山西省吕梁交城市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山西省吕梁交城市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图所示的网格中，已有2个小正方形涂成了黑色，再另选1个小正方形涂成黑色，使黑色部分是轴对称图形，可以有多少种不同的选择（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
2．根据媒体报道，我国芯片设计已经突破水准，但是芯片制程上却仅仅只有国产生产线，以下制程的芯片都不能依靠纯国产化进行自主研发，这就是我国芯片被卡脖子的尴尬现状，已知，将用科学记数法表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知，则下列结论错误的是（ ）

A．B．C．D．
6．下列多项式分解因式结果不含因式的是（ ）
A．B．
C．D．
7．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽，”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设6210文能买株椽，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在中，点D是的中点，，若，，则的长是（ ）
A．6B．8C．10D．12
9．如图，六边形中，，，，，分别是该六边形的外角，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在等腰三角形中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，点F为的中点，点P为直线上的一动点.若的面积为15，则的周长的最小值为（ ）
A．5B．C．10D．11
二、填空题
11．请写出一个含有，并且分子分母可以约分的分式是 ．
12．如图，一个正方形中有两个小正方形，如果它们的面积分别为，，则 （填“”或“=”或“”）．
13．已知与关于轴对称，则 ．
14．如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接，平分，若，则的长为 ．
15．如图，与都是等腰直角三角形，，，，连接BD，CE，点F是BD的中点，过点A，F的直线交CE于点G，若，，则的面积为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)．
17．（1）解分式方程：
（2）先化简，再求值：，其中，．
18．如图，在中，，平分
(1)尺规作图：过点B作，交的延长线于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若平分，求证：．
19．列方程解应用题：
某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
20．如图，是等腰三角形，，点D，E分别在边，上，将沿着折叠，点C的对应点恰好落在上，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接交于点F，若，，求的长度．
21．初中数学中很多公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，如图，请你利用这个图形的几何意义证明某个数学公式．

(1)利用这个图形可以证明的数学公式是 ；
(2)在证明（1）中数学公式的过程中，渗透的主要数学思想是什么？
(3)请你写出完整的证明过程．
22．下面是小宇同学的数学小论文，请你仔细阅读并完成相应的任务．
探究等腰三角形的对称性：
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高所在的直线，或者底边上的中线所在的直线，或者顶角的平分线所在的直线，如图1，是等腰三角形，，是边上的中线，在上任取一点E，则点E到点B和点C的距离相等，也就是，理由如下：
方法一：∵，是边上的中线
∴（依据1）
∴是的垂直平分线
∴
方法二：∵，是边上的中线
∴，
∴
在与中
∴（依据2）
∴
任务：
(1)材料中的依据1是指 ；
依据2是指 ；
(2)在图1中，若是的平分线，请判断是否也是的平分线？请说明理由；
(3)如图2，把材料中的图形延长交于点G，延长交于点F，若，，求的长度．
23．综合与实践
问题情境：
在数学课上，老师让同学们利用长方形纸片进行折叠研究数学问题：如图1，点P是长方形的边上一动点，连接，将沿着折叠得到．
初步探究：
（1）如图1，当点P与点A重合时，与交于点E，求证：；
深入探究：
（2）如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接，求证：；
拓展延伸：
（3）在问题（2）中，若，，的面积为，直接写出长方形的面积．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键．
【详解】解：如图
在以上个位置的小正方形涂成黑色，使黑色部分是轴对称图形；
故选：C．
2．B
【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学计数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键．
【详解】∵，
故选B．
3．D
【分析】本题考查了零指数幂，积的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式，根据公式计算即可．
【详解】A. ，错误，不符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. ，错误，不符合题意；
D. ，正确，符合题意；
故选：．
4．C
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，根据三角形外角性质，三角形内角和定理计算即可．
【详解】∵平分，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选C．
5．D
【分析】此题考查了全等三角形的性质，先根据全等三角形的性质得到，，，然后利用等角对等边即可判断，解题的关键是熟练掌握性质的应用．
【详解】∵，
∴，，，
∴，故、、正确；
根据性质，不能确定，
故选：．
6．C
【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．
【详解】解：、，含因式，不符合题意；
、，含因式，不符合题意；
、，不含因式，符合题意；
、，含因式，不符合题意；
故选：．
7．B
【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，列出分式方程是解题的关键.
【详解】根据题意，得，
故选B.
8．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，证明，得到，则．
【详解】解：∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，延长交于点M，延长交于点N，计算即可．
【详解】如图，延长交于点M，延长交于点N，
∵
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选C．
10．B
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，将军饮马原理求线段和的最小值，垂直平分线的性质，根据三线合一，将军饮马原理计算即可．
【详解】∵的垂直平分线分别交，于点D，E，
∴点A与点B关于直线对称，
连接，交于点M，
当点P与点M重合时，取得最小值，此时最小值为线段得长，
∵，点F为的中点，，
∴，，
∵的面积为15，
∴，
∴，
故的周长的最小值为，
故选B．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查了分式的性质，约分，答案唯一，只要合理即可．
【详解】根据题意，得，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理等等知识，设正方形的边长为6，然后求出与的值，问题得解．
【详解】解：如图，设正方形的边长为6，
∵是正方形的对角线，
，，
∴，
又∵四边形与四边形是正方形，
，，
，，
，，
∴．
故答案为：．
13．0
【分析】本题考查了点的对称，根据两点关于y轴调查，纵坐标不变，横坐标互为相反数计算即可．
【详解】∵与关于轴对称，
∴，
故答案为：0．
14．6
【分析】本题考查了线段垂直平分线，特殊角的直角三角形，根据性质，和勾股定理计算即可．
【详解】∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵平分，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
15．
【分析】延长，取点H，使，连接，过点D作于点M，证明，得出，，证明，得出，证明，得出，求出，根据F为的中点，得出．
【详解】解：延长，取点H，使，连接，过点D作于点M，如图所示：
∵点F为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵F为的中点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理的应用，余角的性质，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
16．(1)0
(2)
【分析】本题考查了整式的乘除，整式的化简，熟练掌握公式计算即可．
(1)根据整式的乘除，幂的乘方，积的乘方计算即可．
(2)根据整式的乘除，借助公式计算即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
17．（1）原分式方程无解；（2），
【分析】本题考查了解分式方程，以及分式的化简求值，熟练掌握分式方程的解法和分是的运算法则是解答本题的关键．
（1）两边都乘以化为整式方程求解，然后检验即可；
（2）现根据分式的运算法则把所给分式化简，再把，代入计算．
【详解】解：（1），
两边都乘以，得
，
解得，
检验：当时，，
∴是分式方程的增根，原方程无解；
（2），
，
当，时，
原式．
18．(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了垂线段的基本作图，角的平分线的性质定理．
(1)根据垂线段的基本作图解答即可．
(2)利用角的平分线的性质定理证明即可．
【详解】（1）如图所示：
则即为所求．
（2）证明：过点O作于点E
∵，平分，
∴，
∵平分，，
∴，
∴．
19．甲每天修180米，乙每天修150米
【分析】设乙工程队每天改造道路的长度为x米，则甲工程队每天改造道路的长度为（x+30）米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
【详解】解：设乙工程队每天改造道路的长度为x米，则甲工程队每天改造道路的长度为（x+30）米，
根据题意，得：，
解得：x=150，
经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，
∴x+30=180．
答：甲工程队每天改造道路的长度为180米，乙工程队每天改造道路的长度为150米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，特殊角的直角三角形的应用．
（1）利用折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定证明即可．
（2）利用等边三角形的判定和性质，特殊角的直角三角形性质计算即可．
【详解】（1）根据折叠的性质，得．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故是等腰三角形．
（2）∵，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
根据折叠性质，得，
∴．
21．(1)平方差公式或
(2)数形结合
(3)证明见解析
【分析】本题考查了公式与几何图形的意义，数形结合思想，公式的证明．
(1)根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答．
(2)根据数形结合思想解答即可．
(3)根据面积的意义，证明即可掌握面积法是解题关键．
【详解】（1）解：根据题意，得平方差公式或，
故答案为：平方差公式或．
（2）解：主要思想是数形结合思想．
（3）解：由题意可知：
长方形的长，宽，
∴，
∵长方形的长，宽，
∴长方形与长方形的面积相等，
∴=+
=，
∵=，=，
∴

．
22．(1)“三线合一”或等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，SAS或边角边或两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
(2)是，理由见解析
(3)
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）根据等腰三角形三线合一，以及判定三角形全等，进行作答即可；
（2）等边对等角得到，，角平分线得到，进而推出，即可得出结论；
（3）证明，得到，求出的长即可．
掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
【详解】（1）解：依据1： “三线合一”．依据2：．
故答案为：三线合一，；
（2）是
∵是的平分线，
∴，
由材料可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（3）由材料可知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
在和中
，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】本题考查了矩形的折叠，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，特殊角的直角三角形的应用．
（1）根据矩形的性质和折叠的性质，得，，根据平行线性质，得到，继而得到，得到，证明即可．
（2）根据折叠的性质，矩形的性质，得到，，结合,得证可得．
（3）利用，，勾股定理分割计算面积后求和即可．
【详解】(1)∵矩形，根据题意，得
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故．
(2)根据题意，得，
，
∵，
∴，
∴．
（3）根据题意，得，，
∴．
∵，
∴，，
∴，，
根据(2)得，，
∴，
∴．