山东省烟台蓬莱市（五四制）2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省烟台蓬莱市（五四制）2020-2021学年九年级上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等B．相等的弧所对的圆心角相等
C．相等的弦所对的弦心距相等D．弦心距相等，则弦相等
2．一斜坡的坡度是 1：3 ，则此斜坡的坡角是（ ）
A．15ºB．30ºC．45ºD．60º
3．函数的自变量x满足 12 ≤x≤2时，函数值y满足 14 ≤y≤1，则这个函数可以是（ ）
A．y= 12xB．y= 2xC．y= 18xD．y= 8x
4．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是（ ）
A．1米B．5米C．6米D．7米
5．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cs∠AOB的值为（ ）
A．12B．22C．32D．33
6．如图，点 A 在双曲线 y=1x 上，点 B 在双曲线 y=3x 上，且 AB // x 轴， C 、 D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．点 P1(−2，y1)，P2(0，y2)，P3(2，y3) 均在二次函数 y=−x2−x+c 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ）
A．y18．如图， AB 为⊙ O 的直径， C 为半圆的中点，动点 D 从点 A 出发在圆周上顺时针匀速运动，到达点 B 后停止运动，在点 D 运动过程中（不包括 A 、 B 两点）， ∠ADC 的值（ ）
A．由小逐渐增大B．固定不变为45°
C．由大逐渐减小D．固定不变为60°
9．连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法错误的是（ ）
A．四边形 AFGH 与四边形 CFED 的面积相等
B．连接 BF ，则 BF 分别平分 ∠AFC 和 ∠ABC
C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．ΔACF 是等边三角形
10．若点 A(a−1,y1) ， B(a+1,y2) 在反比例函数 y=kx(k<0) 的图象上，且 y1>y2 ，则a的取值范围是（ ）
A．a<−1B．−1C．a>1D．a<−1 或 a>1
11．如图，将边长为3的正方形铁丝框ABCD，变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ADB的面积为（ ）
A．3B．6C．9D．3π
12．如图，二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与x油交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线 x=−1 ，点B的坐标为 (1，0) ，则下列结论：①线段 AB=4 ；②b2−4ac>0 ；③ab<0 ；④a2−ab+c<0 ．其中正确的结论是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．如图， △ABC 中， csB=22 ， sinC=35 ， AC=5 ，则 △ABC 的面积是 ．
14．已知抛物线 y=ax2−2ax+c 与x轴一个交点的坐标为 (−1，0) ，则一元二次方程 ax2−2ax+c=0 的根为 ．
15．如图，直线 AB 与 ⊙O 相切于点 A ， AC 、 CD 是 ⊙O 的两条弦，且 CD∥AB ．若 ⊙O 的半径为5， CD=8 ，则弦 AC 的长为 ．
16．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．
17．如图，在 △ABC 中， ∠ACB=45°，∠BAC=30° ，过点A，C的圆的圆心在边 AB 上，点M是优弧 AC （不与点A，C重合）上的一点，则 ∠AMC= ° ．
18．如图，边长为n的正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点，连结A1B1，A2B2，…An﹣1Bn﹣1，分别交曲线 y=n−2x （x＞0）于点C1，C2，…，Cn﹣1．若C15B15=16C15A15，则n的值为 ．（n为正整数）
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在函数y= （k>0，x>0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y= （k>0，x>0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．
20．从2021年起，江苏省高考采用“ 3+1+2 ”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科.
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 ；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2中选化学、生物的概率.
21．根据图中所给信息，解出下图中未知数 x 、 y 的值．
22．如图，小明站在河岸上的点G处看见河里有一只小船C沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是 30° ，若小明的眼睛与地面的距离是 1.5m ， BG=1m ， BG 平行于 AC ，迎水坡的坡度 i=4：3 ，坡长 AB=10m ，求小船C到岸边的距离 CA 的长．（参考数据： 3=1.7 ，结果保留一位小数）
23．某公司计划投资 A 、 B 两种产品，若只投资 A 产品，所获得利润 WA （万元）与投资金额 x （万元）之间的关系如图所示，若只投资 B 产品，所获得利润 WB （万元）与投资金额 x （万元）的函数关系式为 WB=−15x2+nx+300 ．
（1）求 WA 与 x 之间的函数关系式；
（2）若投资 A 产品所获得利润的最大值比投资 B 产品所获得利润的最大值少140万元，求 n 的值；
（3）该公司筹集 50 万元资金，同时投资 A 、 B 两种产品，设投资 B 产品的资金为 a 万元，所获得的总利润记作 Q 万元，若 a≥30 时， Q 随 a 的增大而减少，求 n 的取值范围．
24．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．
（1）求证：MN是⊙O的切线．
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．
①求证：FD＝FG．
②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．
25．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不符合题意；
B、相等的弧所对的圆心角相等，符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，弦心距相等，则弦相等，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系进行判断即可。
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设坡角为 α ，由题意知：tan α ＝ 13=33 ，
∴∠ α ＝30°．
即斜坡的坡角为30°．
故答案为：B．
【分析】坡度等于坡角的正切值，依此求出坡角的度数。
3．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、把x= 12 代入y= 12x 可得y=1，把x=2代入y= 12x 可得y= 14 ，故A正确；
B、把x= 12 代入y= 2x 可得y=4，把x=2代入y= 2x 可得y=1，故B错误；
C、把x= 12 代入y= 18x 可得y= 14 ，把x=2代入y= 18x 可得y= 116 ，故C错误；
D、把x= 12 代入y= 8x 可得y=16，把x=2代入y= 8x 可得y=4，故D错误．
故选：A．
【分析】把x= 12 代入四个选项中的解析式可得y的值，再把x=2代入解析式可得y的值，然后可得答案．
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵高度h和飞行时间t 满足函数关系式：h=-5（t-1）2+6，
∴当t=1时，小球距离地面高度最大，
∴h=-5×（1-1）2+6=6米，
故答案为：C
【分析】此函数关系式为二次函数的顶点式，因此函数顶点为（1，6），开口向下，所以小球距离地面的最大高度是6.
5．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，
根据勾股定理，AO=22+42=25，
AC=12+32=10，
OC=12+32=10，
所以，AO2=AC2+OC2=20，
所以，△AOC是直角三角形，
cs∠AOB=OCAO=1025=22．
故选B．
【分析】找出OB边上的格点C，连接AC，利用勾股定理求出AO、AC、CO的长度，再利用勾股定理逆定理证明△AOC是直角三角形，然后根据余弦=计算即可得解．
6．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线y= 1x 上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线y= 3x 上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为3，
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3−1=2.
故答案为：B.
【分析】过A点作AE⊥y轴，垂足为E，因为点A在双曲线y= 1x 上，得出四边形AEOD的面积为1，由点B在双曲线y= 3x 上，且AB∥x轴，得出四边形BEOC的面积为3，即可得出四边形ABCD的面积。
7．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ∵ 抛物线为： y=−x2−x+c ，
∴ 抛物线的对称轴为： x=−−12×(−1)=−12，
∵a=−1 ＜ 0，
∴ 图像的开口向下，
当 x ＞ −12 时， y 随 x 的增大而减小，
∵−12−(−2)=−12+2=32，
∴−12+32=1，
∴P1(−2，y1)，P4(1，y1) 关于直线 x=−12 对称，
∵0 ＜ 1 ＜ 2，
∴y2 ＞ y1 ＞ y3，
故答案为：D
【分析】先求解抛物线的对称轴，再根据开口方向判断函数的增减性，确定P1(−2，y1) 关于对称轴的对称点，再利用二次函数的增减性可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接 OC ，
∵ 点 C 是半圆的中点，
∴∠AOC=90° ，
∵ 点 D 在 AB 间运动， ∠ADC 所对的弧始终是 AC ，
∴∠ADC 的值固定不变，等于 12∠AOC=12×90°=45° ，
故答案为：B．
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等确定正确的选项即可。
9．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】∵根据正八边形的性质，
四边形AFGH与四边形CFED能完全重合，
∴四边形AFGH与四边形CFED的面积相等，
∴选项A不符合题意；
连接BF，
∵正八边形是轴对称图形，直线BF是对称轴，
∴则BF分别平分∠AFC和∠ABC，
∴选项B不符合题意；
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴AB=CB=AH=GH=GF=EF=DE=CD，AF=CF，
设正八边形的中心为O，连接OA，
∠AOB=360° ÷8 =45°，
∠AFC=2∠AFB=2 ×12 ∠AOB =45°，
∠ACF=∠FAC= 12 (180 ° -45 ° )=67.5 ° ，
∴△ACF不是等边三角形，选项D符合题意；
∴整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
∴选项C不符合题意；
故答案为：D．
【分析】由正八边形的性质得出D不正确，其余都是正确的，即可得出结论。
10．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数 y=kx(k<0) ，
∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，
∵y1>y2 ，
∴a-1＞a+1，
此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，
∵y1>y2 ，
∴a−1<0a+1>0 ，
解得： −1③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能.
综上， a 的取值范围是 −1故答案为：B.
【分析】由反比例函数 y=kx(k<0) ，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可.
11．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3，
∴AB=BC=CD=AD=3，
即 DCB 的长是3+3=6，
∴扇形DAB的面积是 12× 6×3=9，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质得出AB=BC=CD=AD=3，求出 DCB 的长，再根据扇形的面积公式求出即可。
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，点B的坐标为（1，0），
∴A（-3，0），
∴AB=1-(-3)=4，所以①符合题意；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2-4ac＞0，所以②符合题意；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=- b2a =-1，
∴b=2a＞0，
∴ab＞0，所以③不符合题意；
∵a2−ab+c=a2−a·2a+c ，
∴a2−ab+c=−a2+c ，
∵c＜0， −a2<0 ，
∴a2−ab+c=−a2+c<0 ，所以④符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用抛物线的对称性可确定A点坐标，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有两个交点可对②进行判断；由抛物线开口向下得到a＞0，再利用对称轴方程得到b=2a＞0，则可对③进行判断；利用x=-1时，y<0，即a2−ab+c=−a2+c<0和a>0可对④进行判断。
13．【答案】212
【知识点】三角形的面积；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，
∵△ABC中，csB= 22 ，sinC= 35 ，AC=5，
∴csB= 22 = BDAB ，
∴∠B=45°，
∵sinC= 35 = ADAC=AD5 ，
∴AD=3，
∴CD= 52−32 =4，
∴BD=3，
则△ABC的面积是： 12 ×AD×BC= 12 ×3×（3+4）= 212 ．
故答案为 212 ．
【分析】过点A作AD⊥BC，构造Rt△ABD与Rt△ACD即可解决问题。
14．【答案】x1=−1，x2=3
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：将x＝−1，y＝0代入 y=ax2−2ax+c 得：a＋2a＋c＝0．
解得：c＝−3a．
将c＝−3a代入方程得：ax2−2ax−3a＝0．
∴a（x2−2x−3）＝0．
∴a（x＋1）（x−3）＝0．
∴x1＝−1，x2＝3．
故答案为：x1＝−1，x2＝3．
【分析】将x＝−1，y＝0代入 y=ax2−2ax+c 得出c＝−3a．将c＝−3a代入方程，最后利用因式分解法求解即可。
15．【答案】45
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图：连接OC，
∵AB是⊙O切线，
∴OA⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OA⊥CD，
∴CE=DE= 12 CD=4，
在Rt△CEO中，EO= CO2−CE2=25−16=3 ，
∴AE=AO+EO=8，
在Rt△ACE中，AC= AE2+CE2=64+16=45 ，
故答案为： 45 .
【分析】由题意可求出OA⊥CD，根据垂径定理求出CE=DE= 12 CD=4，根据勾股定理求出EO的值，再根据勾股定理求出AC的长。
16．【答案】38
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值= 616=38 ，
∴小球停在黑色区域的概率是 38 ；
故答案为： 38
【分析】根据题意求出黑色方砖在整个区域中所占的比值= 616=38 ，再求概率即可。
17．【答案】60
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，过点A，C的圆的圆心为O，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOC＝180°−∠OAC−∠OCA＝120°，
∴∠AMC＝ 12 ∠AOC＝60°．
故答案为：60．
【分析】过点A，C的圆的圆心为O，连接OC，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOC的度数，在根据圆周角定理得出∠AMC的度数。
18．【答案】17
【知识点】探索图形规律；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正方形OABC的边长为n，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点，
∴OA15=15，OB15=15
∵C15B15=16C15A15，∴C15（15，）
∵点C15在曲线（x＞0）上，
∴，解得n=17
故答案为：17．
【分析】线根据正方形OABC的边长为n，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点，可知OA15=15，OB15=15，在根据C15B15=16C15A15，得出C15的坐标，代入反比例函数的解析式求出n的值。
19．【答案】（1）解：过点D作x轴的垂线，垂足为F，
∵ 点D的坐标为（4，3）， ∴ OF＝4，DF＝3，∴ OD＝5， ∴ AD＝5，∴ 点A坐标为（4，8）， ∴ k＝xy=4×8=32，∴ k＝32；
（2）解：将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数 y=32x （x＞0）的图象D’点处，过点D’做x轴的垂线，垂足为F’．
∵DF＝3，∴D’F’=3，∴点D’的纵坐标为3，∵点D’在 y=32x 的图象上，∴ 3 ＝ 32x ，解得 x ＝ 323 ， 即 OF′=323，∴FF′=323−4=203，∴菱形ABCD平移的距离为 203 ．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平移的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可得OD＝5，从而可得点A的坐标，从而可得ｋ的值；（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数 y=32x （x＞0）的图象D’点处，由题意可知D’的纵坐标为3，从而可得横坐标，从而可知平移的距离．
20．【答案】（1）13
（2）解：列出树状图如图所示：
由图可知，共有12种可能结果，其中选化学、生物的有2种，
所以，P（选化学、生物） =212=16 .
答：小明同学选化学、生物的概率是 16 .
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】(1)小丽在“2”中已经选择了地理，还需要从剩下三科中进行选择一科生物，根据概率公式计算即可.（2）小明在“1”中已经选择了物理，可直接根据画树状图判断在4科中选择化学，生物的可能情况有2种，再根据一共有12种情况，通过概率公式求出答案即可.
21．【答案】解：∵∠A+∠BFD=180° ， ∠DFE+∠BFD=180° ，
∴∠A=∠DFE ，
∵∠DFE=∠BFC ，
∴∠DFE=∠BFC=∠BAD=y ，
∴x+y+30°=180° ， x=50°+y ，
解得： x=100° ， y=50°
【知识点】三角形的外角性质；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质，∠DFE=∠BFC=∠BAD=y ，根据外角和定理得出 x=50°+y ，再通过三角形内角和180度求出x、y即可。
22．【答案】解：如图，过点B作 BE⊥CA 于点E，延长 DG 交 CA 于点H．得Rt△ABE和矩形BEHG．
由题意知 AB=10m ， tan∠BAE=i=BEAE=43 ，
∴BE=8m，AE=6m ，
∵DG=1.5m，BG=1m ，
∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5(m) ， AH=AE+EH=6+1=7(m)
在 Rt△CDH 中， ∠C=∠FDC=30° ， DH=9.5m ，tan30°＝ DHCH ，
∴CH=DHtan30°=1932m ，
∴CA=CH−AH=1932−7≈9.2(m)
答：小船C小船C到岸边的距离 CA 的长约是9.2米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理可得出点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度，CH-AE-EH即为AC的长度。
23．【答案】（1）解：由图象可知点 (20，240) 是抛物线的顶点坐标，
设 WA 与 x 之间的函数关系式为 WA=a(x−20)2+240 ，
又 ∵ 点 (10，230) 在抛物线 WA=a(x−20)2+240 上，
∴230=a(10−20)2+240 ，
解得 a=−110 ．
∴WA 与 x 之间的函数关系式为 WA=−110(x−20)2+240=−110x2+4x+200 ；
（2）解：由（1）得，投资 A 产品所获得利润的最大值为 240 ，
∵WB=−15x2+nx+300=−15(x−5n2)2+300+54n2 ，
∴ 投资 B 产品所获得利润的最大值为 300+54n2 ．
由题意可得， 240+140=300+54n2 ，解得 n=±8 ．
∵ 当 n=−8 时不符合题意，
∴n=8 ；
（3）解：由题意可得， Q=WB+WA=−15a2+na+300−110(50−a)2+4(50−a)+200 ．
=−310a2+(n+6)a+450
∵ 当 a≥30 时， Q 随 a 的增大而减小，
∴−n+62×(−310)≤30
解得 n≤12 ．
∴n 的取值范围为 n≤12 ．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2） WB=−15x2+nx+300=−15(x−5n2)2+300+54n2 ，则240+140=300+54n2 ，即可求解；
（3）由题意得出 Q=WB+WA=−15a2+na+300−110(50−a)2+4(50−a)+200 =−310a2+(n+6)a+450 ． 当 a≥30 时， Q 随 a 的增大而减小， 则 −n+62×(−310)≤30，即可求解。
24．【答案】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°；
∵∠MAC＝∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，
∴MN是⊙O的切线
（2）解：①证明：∵D是弧AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD，
∵AB是直径，
∴∠CBG+∠CGB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠ABD＝90°，
∵∠DBC＝∠ABD，
∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，
∴FD＝FG；
②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．
∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，
∴DE＝DH，
在Rt△BDE与Rt△BDH中，
DH=DEBD=BD ，
∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），
∴BE＝BH，
∵D是弧AC的中点，
∴AD＝DC，
在Rt△ADE与Rt△CDH中，
DE=DHAD=CD ，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．
∴AE＝CH．
∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，
∴AE＝1．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）证出 ∠CAB+∠ABC＝90°，因为AB是直径， 得出 ∠ACB＝90°，∠CAB+∠ABC＝90° ，由 ∠MAC＝∠ABC， 即可得出结论；
（2） ①证明 因为 D是弧AC的中点，得出∠DBC＝∠ABD，因为AB是直径，得出∠CBG+∠CGB＝90°，∠FDG+∠ABD＝90°， 由 ∠DBC＝∠ABD， 推出 ∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，由此得出结论；②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．由∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，得出DE＝DH， 证出 Rt△BDE≌Rt△BDH（HL）， 由D是弧AC的中点，证出Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）． 得出 AE＝CH ，由此得出结论。
25．【答案】（1）解：由抛物线的顶点是M（1，4），
设解析式为y=a（x-1）2+4（a＜0）
又抛物线经过点N（2，3），
所以3=a（2-1）2+4，解得a=-1
所以所求抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3
（2）解：直线y=kx+t经过C(0，3)、M（1，4）两点，
∴t=3k+t=4 ，即k=1，t=3，即：直线解析式为y=x+3
求得A(-1，0)，D(-3，0)，∴AD=2
∵C(0，3)， N（2，3）
∴CN=2= AD，且CN∥AD
∴四边形CDAN是平行四边形．
（3）解：假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u＞0，
则PA是圆的半径且PA2=u2+22过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．
由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，
由P（1，u）得PE=u，PM=|4-u|，PQ= PM2=|4−u|2
由PQ2=PA2得方程： (4−u)22 =u2+22，
解得 u=−4=26 ，舍去负值u= −4−26 ，正确的u= −4+26 ，
所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1， −4+26 ）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）设抛物线为 y=a（x-1）2+4（a＜0） ，将点（2，3）代入即可解决问题；
（2）求出直线 y=kx+t ，再取出点A、D、C的坐标即可得出结论；
（3） 假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u＞0，则PA是圆的半径且PA2=u2+22过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切． 由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，由P（1，u）得PE=u，PM=|4-u|，PQ= PM2=|4−u|2 ， 由PQ2=PA2得方程 ，再解之即可。