的解题思路是先分组后分配.
1.常见的分组
注意 关于分组问题，应注意无论分成几组，只要其中某些组中的元素个数相等，就存在均分现象.
2.常见的分配
（1）相同元素的分配问题，常用“隔板法”求解.
（2）不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配.
（3）有限制条件的分配问题，采用分类讨论法或间接法求解.
训练3 （1）[多选/2023重庆八中模拟]将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A，B，C 3个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能被安排到1个社区，则下列选项正确的是（ BD ）
A.共有72种安排方法
B.若甲、乙被安排在同一个社区，则有6种安排方法
C.若A社区需要2名志愿者，则有24种安排方法
D.若甲被安排在A社区，则有12种安排方法
解析 对于A选项，将4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法种数为C42C21C11A22×A33＝36，所以A选项不正确.
对于B选项，甲、乙被安排在同一个社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，再把剩余2个社区进行全排列，所以安排方法种数为C31A22＝6，所以B选项正确.
对于C选项，A社区需要2名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，再把剩余2名志愿者进行全排列，所以安排方法种数为C42A22＝12，C选项不正确.
对于D选项，甲被安排在A社区，分为两种情况，（对甲安排在A社区进行分类讨论，讨论A社区是甲单独一人还是甲与另外一人）
第一种为A社区安排了2名志愿者，则从剩余3名志愿者中再选择1名，分到A社区，然后把剩余2名志愿者进行全排列，安排方法共有C31A22种；第二种是A社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为2组，再分配到剩余的2个社区中，此时安排方法有C32A22种.（这两组是不均匀分组，故不需除以任何数）
所以安排方法种数一共为C31A22＋C32A22＝12，D选项正确.故选BD.
（2）将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有 1 680 种.（用数字作答）
解析 先选出3人，有C93种选法，再从剩下的6人中选出3人，有C63种选法，最后剩下的3人为一组，有C33种选法.由分步乘法计数原理以及整体均匀分组方法，可知不同的安排方案共有C93C63C33A33·A33＝1 680（种）.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
排列问题
2022新高考卷ⅡT5
本讲每年必考，主要以实际问题为情境考查计数问题，有时单独命题，以小题为主，有时作为工具应用于概率的计算，以大题为主，难度中等偏易.预计2025年高考仍会以创新实际生活情境为载体进行命题.
组合问题
2023新高考卷ⅠT13；2023新高考卷ⅡT3；2020新高考卷ⅠT3
排列与组合的综合应用
2023全国卷甲T9；2021全国卷乙T6；2020全国卷ⅡT14
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素
并按照① 一定的顺序 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
组合
作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，用符号② Anm 表示.
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，用符号③ Cnm 表示.
公式
Anm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝n！（n－m)!.规定0！＝1.
Cnm＝AnmAmm＝n（n－1)(n－2）…（n－m+1）m！＝④ n！m!(n－m)! .规定Cn0＝1.
性质
Ann＝n！＝n×（n－1）×（n－2）×…×2×1；
Anm＝（n－m＋1）Anm－1＝nAn－1m－1.
Cnm＝Cnn－m；Cn+1m＝Cnm＋Cnm－1.
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算.
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置.
捆绑法
相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列.
插空法
不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列空位中.
定序问题
除法处理
定序问题，可先不考虑顺序限制进行排列，再除以定序元素的全排列.
间接法
正难则反，等价转化处理.
1
2
3
4
5
6
整体均匀分组
分组后一定要除以Ann（n为均分的组数），避免重复计数.
部分均匀分组
若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
不等分组
分组时任何组中元素的个数都不相等.
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