初中人教版17.2 勾股定理的逆定理一等奖教学课件ppt

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1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.（重点）
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）
1.勾股定理的内容是什么?
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长.
① a＝3，b＝4；② a＝2.5，b＝6；③ a＝4，b＝7.5.
思考：以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你知道为什么吗？
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，满足关系：32+42=52，那么围成的三角形是直角三角形.  
画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？
换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试.
由上面的几个例子，我们猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
命题1.如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.命题2.如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
我们看到，命题2与命题1的题设、结论正好相反.我们把像这样的两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.例如，如果把命题1当成原命题，那么命题2是原命题1的逆命题.
说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确.1.原命题：同位角相等，两直线平行.( ) 逆命题：______________________.( )2.原命题：对顶角相等.( ) 逆命题：_________________.( )3.原命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.( ) 逆命题：__________________________________________________.( )4.原命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等.( ) 逆命题：_______________________________________________.( )
两直线平行，同位角相等
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
在图(1)中，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2,要证△ABC一定是直角三角形.
我们可以先画一个两条直角边长分别为a，b的Rt△A′B′C′如图(2)，如果△ABC与Rt△A′B′C′全等，那么△ABC就是一个直角三角形.
已知△ABC，BC=a，AC=b，AB=c，且a2+b2=c2.求证：△ABC是直角三角形.
证明：作Rt△A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°.根据勾股定理，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2=c2∴ A′B′=c在△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS)∴ ∠C=∠C′=90°即△ABC是直角三角形.
勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
例1.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
【点睛】根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25等等.
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如：3，4，5；6，8，10；9，12，15；12，16，20…
若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，是判断△ABC的形状.
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
【点睛】已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5，即 a2+b2=c2.∴ △ABC是直角三角形.
例2.若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
解：∵a+b=4,ab=1,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又∵c2=14,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.
解：AF⊥EF.理由如下：设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
1.下列各组数中，是勾股数的( )A.0.3，0.4，0.5 B.9，16，25C.5，12，13 D.10，15，182.下面三角形中是直角三角形的有( )①三角形三内角之比为1:2:3;②三角形三内角之比为3:4:5;③三角形三边之比为1:2:3;④三角形三边之比为3:4:5.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列命题中，逆命题为真命题的是( )A.全等三角形的对应角相等 B.等角对等边C.若a=b，则|a|=|b| D.若ac2等腰三角形或直角三角形
如果a=0，b=0，那么a+b=0
8.说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等.
解：(1)逆命题：内错角相等，两条直线平行，此命题成立；(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，此命题不成立；(3)逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形，此命题不成立.
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.