湖北省襄阳市襄州区张家集镇中心学校2022-2023学年八年级下学期4月月考数学试题

这是一份湖北省襄阳市襄州区张家集镇中心学校2022-2023学年八年级下学期4月月考数学试题，共17页。试卷主要包含了下列计算正确的是，下列运算正确的是，下列各式不成立的是，八米等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．5m+5n＝5mn
C．（﹣mn2）3＝﹣m3n6D． m2•m4＝m8
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．（﹣2x）3＝﹣8x3D．a9÷a3＝a3（a≠0）
3．已知1＜a＜3，那么化简代数式﹣的结果是（ ）
A．5﹣2aB．2a﹣5C．﹣3D．3
4．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．
利用有理化因式，可以得到如下结论：
①；
②设有理数a，b满足，则a+b＝6；
③；
④已知，则；
⑤．
以上结论正确的有（ ）
A．①③④B．①③⑤C．①②④D．②③④
5．下列各式不成立的是（ ）
A．B．＝
C．D．
6．若|a﹣2|+b2+4b+4+＝0，则﹣﹣的值是（ ）
A．2﹣B．4C．1D．8
7．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，3，B．9，16，25C．2，2，4D．10，24，28
8．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时梯足B到墙底端O的距离为0.7米，若梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将外移（ ）米．
A．1.5B．0.9C．0.8D．0.4
9．以直角三角形的各边为边分别向外作正方形（如图1），再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．四边形ABCD的面积B．四边形DCEG的面积
C．四边形HGFP的面积D．△GEF的面积
10．八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为8m；（BD⊥CE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17m；③松松身高AB为1.6m．若松松同学想使风筝沿CD方向下降9m，则他应该往回收线（ ）米．
A．7B．8C．5.4D．6.6
二．填空题（共5小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连接AF，CD．设点D运动时间为t秒．当△ABF是等腰三角形时，则t＝ 秒．
12．已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 ．
13．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝5，对角线AC⊥CD，则线段CD的长为 ．
14．若2x﹣1＝，则x2﹣x＝ ．
15．已知，，则a2﹣b2＝ ．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．先化简，再求值：，其中a＝2，b＝3．
18．如图，已知△ABC中AB＝AC，BC＝15，D是AC上一点，且CD＝9，BD＝12．
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求AB的长．
20．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB＝90°，AC＝40m，BC＝30m．线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为1000元/m，问：当水渠的造价最低时，CD长为多少米？最低造价是多少元？
21．已知a、b满足．
（1）求a、b的值；
（2）若a、b是某直角三角形的两条边的长，求此直角三角形的面积．
22．证明下面是三角形中位线定理添加辅助线的方法，请你完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
已知：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．
求证：DE∥BC且．
证明：如图，延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b（k≠0）经过点A（7，0）和点C（3，4），直线y2＝mx（m≠0）经过原点O和点C．
（1）求直线y1＝kx+b（k≠0）和直线y2＝mx（m≠0）的解析式；
（2）点D是射线OA上一动点，点O关于点D的对称点为点E，过D点作DG⊥x轴，交直线OC于点G，以DE，DG为邻边作矩形DEFG．
①当点F落在直线AC上时，求出OD的长；
②当△OAF为等腰三角形时．直接写出点D的坐标．
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


评卷人
得 分


评卷人
得 分


2023年下学期襄州区张家集中学四月份月考检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．5m+5n＝5mn
C．（﹣mn2）3＝﹣m3n6D． m2•m4＝m8
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．2﹣＝，故此选项不合题意；
B．5m+5n无法合并，故此选项不合题意；
C．（﹣mn2）3＝﹣m3n6，故此选项符合题意；
D．m2•m4＝m6，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式和整式的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．（﹣2x）3＝﹣8x3D．a9÷a3＝a3（a≠0）
【分析】利用负整数指数幂的意义、二次根式的乘除法法则、积的乘方法则逐个计算得结论．
【解答】解：A．（）﹣2＝（3﹣1）﹣2＝9≠﹣，故选项A运算错误；
B．2×＝2×2＝4≠3，故选项B运算错误；
C．（﹣2x）3＝﹣8x3，故选项C运算正确；
D．a9÷a3＝a6≠a3，故选项D运算错误．
故选：C．
【点评】本题考查了整式、二次根式的运算，掌握负整数指数幂、二次根式的乘除法法则、积的乘方法则是解决本题的关键．
3．已知1＜a＜3，那么化简代数式﹣的结果是（ ）
A．5﹣2aB．2a﹣5C．﹣3D．3
【分析】先把被开方数分解因式，再化简求值．
【解答】解：∵1＜a＜3，
∴a﹣1＞0，a﹣3＜0，
∴﹣
＝|a﹣1|﹣|a﹣4|
＝a﹣1+a﹣4
＝2a﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
4．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．
利用有理化因式，可以得到如下结论：
①；
②设有理数a，b满足，则a+b＝6；
③；
④已知，则；
⑤．
以上结论正确的有（ ）
A．①③④B．①③⑤C．①②④D．②③④
【分析】利用有理化因式进行变形计算后即可判断．
【解答】解：①，故正确；
②，
∴a+b＝﹣6，b﹣a＝4，故错误；
③，，
∵，
∴，故正确；
④∵＝（43﹣x）﹣（11﹣x）＝32，而，
∴，故错误；
⑤＝＝＝＝，故正确；
正确的有①③⑤．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，再二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5．下列各式不成立的是（ ）
A．B．＝
C．D．
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．
【解答】解：A、﹣＝3﹣＝，A选项成立，不符合题意；
B、＝÷，B选项成立，不符合题意；
C、＝＝，C选项不成立，符合题意；
D、＝＝﹣，D选项成立，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
6．若|a﹣2|+b2+4b+4+＝0，则﹣﹣的值是（ ）
A．2﹣B．4C．1D．8
【分析】通过因式分解把|a﹣2|+b2+4b+4+＝0化为|a﹣2|+（b+2）2+＝0，再根据非负数的性质求得a、b、c，进而代值计算原式便可．
【解答】解：∵|a﹣2|+b2+4b+4+＝0，
∴|a﹣2|+（b+2）2+＝0，
∴a﹣2＝0，b+2＝0，c﹣＝0，
∴a＝2，b＝﹣2，c＝，
∴﹣﹣＝2﹣＝2﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，关键是根据非负数性质求得a、b、c．
7．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，3，B．9，16，25C．2，2，4D．10，24，28
【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、，能作为直角三角形三边长，符合题意；
B、92+162≠252，不能作为直角三角形三边长，不符合题意；
C、22+22≠42，不能作为直角三角形三边长，不符合题意；
D、102+242≠282，不能作为直角三角形三边长，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
8．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时梯足B到墙底端O的距离为0.7米，若梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将外移（ ）米．
A．1.5B．0.9C．0.8D．0.4
【分析】在Rt△ABO中，根据勾股定理即可求AO的长度，再求得OD的长度，在Rt△ODC中，利用勾股定理可求得OC的长度，据此即可求解．
【解答】解；在Rt△ABO中，已知AB＝2.5米，OB＝0.7米，
则（米），
∵AD＝0.4米，
∴OD＝2米，
∵在Rt△ODC中，AB＝CD＝2.5米，
∴（米），
∴BC＝OC﹣OB＝1.5﹣0.7＝0.8（米），
∴梯足向外移动了0.8米．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求OC的长度是解题的关键．
9．以直角三角形的各边为边分别向外作正方形（如图1），再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．四边形ABCD的面积B．四边形DCEG的面积
C．四边形HGFP的面积D．△GEF的面积
【分析】如图1，设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，如图2，设四边形ABCD的面积为S1，四边形DCEG的面积为S2，△GEF的面积为S3，四边形HGFP的面积为S4．S4+S阴影＝（c﹣a），S3+S4＝b，把b＝c﹣a代入即可得到结论．
【解答】解：如图1，设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，
如图2，四边形ABCD的面积为S1，四边形DCEG的面积为S2，△GEF的面积为S3，四边形HGFP的面积为S4．
∵S4+S阴影＝（c﹣a），S3+S4＝b，
∵c＝a+b，
∴b＝c﹣a，
∴S4+S阴影＝S3+S4，
∴S3＝S阴影，
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出S3，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为8m；（BD⊥CE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17m；③松松身高AB为1.6m．若松松同学想使风筝沿CD方向下降9m，则他应该往回收线（ ）米．
A．7B．8C．5.4D．6.6
【分析】由勾股定理求出CD的长，再由勾股定理求出BM的长，即可解决问题．
【解答】解：∵BD⊥CE，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△CDB中，由勾股定理得：CD＝＝＝15（m），
设风筝沿CD方向下降9m至点M，连接BM，如图，
则CM＝9m，
∴DM＝CD﹣CM＝15﹣9＝6（m），
∴BM＝＝＝10（m），
∴BC﹣BM＝17﹣10＝7（m），
即松松同学应该往回收线7米，
故选：A．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出CD的长是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连接AF，CD．设点D运动时间为t秒．当△ABF是等腰三角形时，则t＝ 秒．
【分析】先根据勾股定理求出BC，再分FA＝FB、AF＝AB、BF＝AB三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，
由勾股定理得：，
当FA＝FB时，DF⊥AB，
∴，
∴t＝10÷2＝5；
当AF＝AB＝20时，∠ACB＝90°，
则BF＝2BC＝24，
∴，即，
解得：，
由勾股定理得：，
∴；
当BF＝AB＝20时，
∵BF＝20，BC＝12，
∴CF＝BF﹣BC＝8，
由勾股定理得：，
∵BF＝BA，FD⊥AB，AC⊥BF，
∴DF＝AC＝16，
∴，
∴t＝8÷2＝4；
综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为5或或4，
故答案为：5或或4．
【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
12．已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 ．
【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
【解答】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则x＝＝4；
②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则x＝．
综上所述，第三边的长为4或．
故答案为：4或．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
13．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝5，对角线AC⊥CD，则线段CD的长为 ．
【分析】先作BE⊥AC于点E，然后根据AAS证明△BAE≌△ADC，从而可以得到AE＝CD，再根据勾股定理即可得到CD的长．
【解答】解：作BE⊥AC于点E，如图所示，
则∠BEA＝90°，
∵AB＝BC＝AD＝5，
∴点E为AC的中点，
∴AE＝CE，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠D＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°，
∴∠BAE＝∠D，
又∵AB＝AD，∠BEA＝∠ACD＝90°，
∴△BAE≌△ADC（AAS），
∴AE＝DC，
∴AC＝2AE＝2CD，
设CD＝x，则AC＝2x，
∵AD＝5，∠ACD＝90°，
∴x2+（2x）2＝52，
解得x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去），
即CD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．若2x﹣1＝，则x2﹣x＝ ．
【分析】根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案．
【解答】解：∵2x﹣1＝，
∴（2x﹣1）2＝3
∴4x2﹣4x+1＝3
∴4（x2﹣x）＝2
∴x2﹣x＝
故答案为：
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
15．已知，，则a2﹣b2＝ ．
【分析】将a与b代入所求式子中，利用完全平方公式化简，合并即可得到结果．
【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，
∴a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝（2++2﹣）[2+﹣（2﹣）]
＝4×2
＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练平方差公式及二次根式运算法则是解本题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）分别化简各二次根式，再计算加减法；
（2）分别化简各二次根式，计算零次幂，再计算除法，最后计算加减法．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，化简二次根式，正确掌握二次根式混合运算的计算法则是解题的关键．
17．先化简，再求值：，其中a＝2，b＝3．
【分析】利用二次根式的性质化简，然后代入计算即可．
【解答】解：原式＝﹣2+3
＝2，
当a＝2，b＝3时，原式＝2．
【点评】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18．如图，已知△ABC中AB＝AC，BC＝15，D是AC上一点，且CD＝9，BD＝12．
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求AB的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣9，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BC＝15，CD＝9，BD＝12，
∴BC2＝152＝CD2+BD2＝92+122，
∴∠BDC＝90°，
故△BDC是直角三角形；
（2）解：设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣9，
∵∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴x2＝（x﹣9）2+122，
解得，
故．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
20．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB＝90°，AC＝40m，BC＝30m．线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为1000元/m，问：当水渠的造价最低时，CD长为多少米？最低造价是多少元？
【分析】当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低，根据已知条件可将CD的长求出，在Rt△ACD中运用勾股定理可将AD边求出．
【解答】解：当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低，
∵∠ACB＝90°，AC＝40米，BC＝30米，
∴AB＝＝＝50（米），
∵CD•AB＝AC•BC，即CD×50＝40×30，
∴CD＝24米，
∴24×1000＝24000（元），
答：当水渠的造价最低时，CD长为24米，最低造价是24000元．
【点评】此题考查勾股定理的应用，本题的关键是确定D点的位置，在运算过程中多次用到勾股定理．
21．已知a、b满足．
（1）求a、b的值；
（2）若a、b是某直角三角形的两条边的长，求此直角三角形的面积．
【分析】（1）将原等式转化为，然后利用非负性可得a、b的值；
（2）分a、b为直角边和b为斜边、a为直角边两种情况讨论．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
（2）当a、b为直角边时，
此直角三角形的面积为，
当b为斜边，a为直角边时，
另一直角边为，
此直角三角形的面积为：，
综上所述，此直角三角形的面积为或．
【点评】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，非负数的性质，勾股定理，二次根式的乘法，三角形的面积．运用分类讨论是解题的关键．
22．证明下面是三角形中位线定理添加辅助线的方法，请你完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
已知：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．
求证：DE∥BC且．
证明：如图，延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF．
【分析】证明△AED≌△CEF，推出CF＝AD＝BD，CF∥AB，得到四边形BDFC为平行四边形，得到DF∥BC，DF＝BC，即可得证．
【解答】证明：如图，延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF，
∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴AD＝BD，AE＝EC，
又∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴CF＝AD＝BD，∠EFC＝∠ADE，
∴CF∥AD，
∴四边形BDFC为平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∵，
∴DE∥BC且 ．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明四边形BDFC为平行四边形．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b（k≠0）经过点A（7，0）和点C（3，4），直线y2＝mx（m≠0）经过原点O和点C．
（1）求直线y1＝kx+b（k≠0）和直线y2＝mx（m≠0）的解析式；
（2）点D是射线OA上一动点，点O关于点D的对称点为点E，过D点作DG⊥x轴，交直线OC于点G，以DE，DG为邻边作矩形DEFG．
①当点F落在直线AC上时，求出OD的长；
②当△OAF为等腰三角形时．直接写出点D的坐标．
【分析】（1）将点A，C代入y1＝kx+b，求得k，b；将点C代入y2＝mx，求得m即可；
（2）①设点D坐标，表示出点F坐标，代入y1，进而求得结果；
②设点D坐标，表示出点F坐标，分三种情况：当OF＝AF时；当OF＝OA时，当AF＝OA＝7，列出方程求出m的值，从而得出结果．
【解答】解：（1）把A（7，0），C（3，4）代入y1＝kx+b得：
，
解得，
∴y1＝﹣x+7，
把C（3，4）代入y2＝mx得：
3m＝4，
解得m＝，
∴y2＝x；
（2）①设点D（a，0），则G（a，a），E（2a，0），
在y1＝﹣x+7中，令x＝2a得：y＝﹣2a+7，
∵点G和F的纵坐标相等，
∴﹣2a+7＝a，
∴a＝，
∴OD＝；
②设D（m，0），则F（2m，m），A（7，0），
当OF＝AF时，E是OA中点，
∴2×2m＝7，
∴m＝，
∴D （，0），
当OF＝OA时，
（2m）2+（m）2＝72，
∴m＝（负值已舍去），
∴D（，0），
当AF＝OA＝7时，
（2m﹣7）2+（m）2＝72，
解得m＝（负值已舍去），
∴D（，0），
综上所述：点D（，0）或（，0）或（，0）．
【点评】本题考查了一次函数及其图象性质，等腰三角形的分类和判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是设出点坐标，根据勾股定理列出方程．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/11 13:42:12；用户：数学1；邮箱：yjy201@xyh.cm；学号：22376883