山东省临沂市河东区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省临沂市河东区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．2cs45°的值等于（ ）
A．1B．2C．3D．2
2．下列立体图形中，左视图与主视图不同的是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解一元二次方程 2x2−3x−1=0 ，配方正确的是（ ）．
A．(x−34)2=1716B．(x−34)2=12
C．(x−32)2=134D．(x−32)2=114
4．已知反比例函数 y=−2x ，下列结论错误的是（ ）
A．图象经过点（﹣2，1）B．图象在第二、四象限
C．当x＜0时，y随着x的增大而增大D．当x＞﹣1时，y＞2
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A．5B．2C．4D．2 5
6．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55°B．65°C．60°D．75°
7．已知点 A(x1，y1) ， B(x2，y2) ， C(x3，y3) 都在反比例函数 y=kx (k<0) 的图像上，且 x1A．y2>y1>y3B．y3>y2>y1C．y1>y2>y3D．y3>y1>y2
8．竖直上抛物体离地面的高度 ℎ(m) 与运动时间 t(s) 之间的关系可以近似地用公式 ℎ=−5t2+v0t+ℎ0 表示，其中 ℎ0(m) 是物体抛出时离地面的高度， v0(ms) 是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面 1.5m 的高处以 20m/s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A．23.5mB．22.5mC．21.5mD．20.5m
9．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 AC=BD=12cm ， C ， D 两点之间的距离为 4cm ，圆心角为 60° ，则图中摆盘的面积是（ ）
A．80πcm2B．40πcm2C．24πcm2D．2πcm2
10．如图， Rt△ABC 中， ∠C=90° ，点D在 AC 上， ∠DBC=∠A ．若 AC=4，csA=45 ，则 BD 的长度为（ ）
A．94B．125C．154D．4
11．如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A．13B．14C．16D．18
12．如图，函数 y=x+1 与函数 y2=2x 的图象相交于点 M(1，m)，N(−2，n) .若 y1>y2 ，则x的取值范围是（ ）
A．x<−2 或 01
C．−21
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE.若AD平分 ∠OAE ，反比例函数 y=kx(k>0,x>0) 的图象经过AE上的两点A，F，且 AF=EF ， △ABE 的面积为18，则k的值为（ ）
A．6B．12C．18D．24
14．如图 △ABC 和 △DEF 都是边长为2的等边三角形，它们的边 BC，EF 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 ΔABC 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
15．已知关于 x 的一元二次方程 (14m−1)x2−x+1=0 有实数根，则m的取值范围是 ．
16．一个小球以 5m/s 速度开始向前滚动，并且均匀减速， 4s 后小球停止滚动．小球滚动 5m 约用了 秒（结果保留小数点后一位）
17．如图，在 Rt△ABC 中， ∠BAC=90° ， AB=2 ．将 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转至 △AB1C1 的位置，点 B1 恰好落在边 BC 的中点处，则 CC1 的长为 ．
18．如图，从一个直径为1m的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 m．
19．如图，在 △ABC 中， AB=5 ， AC=4 ，若进行以下操作，在边 BC 上从左到右依次取点 D1 、 D2 、 D3 、 D4 、…；过点 D1 作 AB 、 AC 的平行线分别交 AC 、 AB 于点 E1 、 F1 ；过点 D2 作 AB 、 AC 的平行线分别交 AC 、 AB 于点 E2 、 F2 ；过点 D3 作 AB 、 AC 的平行线分别交 AC 、 AB 于点 E3 、 F3 …，则 4(D1E1+D2E2+⋅⋅⋅+D2021E2021)+5(D1F1+D2F2+⋅⋅⋅+D2021F2021)= ．
三、解答题
20．（1）计算：4cs30°﹣3tan60°+2sin45°•cs45°
（2）解方程：x2+x﹣1＝0
21．随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗.李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗.
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为
（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率.
22．我们知道，机器上使用的螺丝钉（如图），它上面的螺纹以一定的角度旋转上升，使得螺钉旋转时向前推进，问直径是 6mm 的螺钉，若每转1圈向前推进 1.25mm ，则螺纹的初始角约为多少度？（参考数据： sin23.6°≈0.40 ， cs66.4°≈0.40 ， tan21.8°≈0.40 ， sin3.80°≈0.0663 ， cs86.20°≈0.0663 ， tan3.79°≈0.0663 ．）
23．如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC得延长线于点E，延长线ED交AB得延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF= 42 ，求tan∠EAD的值．
24．如图，取一根长1米的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 O 处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点 25cm 处挂一个种9.8牛顿的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧称与中点 O 的距离 L （单位： cm ），看弹簧秤的示数 F （单位：牛顿）有什么变化，小明在做此《数学活动》时，得到下表的数据：
结果老师发现其中有一个数据明显有不符合题意，另一个数据却被墨水涂黑了．
（1）当 L= cm 时的数据是错了；
（2）被墨水途黑了的数据你认为大概是 ；
（3）你能求出 F 与 L 的函数关系式吗？
（4）请你在直角坐标系中画出此函数的图象．
25．如图1，在 △ABC 中， ∠A=90°，AB=AC=2+1 ，点D，E分别在边 AB，AC 上，且 AD=AE=1 ，连接 DE ．现将 △ADE 绕点A顺时针方向旋转，旋转角为 α(0°<α<360°) ，如图2，连接 CE，BD，CD ．
（1）当 0°<α<180° 时，求证： CE=BD ；
（2）如图3，当 α=90° 时，延长 CE 交 BD 于点 F ，求证： CF 垂直平分 BD ；
（3）在旋转过程中，求 △BCD 的面积的最大值，并写出此时旋转角 α 的度数．
26．已知二次函数 y=−ax2+2ax+2 （ a≠0 ）．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当 −1≤x≤5 时，函数图象的最高点为 M ，最低点为 N ，点 M 的纵坐标为 192 ，求点 M 和点 N 的坐标；
（3）在（2）的条件下，对直线 MN 下方二次函数图象上的一点 P ，若 S△PMN=3 ，求点 P 的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式=2×22=2．
故选B．
【分析】直接把cs45°=22代入进行计算即可．
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A.左视图与主视图都是正方形，故答案为：A不合题意；
B.左视图是圆，主视图都是矩形，故答案为：B符合题意；
C.左视图与主视图都是三角形；故答案为：C不合题意；
D.左视图与主视图都是圆，故答案为：D不合题意；
故答案为：B.
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，进而分别判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 2x2−3x−1=0
移项得 2x2−3x=1 ，
二次项系数化1的 x2−32x=12 ，
配方得 x2−32x+(34)2=12+(34)2
即 (x−34)2=1716
故答案为：A
【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】A、把（-2，1）代入解析式得：左边=右边，故本选项不符合题意；
B、因为-2＜0，图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；
C、当x＜0，且k＜0，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D、当x＞0时，y＜0，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝ (2−6)2+(4−2)2 ＝2 5 .
故答案为：D.
【分析】根据 △DEF与△ABC以原点为位似中心成位似图形，且相似比为2：1，从而即可由点A,C的坐标得出点D,F的坐标，进而根据两点间的距离公式即可算出DF的长.
6．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝ 12 ∠BDC＝65°，
故答案为：B.
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： ∵ 反比例函数 y=kx (k<0) ，
∴ 反比例函数图象在第二、四象限，
观察图像：当 x1则 y2>y1>y3 ．
故答案为：A．
【分析】首先画出反比例函数 y=kx (k<0) ，利用函数图象的性质得到当 x18．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：依题意得： ℎ0 = 1.5 ， v0 = 20 ，
把 ℎ0 = 1.5 ， v0 = 20 代入 ℎ=−5t2+v0t+ℎ0 得 ℎ=−5t2+20t+1.5
当 t=−202×(−5)=2 时， ℎ=−5×4+20×2+1.5=21.5
故小球达到的离地面的最大高度为： 21.5m
故答案为：C
【分析】将 ℎ0 = 1.5 ， v0 = 20 代入 ℎ=−5t2+v0t+ℎ0 ，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接 CD ，
OC=OD，∠COD=60°，
∴△COD 是等边三角形，
∵CD=4，
∴OC=OD=4，
∵AC=BD=12，
∴OA=OB=16，
所以则图中摆盘的面积 S扇形AOB−S扇形COD=60π×162360−60π×42360=40πcm2.
故答案为：B．
【分析】先证明 △COD 是等边三角形，求解 OC，OD ，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠C=90°，
∴csA=ACAB ，
∵AC=4，csA=45 ，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC= AB2−AC2 =3，
∵∠DBC=∠A ，
∴cs∠DBC=csA= 45 ，
∴cs∠DBC= BCBD = 45 ，即 3BD = 45
∴BD= 154 ，
故答案为：C．
【分析】先根据 AC=4，csA=45 ，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据 ∠DBC=∠A ，即可得cs∠DBC=csA= 45 ，即可求出BD．
11．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；几何概率；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接EG，FH，
设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
则FH=AD=2a，EG=AB=2b，
∵四边形EFGH是菱形，
∴S菱形EFGH= 12FH⋅EG = 12⋅2a⋅2b =2ab，
∵M，O，P，N点分别是各边的中点，
∴OP=MN= 12 FH=a，MO=NP= 12 EG=b，
∵四边形MOPN是矩形，
∴S矩形MOPN=OP ⋅ MO=ab，
∴S阴影= S菱形EFGH-S矩形MOPN=2ab-ab=ab，
∵S矩形ABCD=AB ⋅ BC=2a ⋅ 2b=4ab，
∴飞镖落在阴影区域的概率是 ab4ab=14 ，
故答案为：B．
【分析】连接菱形对角线，设大矩形的长=2a，大矩形的宽=2b，可得大矩形的面积，根据题意可得菱形的对角线长，从而求出菱形的面积，根据“顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形”，可得小矩形的长，宽分别是菱形对角线的一半，可求出小矩形的面积，根据阴影部分的面积=菱形的面积-小矩形的面积可求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大矩形面积之比即可得到飞镖落在阴影区域的概率．
12．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为 −21 ，
故答案为： −21 .
故答案为：D
【分析】根据图象可知函数 y=x+1 与函数 y2=2x 的图象相交于点M、N，若 y1>y2 ，即观察直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围.
13．【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD为矩形，O为对角线，
∴AO=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
又∵AD为∠DAE的平分线，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OB∥AE，
∵S△ABE=18，
∴S△OAE=18，
设A的坐标为（a， ka ），
∵AF=EF，
∴F点的纵坐标为 k2a ，
代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a， k2a ），
∴E点的坐标为（3a，0），
S△OAE= 12 ×3a× ka =18，
解得k=12，
故答案为：B.
【分析】先证明OB∥AE，得出S△ABE=S△OAE=18，设A的坐标为（a， ka ），求出F点的坐标和E点的坐标，可得S△OAE= 12 ×3a× ka =18，求解即可.
14．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】C点移动到F点，重叠部分三角形的边长为x，由于是等边三角形，则高为 32x ，面积为y=x·32x·12=34x2 ，
B点移动到F点，重叠部分三角形的边长为(4－x)，高为 32(4−x) ，面积为
y=(4－x)·32(4−x)·12=34(4−x)2 ，
两个三角形重合时面积正好为 3 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A，
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x，根据特殊角三角函数可得高为 32x ，由此得出面积y是x的二次函数，直到重合面积固定，再往右移动重叠部分的边长变为(4－x)，同时可得
15．【答案】m≤5且m≠4
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴△= 1−4×(14m−1) ≥0且 14m−1 ≠0，
解得：m≤5且m≠4，
故答案为：m≤5且m≠4．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△≥0且二次项系数≠0，然后求出两不等式的公共部分即可．
16．【答案】1.2
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】由题意得：小球的平均滚动速度是 5+04=1.25(ms) ，
设小球滚动5 m 时约用了 xs ，
由题意得： x·5+(5−1.25x)2=5 ，
整理得： x2−8x+8=0 ，
解得： x=4±22 ，
∵x<4 ，
∴x=4−22≈1.2 ，
故小球滚动 5m 用了1.2秒．
【分析】利用等量关系：速度×时间=路程，根据题意列出方程，求解即可。
17．【答案】23
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：在 Rt△ ABC中，∠BAC=90°，AB=2，将其进行顺时针旋转， B1 落在BC的中点处，
∵Rt△A1B1C1 是由 Rt△ ABC旋转得到，∴AB1=AB=2 ，而 BC=2AB1=4 ，
根据勾股定理： AC=BC2−AB2=23 ，
又∵AB1=AB=2 ，且 BB1=12BC=2 ，∴△ABB1 为等边三角形，
∴旋转角 ∠BAB1=60° ，
∴∠CAC1=60° ，且 AC1=AC=23 ，故 △ACC1 也是等边三角形，
∴CC1=23 ，
故答案为： 23 ．
【分析】由旋转的性质得出△ABB1 为等边三角形，求出CA的长，即可得出答案。
18．【答案】28
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径，
∴扇形的半径为： 22 m，
∴扇形的弧长为： 90π×22180 ＝ 24 πm，
∴圆锥的底面半径为： 24 π÷2π＝ 28 m．
【分析】利用勾股定理可得扇形的半径即可求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径。
19．【答案】40420
【知识点】相似三角形的判定与性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】过点 D1 作 AB 、 AC 的平行线分别交 AC 、 AB 于点 E1 、 F1 ，即 D1E1//AB ， D1F1//AC
∴∠D1E1C=∠D1F1B=∠A
∴∠D1E1C=∠A∠C=∠C ， ∠D1F1B=∠A∠B=∠B
∴△E1D1C∽△ABC ， △F1BD1∽△ABC
∴D1E1AB=D1CBC ， D1F1AC=BD1BC
∴D1E1AB=BC−BD1BC=1−BD1BC
∴D1E1AB+D1F1AC=1−BD1BC+BD1BC=1
∵AB=5 ， AC=4
∴D1E15+D1F14=1
∴4D1E1+5D1F1=20
同理，证得 4DnEn+5DnFn=20
∴4(D1E1+D2E2+⋅⋅⋅+D2021E2021)+5(D1F1+D2F2+⋅⋅⋅+D2021F2021)
=(4D1E1+5D1F1)+(4D2E2+5D2F2)+⋅⋅⋅+(4D2021E2021+5D2021F2021)
=2021×20
=40420
故答案为：40420．
【分析】利用平行线分线段成比例定理可得比例式D1F1AC=BD1BC，将AB、AC的值代入后可得4D1E1+5D1F1=20，同理可得4DnEn+5DnFn=20，由此将原式转化为4(D1E1+D2E2+⋅⋅⋅+D2021E2021)+5(D1F1+D2F2+⋅⋅⋅+D2021F2021)，最后整理代入可得出结论。
20．【答案】（1）解：原式＝4× 32 ﹣3× 3 +2× 22 × 22
＝2 3 ﹣3 3 +1
＝1﹣ 3 ；
（2）解：△＝12﹣4×1×(﹣1)＝5，
x＝ −1±52×1=−1±52 ，
所以x1＝ −1−52 ，x2＝ −1+52 ．
【知识点】实数的运算；公式法解一元二次方程；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可。
21．【答案】（1）14
（2）解：画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝ 416 ＝ 14 .
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）因为设立了四个“服务监督岗”，而“洗手监督岗”是其中之一，
所以，李老师被分配到“洗手监督岗”的概率＝ 14 ；
故答案为： 14 ；
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算.
22．【答案】解：如图，
设螺纹的初始角约为 α 度．
根据题意得 AC=6πmm ，
tanα=1.256π≈0.0663 ，
α=3.79° ．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】设螺纹的初始角约为 α 度．根据题意求出tanα=1.256π≈0.0663 ，从而得出答案。
23．【答案】（1）解：直线 EF 与圆O相切
理由如下：连接 OD
∵AD 平分 ∠BAC
∴∠EAD=∠OAD
∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=∠EAD
∴OD//AE
由 AE⊥EF ，得 OD⊥EF
∵点D在圆O上
∴EF 是圆O的切线
（2）解：由（1）可得，在 RtΔODF 中， OD=2 ， DF=42 ，
由勾股定理得 OF=OD2+DF2=6
∵OD//AE
∴ODAE=OFAF=DFEF
即 2AE=68=42ED+42 ，得 AE=83 ， ED=423
∴在 RtΔAED 中， tan∠EAD=DEAE=22
【知识点】切线的判定；平行线分线段成比例；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝∠DAO，据此可得∠DAE＝∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；（2）根据勾股定理得到 OF=OD2+DF2=6 ，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到结论．
24．【答案】（1）1
（2）6.1
（3）解：根据 F⋅L=25×9.8 ，即可得出 F=245L （ 0（4）解：函数图象如图：
【知识点】列反比例函数关系式；描点法画函数图象
【解析】【解答】（1）根据杠杆原理知 F⋅L=25×9.8 ．
∴当 L=1cm 时， F=125×9.81=245 （牛顿）．
故当 L=1cm 时的数据是错误的．
（2）当 L=40cm 时， F=245÷40≈6.1 （牛顿）．
故答案为6.1．
【分析】（1）根据杠杆原理知 F⋅L=25×9.8 ．当 L=1cm 时，即可得出结论；
（2）当 L=40cm 时， F=245÷40≈6.1 （牛顿）；
（3）根据 F⋅L=25×9.8 ，即可得出 F=245L （ 0（4）根据题意画出函数图象。
25．【答案】（1）解：根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90 ° ，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90 ° ，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中， AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD ，
∴△ACE ≅ △ABD(SAS)，
∴CE=BD
（2）解：根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90 ° ，
在△ACE和△ABD中， AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD ，
∴△ACE ≅ △ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90 ° ，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90 ° ，
∴∠EFB=90 ° ，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC= 2+1 ，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90 ° ，
∴BC= 2 AB = 2+2 ，CD= AC+ AD= 2+2 ，
∴BC= CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
（3）解： △BCD 中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时 △BCD 的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时， △BCD 的面积取得最大值，如图：
∵∵AB=AC= 2+1 ，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90 ° ，DG⊥BC于G，
∴AG= 12 BC= 2+22 ，∠GAB=45 ° ，
∴DG=AG+AD= 2+22+1=2+42 ，∠DAB=180 ° -45 ° =135 ° ，
∴△BCD 的面积的最大值为： 12BC⋅DG=12(2+2)(2+42)=32+52 ，
旋转角 α =135° ．
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用 “SAS”证得△ACE ≅ △ABD即可得到结论；（2）利用 “SAS”证得△ACE ≅ △ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出AD=BC= 2+2 ，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；（3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时， △BCD 的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
26．【答案】（1）解：∵二次函数 y=−ax2+2ax+2 （ a≠0 ），
∴该二次函数图象的对称轴是直线： x=−2a2(−a)=1 ；
（2）解：∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 x=1 ， 1≤x≤5 ，
∴当 x=5 时， y 取得最大值，即 M(5，192) ，
∴192=−25a+10a+2 ，得： a=−12 ，
∴该二次函数的表达式为： y=12x2−x+2=12(x−1)2+32 ，
即点 N 的坐标为 (1，32) ．
（3）解：设直线 MN 的解析式为 y=kx+b ，则 k+b=325k+b=192 ，解得： k=2b=−12 ，
∴设直线 MN 的解析式为： y=2x−12 ，
设 P 点的坐标为 (m，12m2−m+2) ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 MN 于点 Q ，如图
则点 Q 的坐标是 (m，2m−12) ，
∴PQ=2m−12−12m2+m−2=−12m2+3m−52 ，
∴SΔPMN=12×4×PQ=−m2+6m−5=3 ，
解得： m1=2 ， m2=4 ，
∴点 P 的坐标是 (2，2) 或 (4，6) ．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）二次函数解析式为 y=−ax2+2ax+2 （ a≠0 ），即可得出二次函数图象的对称轴；
（2）该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 x=1 ，得出当 x=5 时， y 取得最大值，即可得出该二次函数的表达式，由此得出点M 和点 N 的坐标；
（3）设直线 MN 的解析式为 y=kx+b ，设直线 MN 的解析式为： y=2x−12 ，设 P 点的坐标为 (m，12m2−m+2) ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 MN 于点 Q ，则点 Q 的坐标是 (m，2m−12) ，得出SΔPMN=12×4×PQ=−m2+6m−5=3 ，解出得出m的值，由此得出点P的坐标。L/cm
1
10
15
20
25
30
35
40
45
F /牛顿
125
24.5
16.5
12.3
9.8
8.2
7
■
5.4