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备考2024届高考数学一轮复习讲义第十章计数原理概率随机变量及其分布第3讲二项式定理
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第十章计数原理概率随机变量及其分布第3讲二项式定理，共8页。
辨析比较
二项式系数与项的系数的区别
（a＋bx）n的二项展开式中，二项式系数是指Cn0，Cn1，…，Cnn，其与a，b的值无关，如第k＋1项的二项式系数是Cnk；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，其与a，b的值有关，如第k＋1项的系数是Cnkan－kbk.
2.二项式系数的性质
1.[北京高考]在（x－2）5的展开式中，x2的系数为（ C ）
A.－5B.5C.－10D.10
解析 由二项式定理得（x－2）5的展开式的通项Tr＋1＝C5r（x）5－r（－2）r＝C5r-2rx5－r2，令5－r2＝2，得r＝1，所以T2＝C51（－2）x2＝－10x2，所以x2的系数-10，故选C.
2.[教材改编]在（x－y）10的展开式中，系数最小的项是（ C ）
A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项
解析 展开式共有11项，奇数项系数为正，偶数项系数为负，且第6项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项是第6项.
3.已知Cn0＋2Cn1＋22Cn3＋23Cn3＋…＋2nCnn＝243，则Cn1＋Cn2＋Cn3＋…＋Cnn＝（ A ）
A.31B.32C.15D.16
解析 逆用二项式定理得Cn0＋2Cn1＋22Cn2＋23Cn3＋…＋2nCnn＝（1＋2）n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以Cn1＋Cn2＋Cn3＋…＋Cnn＝25－1＝31.
4.[多选]下列说法正确的是（ CD ）
A.Cnkan－kbk是（a＋b）n展开式中的第k项
B.在二项展开式中，系数最大的项为中间的一项或中间的两项
C.在（a＋b）n的展开式中，每一项的二项式系数都与a，b无关
D.在（a＋b）n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同
5.[易错题]已知（2x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn（n∈N*），设（2x－1）n的展开式中所有项的二项式系数和为Sn，Tn＝a1＋a2＋…＋an（n∈N*），则S4＝ 16 ，T4＝ 0 .
解析 因为（2x－1）n展开式中所有项的二项式系数和为2n，（易混淆：（2x－1）n展开式的二项式系数和为Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n，系数和为a0＋a1＋a2＋…＋an）
所以Sn＝2n，S4＝16.令x＝0，则（－1）n＝a0，令x＝1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋an，所以Tn＝1－（－1）n，所以T4＝0.
研透高考 明确方向
命题点1 展开式中的特定项问题
角度1 形如（a＋b）n（n∈N*）的展开式中的特定项
例1 （1）[2023南京市中华中学检测]若2－x6＝a0+a11+x+a21+x2+…+a61+x6，则a4＝（ B ）
A.270B.135
C.－135D.－270
解析 （2－x）6＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a6（1＋x）6，以x－1代替x，得（3－x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，而（3－x）6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C6r36-r-xr=C6r36－r（－1）rxr，令r＝4，则a4＝C64×36－4×（－1）4＝135，故选B.
（2）[2023天津高考]在（2x3－1x）6的展开式中，x2的系数是 60 .
解析 解法一 二项式（2x3－1x）6的展开式的通项Tk＋1＝C6k（2x3）6－k（－1x）k=－1k26－kC6kx18-4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为（－1）4×22×C64＝60.
解法二 将二项式（2x3－1x）6看成6个多项式（2x3－1x）相乘，要想出现x2项，则先在6个多项式中选2个多项式取2x3，然后余下的多项式都取－1x，相乘，即C622x32×C44-1x4=60x2，所以x2的系数为60.
方法技巧
求形如（a＋b）n（n∈N*）的展开式中的特定项问题的步骤
角度2 形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展开式中的特定项
例2 （1）[2023沈阳市三检]（2x－3）2（1－1x）6的展开式中，含x－2项的系数为（ B ）
A.430B.435C.245D.240
解析 （1－1x）6的展开式的通项Tk＋1＝C6k（－1x）k＝（－1）kC6k1xk.（2x－3）2＝4x2－12x+9，当在多项式（4x2－12x＋9）中取4x2时，令k＝4，得4x2·（－1）4C641x4；当在多项式（4x2－12x＋9）中取－12x时，令k＝3，得－12x·（－1）3C631x3；当在多项式（4x2－12x＋9）中取9时，令k＝2，得9×（－1）2C621x2.所以含x－2项的系数为4×（－1）4C64＋（－12）×（－1）3C63＋9×（－1）2C62＝60＋240＋135＝435，故选B.
（2）[2022新高考卷Ⅰ]（1－yx）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为 －28 .（用数字作答）
解析 （x＋y）8的展开式的通项Tr＋1＝C8rx8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝C86x2y6，令r＝5，得T5＋1＝C85x3y5，所以（1－yx）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为C86－C85＝－28.
方法技巧
求形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展开式中特定项问题的步骤
角度3 形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展开式中的特定项
例3 （1）（x－y＋2）5的展开式中，x3y的系数为（ D ）
A.80B.40
C.－80D.－40
解析 解法一 （x－y＋2）5＝[x－（y－2）]5，其通项Tr＋1＝C5rx5－r（－1）r·（y－2）r，则展开式中含x3的项为C52x3（y－2）2，又（y－2）2的展开式中含y的项为（－2）C21y，所以（x－y＋2）5的展开式中，x3y的系数为C52·C21·（－2）＝－40，故选D.
解法二 要在展开式中得到x3y，可在5个“x－y＋2”中选3个“x”，1个“－y”，1个“2”，故x3y的系数为C53·C21（－1）1×2＝－40.
（2）（1＋2x－3x2）5的展开式中，x5的系数为 92 .
解析 （1＋2x－3x2）5＝（1－x）5（1＋3x）5，所以展开式中x5的系数为C50C5535＋C51（－1）C5434＋C52（－1）2C5333＋C53（－1）3C5232＋C54（－1）4C5131＋C55（－1）5C5030＝92.
方法技巧
求形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展开式中的特定项问题的方法
训练1 （1）已知（2x－a）（x＋2x）6的展开式中x2的系数为－240，则该展开式中的常数项为（ A ）
A.－640B.－320C.640D.320
解析 （x＋2x）6的展开式的通项为Tk＋1＝C6kx6－k·（2x）k＝C6k2kx6－2k.令6－2k＝2，得k＝2；令6－2k＝1，得k＝52，舍去.（注意：k取整数）
故（2x－a）（x＋2x）6的展开式中x2的系数为－aC62·22＝－240，得a＝4.
令6－2k＝－1，得k＝72，不符合题意，舍去；令6－2k＝0，得k＝3.故2x-4x+2x6的展开式中的常数项为－4×C63×23＝－640.
（2）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（ C ）
A.10B.20C.30D.60
解析 （x2＋x＋y）5表示5个因式（x2＋x＋y）的乘积，要得到含x5y2的项，只需从5个因式中选2个因式取x2，1个因式取x，其余2个因式取y即可，故x5y2的系数为C52C31C22＝30.
命题点2 二项式系数与项的系数的问题
角度1 二项展开式中的系数和问题
例4 [多选]已知（1－2x）2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则下列结论正确的是（ ACD ）
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 023
B.展开式中所有奇次项的系数的和为32023+12
C.展开式中所有偶次项的系数的和为32023－12
D.a12＋a222＋a323＋…＋a202322023＝－1
解析 对于A，（1－2x）2 023的展开式中所有项的二项式系数的和为22 023，故A正确；对于B，令f（x）＝（1－2x）2 023，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝f（1）＝－1，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝f（－1）＝32 023，所以展开式中所有奇次项的系数的和为f（1）－f（－1）2＝－32023+12，展开式中所有偶次项的系数的和为f（1）＋f（－1）2＝32023－12，故B错误，C正确；对于D，a0＝f（0）＝1，a12＋a222＋a323＋…＋a202322023＝f（12）－a0＝－1，故D正确.故选ACD.
方法技巧
应用赋值法求项的系数和问题
（1）对形如（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式中的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；求系数之差时，只需根据题目要求令x＝1，y＝－1或x＝－1，y＝1即可.
（2）对（a＋bx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令f（x）＝（a＋bx）n，则（a＋bx）n的展开式中各项系数之和为f（1），偶次项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）2，奇次项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－f（－1）2.
角度2 与二项展开式中的系数有关的最值问题
例5 （1）[全国卷Ⅰ]设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（ B ）
A.5B.6C.7D.8
解析 根据二项式系数的性质，知（x＋y）2m展开式中二项式系数的最大值为C2mm，而（x＋y）2m＋1展开式中二项式系数的最大值为C2m+1m，则C2mm＝a，C2m+1m＝b.又13a＝7b，所以13C2mm＝7C2m+1m，即13×（2m)!m！×m！＝7×（2m+1)!（m+1)!×m！，解得m＝6.
（2）已知（x＋124x）n（n≥2）的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中系数最大的项是 7x52和7x74 .
解析 展开式中前三项的系数分别是1，n2，18n（n－1），由题意知，2×n2＝1＋18n（n－1），解得n＝8或n＝1（舍去）.
于是展开式的通项Tk＋1＝C8k·（x）8－k·（124x）k＝C8k·2－k·x4－34k，所以第k＋1项的系数是C8k·2－k，第k项的系数是C8k－1·2－k＋1，第k＋2项的系数是C8k+1·2－k－1.若第k＋1项的系数最大，则C8k·2－k≥C8k－1·2－k＋1且C8k·2－k≥C8k+1·2－k－1，解得2≤k≤3.又k∈Z，因此k＝2或k＝3.故系数最大的项是T3＝C82·2－2·x4－34×2＝7x52和T4＝C83·2－3·x4－34×3＝7x74.
方法技巧
1.二项式系数最值的求法
当n是偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cnn2；当n是奇数时，第n+12项和第n+32项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cnn－12或Cnn+12.
2.项的系数最值的求法
设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，解不等式组Ak≥Ak－1，Ak≥Ak+1，求出k即可得结果.
训练2 （1）[多选]已知二项式（x－2x）8，则下列结论正确的是（ AB ）
A.第5项的二项式系数最大
B.所有项的系数之和为1
C.有且仅有第6项的系数的绝对值最大
D.展开式中共有4项有理项
解析 由题意知，展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项，A正确；所有项的系数和为（1－2）8＝1，B正确；Tr＋1＝C8rx8－r·（－2x）r＝（－2）rC8rx8－3r2，r＝0，1，2，…，8，显然r＝0，2，4，6，8时，Tr＋1是有理项，所以共有5项有理项，D错误；由2rC8r≥2r+1C8r+1，2rC8r≥2r－1C8r－1，得18－r≥2r+1，2r≥19－r，解得5≤r≤6，所以r＝5或r＝6，故第6项和第7项的系数的绝对值最大，C错误.故选AB.
（2）[2022浙江]已知多项式（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝ 8 ，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ －2 .
解析 由多项式展开式可知，a2＝2C42（－1）2＋C43（－1）3＝12－4＝8.令x＝0可得a0＝2，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.
命题点3 二项式定理的综合应用
例6 （1）利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是（ D ）
解析 1.056＝（1＋0.05）6＝C60＋C61×0.05＋C62×0.052＋C63×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.
（2）设a∈N，且0≤a＜26，若51 2 020＋a能被13整除，则a的值为（ D ）
A.0 B.11或0C.12D.12或25
解析 ∵512 020＋a＝（52－1）2 020＋a＝C20200522 020（－1）0＋C20201522 019（－1）1＋C20202522 018（－1）2＋…＋C20202019521·（－1）2 019＋C20202020（－1）2 020＋a，又52能被13整除，∴需使C20202020（－1）2 020＋a能被13整除，即1＋a能被13整除，∴1＋a＝13k，k∈Z，又0≤a＜26，∴a＝12或a＝25，故选D.
方法技巧
二项式定理应用的常见题型及解题策略
训练3 （1）设复数x＝2i1－i（i是虚数单位），则C20241x＋C20242x2＋C20243x3＋…＋C20242024x2 024=（ A ）
A.0B.－2 C.－1＋iD.－1－i
解析 x＝2i1－i＝2i（1+i）（1－i)(1+i）＝－1＋i，则C20241x＋C20242x2＋C20243x3＋…＋C20242024x2 024＝（1＋x）2 024－1＝i2 024－1＝1－1＝0.
（2）若（2x＋1）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3除以8的余数为 5 .
解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝3100.令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a100＝1，两式相减得2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）＝3100－1，则2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3＝3100－4.3100－4＝950－4＝（8＋1）50－4＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8＋C5050－4＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－3＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－8＋5，则C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－8＋5除以8的余数为5，即2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3除以8的余数为5.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
展开式中的特定项问题
2023天津T11；2022新高考卷ⅠT13；2020全国卷ⅠT8；2020全国卷ⅢT14；2020北京T3；2019全国卷ⅢT4
本讲是高考常考内容，主要考查二项展开式的通项，求常数项，求某项系数，求某些项的系数和等，主要以小题的形式出现，难度不大.预计2025年高考命题常规，备考时要掌握各种问题类型及其求解方法.
二项式系数与项的系数的问题
2022北京T8；2022浙江T12
二项式定理的综合应用
二项式定理
（a＋b）n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn，n∈N*.
二项展开式的通项
Tk＋1＝① Cnkan－kbk ，即为二项展开式的第k＋1项.
二项式系数
Cnk（k∈{0，1，2，…，n}）.
因式分解法
通过分解因式将三项式变成两个二项式的积的形式，然后用二项式定理分别展开.
逐层展开法
将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开，从而解决问题.
利用组合知识
把三项式（a＋b＋c）n（n∈N*）看成n个a＋b＋c的积，然后利用组合知识求解.
题型
解题策略
近似计算
先观察精确度，然后选取展开式中若干项求解.
证明整除问
题或求余数
将被除式（数）合理的变形，拆成二项式，使被除式（数）展开后的每一项都含有除式的因式.
逆用二项
式定理
根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，变形使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.
辨析比较
二项式系数与项的系数的区别
（a＋bx）n的二项展开式中，二项式系数是指Cn0，Cn1，…，Cnn，其与a，b的值无关，如第k＋1项的二项式系数是Cnk；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，其与a，b的值有关，如第k＋1项的系数是Cnkan－kbk.
2.二项式系数的性质
1.[北京高考]在（x－2）5的展开式中，x2的系数为（ C ）
A.－5B.5C.－10D.10
解析 由二项式定理得（x－2）5的展开式的通项Tr＋1＝C5r（x）5－r（－2）r＝C5r-2rx5－r2，令5－r2＝2，得r＝1，所以T2＝C51（－2）x2＝－10x2，所以x2的系数-10，故选C.
2.[教材改编]在（x－y）10的展开式中，系数最小的项是（ C ）
A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项
解析 展开式共有11项，奇数项系数为正，偶数项系数为负，且第6项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项是第6项.
3.已知Cn0＋2Cn1＋22Cn3＋23Cn3＋…＋2nCnn＝243，则Cn1＋Cn2＋Cn3＋…＋Cnn＝（ A ）
A.31B.32C.15D.16
解析 逆用二项式定理得Cn0＋2Cn1＋22Cn2＋23Cn3＋…＋2nCnn＝（1＋2）n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以Cn1＋Cn2＋Cn3＋…＋Cnn＝25－1＝31.
4.[多选]下列说法正确的是（ CD ）
A.Cnkan－kbk是（a＋b）n展开式中的第k项
B.在二项展开式中，系数最大的项为中间的一项或中间的两项
C.在（a＋b）n的展开式中，每一项的二项式系数都与a，b无关
D.在（a＋b）n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同
5.[易错题]已知（2x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn（n∈N*），设（2x－1）n的展开式中所有项的二项式系数和为Sn，Tn＝a1＋a2＋…＋an（n∈N*），则S4＝ 16 ，T4＝ 0 .
解析 因为（2x－1）n展开式中所有项的二项式系数和为2n，（易混淆：（2x－1）n展开式的二项式系数和为Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n，系数和为a0＋a1＋a2＋…＋an）
所以Sn＝2n，S4＝16.令x＝0，则（－1）n＝a0，令x＝1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋an，所以Tn＝1－（－1）n，所以T4＝0.
研透高考 明确方向
命题点1 展开式中的特定项问题
角度1 形如（a＋b）n（n∈N*）的展开式中的特定项
例1 （1）[2023南京市中华中学检测]若2－x6＝a0+a11+x+a21+x2+…+a61+x6，则a4＝（ B ）
A.270B.135
C.－135D.－270
解析 （2－x）6＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a6（1＋x）6，以x－1代替x，得（3－x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，而（3－x）6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C6r36-r-xr=C6r36－r（－1）rxr，令r＝4，则a4＝C64×36－4×（－1）4＝135，故选B.
（2）[2023天津高考]在（2x3－1x）6的展开式中，x2的系数是 60 .
解析 解法一 二项式（2x3－1x）6的展开式的通项Tk＋1＝C6k（2x3）6－k（－1x）k=－1k26－kC6kx18-4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为（－1）4×22×C64＝60.
解法二 将二项式（2x3－1x）6看成6个多项式（2x3－1x）相乘，要想出现x2项，则先在6个多项式中选2个多项式取2x3，然后余下的多项式都取－1x，相乘，即C622x32×C44-1x4=60x2，所以x2的系数为60.
方法技巧
求形如（a＋b）n（n∈N*）的展开式中的特定项问题的步骤
角度2 形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展开式中的特定项
例2 （1）[2023沈阳市三检]（2x－3）2（1－1x）6的展开式中，含x－2项的系数为（ B ）
A.430B.435C.245D.240
解析 （1－1x）6的展开式的通项Tk＋1＝C6k（－1x）k＝（－1）kC6k1xk.（2x－3）2＝4x2－12x+9，当在多项式（4x2－12x＋9）中取4x2时，令k＝4，得4x2·（－1）4C641x4；当在多项式（4x2－12x＋9）中取－12x时，令k＝3，得－12x·（－1）3C631x3；当在多项式（4x2－12x＋9）中取9时，令k＝2，得9×（－1）2C621x2.所以含x－2项的系数为4×（－1）4C64＋（－12）×（－1）3C63＋9×（－1）2C62＝60＋240＋135＝435，故选B.
（2）[2022新高考卷Ⅰ]（1－yx）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为 －28 .（用数字作答）
解析 （x＋y）8的展开式的通项Tr＋1＝C8rx8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝C86x2y6，令r＝5，得T5＋1＝C85x3y5，所以（1－yx）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为C86－C85＝－28.
方法技巧
求形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展开式中特定项问题的步骤
角度3 形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展开式中的特定项
例3 （1）（x－y＋2）5的展开式中，x3y的系数为（ D ）
A.80B.40
C.－80D.－40
解析 解法一 （x－y＋2）5＝[x－（y－2）]5，其通项Tr＋1＝C5rx5－r（－1）r·（y－2）r，则展开式中含x3的项为C52x3（y－2）2，又（y－2）2的展开式中含y的项为（－2）C21y，所以（x－y＋2）5的展开式中，x3y的系数为C52·C21·（－2）＝－40，故选D.
解法二 要在展开式中得到x3y，可在5个“x－y＋2”中选3个“x”，1个“－y”，1个“2”，故x3y的系数为C53·C21（－1）1×2＝－40.
（2）（1＋2x－3x2）5的展开式中，x5的系数为 92 .
解析 （1＋2x－3x2）5＝（1－x）5（1＋3x）5，所以展开式中x5的系数为C50C5535＋C51（－1）C5434＋C52（－1）2C5333＋C53（－1）3C5232＋C54（－1）4C5131＋C55（－1）5C5030＝92.
方法技巧
求形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展开式中的特定项问题的方法
训练1 （1）已知（2x－a）（x＋2x）6的展开式中x2的系数为－240，则该展开式中的常数项为（ A ）
A.－640B.－320C.640D.320
解析 （x＋2x）6的展开式的通项为Tk＋1＝C6kx6－k·（2x）k＝C6k2kx6－2k.令6－2k＝2，得k＝2；令6－2k＝1，得k＝52，舍去.（注意：k取整数）
故（2x－a）（x＋2x）6的展开式中x2的系数为－aC62·22＝－240，得a＝4.
令6－2k＝－1，得k＝72，不符合题意，舍去；令6－2k＝0，得k＝3.故2x-4x+2x6的展开式中的常数项为－4×C63×23＝－640.
（2）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（ C ）
A.10B.20C.30D.60
解析 （x2＋x＋y）5表示5个因式（x2＋x＋y）的乘积，要得到含x5y2的项，只需从5个因式中选2个因式取x2，1个因式取x，其余2个因式取y即可，故x5y2的系数为C52C31C22＝30.
命题点2 二项式系数与项的系数的问题
角度1 二项展开式中的系数和问题
例4 [多选]已知（1－2x）2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则下列结论正确的是（ ACD ）
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 023
B.展开式中所有奇次项的系数的和为32023+12
C.展开式中所有偶次项的系数的和为32023－12
D.a12＋a222＋a323＋…＋a202322023＝－1
解析 对于A，（1－2x）2 023的展开式中所有项的二项式系数的和为22 023，故A正确；对于B，令f（x）＝（1－2x）2 023，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝f（1）＝－1，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝f（－1）＝32 023，所以展开式中所有奇次项的系数的和为f（1）－f（－1）2＝－32023+12，展开式中所有偶次项的系数的和为f（1）＋f（－1）2＝32023－12，故B错误，C正确；对于D，a0＝f（0）＝1，a12＋a222＋a323＋…＋a202322023＝f（12）－a0＝－1，故D正确.故选ACD.
方法技巧
应用赋值法求项的系数和问题
（1）对形如（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式中的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；求系数之差时，只需根据题目要求令x＝1，y＝－1或x＝－1，y＝1即可.
（2）对（a＋bx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令f（x）＝（a＋bx）n，则（a＋bx）n的展开式中各项系数之和为f（1），偶次项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）2，奇次项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－f（－1）2.
角度2 与二项展开式中的系数有关的最值问题
例5 （1）[全国卷Ⅰ]设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（ B ）
A.5B.6C.7D.8
解析 根据二项式系数的性质，知（x＋y）2m展开式中二项式系数的最大值为C2mm，而（x＋y）2m＋1展开式中二项式系数的最大值为C2m+1m，则C2mm＝a，C2m+1m＝b.又13a＝7b，所以13C2mm＝7C2m+1m，即13×（2m)!m！×m！＝7×（2m+1)!（m+1)!×m！，解得m＝6.
（2）已知（x＋124x）n（n≥2）的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中系数最大的项是 7x52和7x74 .
解析 展开式中前三项的系数分别是1，n2，18n（n－1），由题意知，2×n2＝1＋18n（n－1），解得n＝8或n＝1（舍去）.
于是展开式的通项Tk＋1＝C8k·（x）8－k·（124x）k＝C8k·2－k·x4－34k，所以第k＋1项的系数是C8k·2－k，第k项的系数是C8k－1·2－k＋1，第k＋2项的系数是C8k+1·2－k－1.若第k＋1项的系数最大，则C8k·2－k≥C8k－1·2－k＋1且C8k·2－k≥C8k+1·2－k－1，解得2≤k≤3.又k∈Z，因此k＝2或k＝3.故系数最大的项是T3＝C82·2－2·x4－34×2＝7x52和T4＝C83·2－3·x4－34×3＝7x74.
方法技巧
1.二项式系数最值的求法
当n是偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cnn2；当n是奇数时，第n+12项和第n+32项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cnn－12或Cnn+12.
2.项的系数最值的求法
设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，解不等式组Ak≥Ak－1，Ak≥Ak+1，求出k即可得结果.
训练2 （1）[多选]已知二项式（x－2x）8，则下列结论正确的是（ AB ）
A.第5项的二项式系数最大
B.所有项的系数之和为1
C.有且仅有第6项的系数的绝对值最大
D.展开式中共有4项有理项
解析 由题意知，展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项，A正确；所有项的系数和为（1－2）8＝1，B正确；Tr＋1＝C8rx8－r·（－2x）r＝（－2）rC8rx8－3r2，r＝0，1，2，…，8，显然r＝0，2，4，6，8时，Tr＋1是有理项，所以共有5项有理项，D错误；由2rC8r≥2r+1C8r+1，2rC8r≥2r－1C8r－1，得18－r≥2r+1，2r≥19－r，解得5≤r≤6，所以r＝5或r＝6，故第6项和第7项的系数的绝对值最大，C错误.故选AB.
（2）[2022浙江]已知多项式（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝ 8 ，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ －2 .
解析 由多项式展开式可知，a2＝2C42（－1）2＋C43（－1）3＝12－4＝8.令x＝0可得a0＝2，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.
命题点3 二项式定理的综合应用
例6 （1）利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是（ D ）
解析 1.056＝（1＋0.05）6＝C60＋C61×0.05＋C62×0.052＋C63×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.
（2）设a∈N，且0≤a＜26，若51 2 020＋a能被13整除，则a的值为（ D ）
A.0 B.11或0C.12D.12或25
解析 ∵512 020＋a＝（52－1）2 020＋a＝C20200522 020（－1）0＋C20201522 019（－1）1＋C20202522 018（－1）2＋…＋C20202019521·（－1）2 019＋C20202020（－1）2 020＋a，又52能被13整除，∴需使C20202020（－1）2 020＋a能被13整除，即1＋a能被13整除，∴1＋a＝13k，k∈Z，又0≤a＜26，∴a＝12或a＝25，故选D.
方法技巧
二项式定理应用的常见题型及解题策略
训练3 （1）设复数x＝2i1－i（i是虚数单位），则C20241x＋C20242x2＋C20243x3＋…＋C20242024x2 024=（ A ）
A.0B.－2 C.－1＋iD.－1－i
解析 x＝2i1－i＝2i（1+i）（1－i)(1+i）＝－1＋i，则C20241x＋C20242x2＋C20243x3＋…＋C20242024x2 024＝（1＋x）2 024－1＝i2 024－1＝1－1＝0.
（2）若（2x＋1）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3除以8的余数为 5 .
解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝3100.令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a100＝1，两式相减得2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）＝3100－1，则2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3＝3100－4.3100－4＝950－4＝（8＋1）50－4＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8＋C5050－4＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－3＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－8＋5，则C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－8＋5除以8的余数为5，即2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3除以8的余数为5.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
展开式中的特定项问题
2023天津T11；2022新高考卷ⅠT13；2020全国卷ⅠT8；2020全国卷ⅢT14；2020北京T3；2019全国卷ⅢT4
本讲是高考常考内容，主要考查二项展开式的通项，求常数项，求某项系数，求某些项的系数和等，主要以小题的形式出现，难度不大.预计2025年高考命题常规，备考时要掌握各种问题类型及其求解方法.
二项式系数与项的系数的问题
2022北京T8；2022浙江T12
二项式定理的综合应用
二项式定理
（a＋b）n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn，n∈N*.
二项展开式的通项
Tk＋1＝① Cnkan－kbk ，即为二项展开式的第k＋1项.
二项式系数
Cnk（k∈{0，1，2，…，n}）.
因式分解法
通过分解因式将三项式变成两个二项式的积的形式，然后用二项式定理分别展开.
逐层展开法
将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开，从而解决问题.
利用组合知识
把三项式（a＋b＋c）n（n∈N*）看成n个a＋b＋c的积，然后利用组合知识求解.
题型
解题策略
近似计算
先观察精确度，然后选取展开式中若干项求解.
证明整除问
题或求余数
将被除式（数）合理的变形，拆成二项式，使被除式（数）展开后的每一项都含有除式的因式.
逆用二项
式定理
根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，变形使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.
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