山西省晋中市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山西省晋中市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．计算：的结果是（ ）
A．B．C．3D．7
2．如图是某校运动会领奖台的示意图，则此领奖台的左视图是（ ）

A． B．
C． D．
3．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，通过测量，，的长度，可以推算出水面以上部分的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似
4．如图，与位似，点是它们的位似中心，且相似比为，若，则的长为（ ）

A．3B．4C．6D．8
5．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，已知直线，直线，与直线，，分别相交于点，，，，，，且，，，则的长为（ ）

A．6B．C．D．
7．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《京剧生角》特种邮票，上面分别绘有《将相和》中的蔺相如、《四进士》中的宋士杰、《群英会》中的周瑜、《白蛇传》中的许仙，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．元旦之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“蔺相如”和“周瑜”的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．根据物理学知识，导体中的电流I，与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式．当U一定时，根据下表可以判断a和b的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则与之间的距离为（ ）
A．6B．C．D．4
10．如图是某公园在一个长为，宽为的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽度为，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．广场上一个大型艺术字版块在地上的投影如图所示，则该投影属于 ．（填写“平行投影”或“中心投影”）
12．小明和妹妹为家人制作亲子T恤，主要的图案是在一个矩形基础上设计的，每件T恤上的矩形都是相似的．妹妹T恤上矩形的面积为，妈妈T恤上矩形的长是妹妹T恤上矩形长的2倍，则妈妈T恤上矩形的面积为 ．
13．小薇为了了解自家草莓的质量，随机从种植园中抽取适量草莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中，“优质草莓”出现的频率逐渐稳定在，小薇家今年的草莓总产量约为，由此估计小薇家今年的“优质草莓”产量约为 ．
14．如图，反比例函数的图象正好经过的三等分点，若轴于点，点是轴上的一点，则的面积为 ．

15．如图，正方形的边长为4，点是对角线上的一点，且，点是边上的一个动点，连接，过点作交于点，当时，线段的长为 ．

三、解答题
16．解方程：
(1)；
(2)
17．近年来，我省总工会不断加强“爱心驿站”服务阵地，在全省广泛创建“爱心驿站”，解决户外劳动者喝水难、热饭难、歇脚难等急难愁盼问题．为了解户外劳动者对“爱心驿站”的满意程度，某课外小组随机对若干名户外劳动者进行了问卷调查，所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成了如下统计图（不完整）．
(1)参加此次问卷调查的户外劳动者共____________人；
(2)补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中表示“非常满意”的扇形圆心角的度数为____________°；
(3)在朝阳街有三个爱心驿站，分别是“1号驿站”、“2号驿站”、“3号驿站”，该课外小组的两名成员小亮和小颖计划分别从这三个“爱心驿站”中随机选择其中一家驿站进行体验，请你用画树状图或列表的方法求小亮和小颖恰好选择同一家驿站的概率．
18．课本在线
我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
定理 有三个角是直角的四边形是矩形．
定理证明
为了证明该定理，小丽同学画出了图形（如图），写出了“已知”，请你补出“求证”的内容，并根据她的思路补全证明过程．

已知：如图，四边形中，．
求证：__________________．
证明：，
_______________°
（______________），
又，
______________．
．
四边形是平行四边形（______________）．
又，
是矩形（______________）．
19．2023年全国教育工作会议之后，某校为了更好地落实“要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书、读好书、善读书”这一会议要求，对学生阅读量进行了调查，发现学生阅读量低，9月份校图书馆借阅人次仅为1500．针对此现状，学校积极充实学生读物，向师生全天开放图书馆，举行“书香校园”读书活动，这些举措营造了良好的读书氛围，大大调动了师生读书热情，11月份校图书馆借阅人次达到了2160．请你求出这两个月该校图书馆借阅人次的月平均增长率．
20．小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为的小尺测量这棵树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端，，然后不断调整站立的位置，在点处时恰好能看到该大树的顶端和底部．（图中所有点均在同一平面，点，，在同一条直线上．）经测量，小明的手臂长，点到树底端的距离，求大树的高度．
21．为提高学生的劳动技能和实践水平，某学校经过多方努力，准备用栅栏围建一块的劳动实践基地，并向全校发布了基地设计方案征集公告．为此，九年级（1）班开展了“我为创建劳动实践基地建言献策”的项目化学习．在进行“任务一：规划实践基地形状”时，“智慧小组”欲将基地设计为矩形，以便分割区域进行种植．这样的设计合理吗？也就是，是否存在满足学校所给条件的矩形呢？该小组的同学们积极思索，想到了如下解决方法：
【问题解决】
慧慧的思路是：利用一元二次方程解决．假设存在这样的矩形，设矩形的其中一条边长为，根据题意，可得到一个一元二次方程，通过判断方程是否有解即可确定是否存在这样的矩形．
敏敏的思路是：利用函数图象解决．假设存在这样的矩形，设矩形相邻两边长分别为，，可得，，满足要求的可以看作是反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内的交点坐标．于是，可以通过看函数图象中是否有这样的交点确定矩形的存在性．
(1)请你分别按照以上两位同学的思路解决问题：是否存在满足学校所给条件的矩形？
(2)在解决问题（1）的过程中，你获得什么启示？（写出一点即可）
22．综合与实践
问题情境：
在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形（如图1），其中，连接对角线，且，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动．
以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题：
图1 图2 备用图
猜想证明：
（1）如图2，“奋勇”小组将绕点旋转得到，当点落到对角线上时，与交于点．试猜想线段与的数量关系，并加以证明；
（2）“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取的中点，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（3）在绕点旋转的过程中，当时，求点与点之间的距离，请你思考此问题，直接写出答案．
23．综合与探究
如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（备用图）
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)点是轴上的一个动点，连接，，当线段与之和最小时，求点的坐标；
(3)过点作直线轴，交反比例函数的图象于点，若点是直线上的一个动点，点是平面直角系内的一个动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20
40
60
80
100
120
8
■
■
■
参考答案：
1．C
【分析】利用有理数的加法法则求解即可．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键．
2．C
【分析】本题主要考查几何图形的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据左视图进行观察即可得到答案．
【详解】解：从左边观察领奖图，得到的左视图是
故选C．
3．D
【分析】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键．
【详解】解： ，
∴，
，
，
，
∴根据测量，，的长度可以求出的长度，
∴这种测量原理利用的是图形的相似．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查位似图形，掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：与位似，点是它们的位似中心，且相似比为，，
．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是利用配方法求解．
【详解】解：，
，
，
，
故选B．
6．C
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比列式解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
，
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查列表法和树状图求概率，熟练掌握列表法是解题的关键．根据列表法把所有情况列举出来即可．
【详解】解：
一共有种情况，符合条件的是两种，
故．
故选A．
8．A
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解： 当U一定时，导体中的电流I与导体的电阻R成反比，
即是反比例函数，
∵，
∴I随R的增大而减小，
由表格可知，当时，；当时，，
∵，
∴，
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．先利用菱形的性质及勾股定理求得菱形的边长，再利用面积法求解即可．
【详解】解：设与之间的距离为，在菱形中，对角线与相交于点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
10．C
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，平移的性质，根据平移的性质可得除去桥的面积后，湖的面积正好是一个长为，宽为的矩形，据此列出方程即可．
【详解】解：设人行观景曲桥的宽度为，
由题意得，，
故选：C．
11．中心投影
【分析】找出光源即可得出结果.
【详解】如图可知，该投影属于中心投影.
故答案为中心投影
【点睛】平行投影与中心投影之间的区别是平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线交于一点．主要从形成投影的光线来比较两者的区别．
12．200
【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据题意可知多边形的相似比为1:2，则面积比为1:4，据此解题即可．
【详解】解：由已知，每件T恤上的矩形都是相似的，妈妈T恤上矩形的长是妹妹T恤上矩形长的2倍，
∴妈妈T恤上矩形与妹妹T恤上矩形的相似比为，
∴妈妈T恤上矩形与妹妹T恤上矩形的面积比为，
∵妹妹T恤上矩形的面积为，
∴妈妈T恤上矩形的面积为，
故答案为：200．
13．1600
【分析】本题考查了用频率估计概率，根据实验得出的频率进行计算即可．
【详解】解：因为多次重复的抽取检测中，“优质草莓”出现的频率逐渐稳定在，
估计小薇家今年的“优质草莓”产量约为，
故答案为：1600．
14．//
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义．连接，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，再根据轴，可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵反比例函数的图象正好经过点，轴，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∵点B为的三等分点，
∴．
故答案为：
15．
【分析】由题意可得，则，由勾股定理得，，则，如图，作于，于，则四边形是矩形，设，则，由勾股定理得， 证明，则，可求，则，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：∵正方形的边长为4，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
如图，作于，于，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用公式法解一元二次方程即可求解；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，，．
∴，
，
，．
（2）解：，
，
．
，或．
，．
17．(1)120
(2)见解析，126
(3)，见解析
【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图结合，准确找到图表中的信息是解题的关键．
（1）用比较满意的人数除以所占比例即可求出答案；
（2）求出满意的人数，根据扇形统计图求出度数即可；
（3）根据树状图或列表法求出概率．
【详解】（1）解：（人）；
（2）解：满意的人数：（人），
，
“非常满意”的扇形圆心角的度数为；
（3）解：一共有九种情况，符合条件的有种情况，
故．
18．四边形是矩形；180；同旁内角互补，两直线平行；；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【分析】本题考查了平行线的判定，平行四边形的定义，矩形的定义等知识，先证明，，得到四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可证明．
【详解】证明：
，
（同旁内角互补，两直线平行）．
又，
．
．
四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
又，
是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：四边形是矩形；180；同旁内角互补，两直线平行；；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
19．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、根据等量关系列出方程是解题的关键．
设这两个月该校图书馆借阅人次的月平均增长率为，然后根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设这两个月该校图书馆借阅人次的月平均增长率为，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：这两个月该校图书馆借阅人次的月平均增长率为．
20．大树的高度为．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用．根据相似三角形的性质“对应高是比等于相似比”列式计算求解即可．
【详解】解：．
根据题意，得．点到的距离即，点到的距离即，
∵，
，．
．
．
．
答：大树的高度为．
21．(1)存在，见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查一元二次方程以及函数的图像性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据两种思路分别计算即可；
（2）根据题意进行总结即可．
【详解】（1）解：假设存在这样的矩形，且相邻两边的长分别为和，
根据题意，可得，
化简，得．
在这里，，，
．
原方程有实数根．
存在满足学校所给条件的矩形．
解法二．假设存在这样的矩形，其相邻两边长分别为，，则，，
在同一直角坐标系中，的图象如下：
因为两个函数图象有交点，所以存在满足学校所给条件的矩形．
（2）解：答案不唯一，如：方程和函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是解决数学问题的一种常用思想方法；方程和函数之间有着密切的联系等．
22．（1），理由见解析；（2）菱形，理由见解析；（3）6或
【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，然后利用得到，然后证明出是等边三角形，得到，即可证明出；
（2）首先由是等边三角形得到，然后结合旋转的性质得到，然后证明出，然后由得到与互相平分，证明出四边形是菱形；
（3）根据题意分两种情况：当点在上方时，连接，首先由得到，然后结合旋转的性质得到，证明出点A，，三点共线，然后得到；当点在线段下方时，首先由和旋转的性质得到是等边三角形，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1），
证明：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，，
由旋转可得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（2）四边形是菱形．
理由：由（1）得是等边三角形，
∴，
由旋转得，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，点E是线段的中点，
∴，
又∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴与互相平分，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
（3）如图所示，当点在上方时，连接，
∵，
∴，
由旋转可得，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点A，，三点共线，
∴，
∴，，
∴；
如图所示，当点在线段下方时，
由旋转可得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
综上所述，当时，点与点之间的距离为6或．
【点睛】本题属于四边形旋转综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质的综合应用，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)存在，或或或
【分析】（1）先将点代入一次函数解析式，求出点坐标，再代入反比例函数解析式，求解即可；
（2）求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点的坐标即可；
（3）分为菱形的边长，以及为菱形的对角线，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）∵，当时间，，
∴，
作点关于轴的对称点，
则：，，
∴当三点共线时，的值最小，
连接，与轴的交点即为点，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴当时，，
∴；
（3）∵过点作直线轴，交反比例函数的图象于点，
∴点的纵坐标为，
∴，
设，设，
则：，，；
当点，，，为顶点的四边形是菱形，分两种情况：
①当为边时，则：，
当时：，，
则：，解得：，
当时：，，即：；
当时：，，即：；
当时，，，
则：，解得：或（舍掉），
当时，，，即：；
②当为对角线时：则，
∴，
此时，即：，解得：，
∴，即：；
综上：或或或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，涉及求函数解析式，利用轴对称解决线段和最小问题，菱形的性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．属于压轴题．
蔺相如
宋士杰
周瑜
许仙
蔺相如
宋士杰和蔺相如
周瑜和蔺相如
许仙和蔺相如
宋士杰
蔺相如和宋士杰
周瑜和宋士杰
许仙和宋士杰
周瑜
蔺相如和周瑜
宋士杰和周瑜
许仙和周瑜
许仙
蔺相如和许仙
宋士杰和许仙
周瑜和许仙
小亮小红