四川省成都七中八一学校2022-2023学年八年级下学期4月月考数学试题

这是一份四川省成都七中八一学校2022-2023学年八年级下学期4月月考数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 卷（100 分）
一、选择题（本大题共8 个小题，每小题4 分，共32 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
2．在式子1a，2xyπ，3a2bc4，55+x，x2x中，分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（）
A．a﹣b＜0 B．2a﹣1＜2b﹣1 C．ac2＞bc2 D．a3>b3
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x+5）＝x2+5x B．(x+1)(x+1)＝x2﹣1
C．x2﹣4x+4＝(x﹣2)2 D．x2+2x+4＝(x+1)2+3
5．已知点A（2m﹣3，﹣1）在第四象限，则m 的取值范围是（ ）
A. m<32 B. m>−32 C. m<−32 D. m>32
6．若关于x 的方程有增根，则a 的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
7．如图，△ABC 中，∠B＝35°，∠BAC＝70°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转α 度（0＜α＜180）后得到△ADE，点E 恰好落在BC 上，则α＝（）
A．10°B．20°C．30°D．40°
8．某校学生会组织七年级和八年级共60 名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15 个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20 个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1000 个，至少需要多少名八年级学生参加活动？设需要x 名八年级学生参加活动，则下列不等式正确的是（ ）
A．15（60﹣x）+20x≥1000 B．15（60﹣x）+20x＞1000
C．15x+20（60﹣x）≥1000 D．15x+20（60﹣x）＞1000
二、填空题（本大题共5 个小题，每小题4 分，共20 分）
9．函数y=x+1x−3的自变量x 的取值范围为 ．
10．如果点P（x，y）关于原点的对称点为（2，3），则x+y＝ ．
11．若x2+mx+n 分解因式的结果是（x﹣2）（x+1），则m+n 的值为 ．
12. 如图直线y＝kx+b 与直线y＝2x﹣4 相交于点C（3，2），写出关于x 的不等式2x﹣4＞kx+b 的解集 ．
13．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为 ．
三、解答题（本大题共5 个小题，共48 分）
14．计算（本小题满分12 分，每题4 分）
（1）解不等式组；（2）因式分解：2mx2﹣4mxy+2my2；
（3）解方程：.
15．（本题满分6 分）化简求值x−1x2+2x+1÷(1−2x+1) 其中x=3−1.
16. (本小题满分8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2.
17．（本题满分10 分）
学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20 张甲种办公桌和15 张乙种办公桌共花费17000 元，购买10 张甲种办公桌比购买5 张乙种办公桌多花费1000 元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元；
（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40 张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3 倍，且总费用不超过18400 元，那么有几种购买方案？
18. (本题满分12分)
己知，点P为等边三角形ABC所在平面内一点.
(1) 如图①，点P在△ABC外，∠BPC=120°， ∠ABP=90°， 求证: BP=CP;
(2)如图②，点P在△ABC内，AP=3，BP=4，CP=5， 求∠APB的度数;
(3)如图③，点P在△ABC内，且∠BPC=120°，M为BC上一点，连接PM，若
∠BPM+∠APC=180°，求证: BM=CM.
B 卷（共50 分）
一、填空题（本大题共5 个小题，每小题4 分，共20 分）
19．若实数x 满足x2﹣3x﹣1＝0，则的值为 ．
20．若关于x 的分式方程x−ax−1+1=x2x−2解为正数，则a 的取值范围是 ．
21．如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3 次才停止，则x 的取值范围是 ．
22.对任意一个正整数m,如果m=k(k+1),其中k是正整数，则称m为“矩数”，k 为m的最佳拆分点.已知正整数P和q为“矩数”，将“矩数”P与q的差记为D(p,q)=p-q，其中p>q，D(p,q)>0. 若，s“矩数”P的最佳拆分点为t,“矩数”9的最佳拆分点为s，当D(p,q)=30时，则st的最大值为 ．
23.如图，在△ABC中，AB= AC=2 ，∠BAC= 120°，将△ABC绕点A按逆时针方向
旋转90°，得到△AEF,连接BE,FC并分别延长交于点M，则BM的长为 ．
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
24. (本题满分8分)
小福同学在课后探究学习中遇到题目:分解因式: x(x+1)(x+ 2)(x+3)+1.小福同学经过几次尝试后发现如下做法:
因式分解：x（x+1）（x+2）（x+3）+1
解：原式=[x（x+3）][（x+1）（x+2）]+1
=（x2+3x）（x2+3x+2）+1
设x2+3x=M
∴原式=M（M+2）+1
=M2+2M+1
=（M+1）2
=（x2+3x+1）2
小福和组内同学分享学习心得时总结：
当有四个一次式连续相乘时，我选择了每两个一次式分别乘积；经过我多次尝试，我发现选择哪两个一次式相乘也很重要，我最后选择了“常数之和相等”的分组相乘方式，之后在乘积中有整体出现，选择了换元完成分解．
另外，我发现在划横线那个步骤时，有时也会选择“常数乘积相等”的分组相乘方式．
小福同学分享了解题方法和学习心得之后很多同学有了自己的思考和理解，纷纷跃跃欲试
请你结合自己的思考和理解完成下列变式训练：
（1）分解因式：（x-1）（x+1）（x+2）（x+4）+9；
（2）分解因式：（x-6）（x-2）（x+1）（x+3）+9x2．
25. (本题满分10分).某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5 月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销.售额为100万元，今年销售额只有90万元.
(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元?
(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购买这两款汽车共15辆，有几种进货方案?
(3)在(2)的前提下，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路,公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元(026．（本题满分12 分）如图，已知在直角△ABC中，∠ABC=90°，E为AC边上一点，连接BE，过E作ED⊥AC，交BC边于点D．
（1）如图1，连接AD，若CE=2，BD=3 ，∠C=45°，求△ADE的面积；
（2）如图2，作∠ABC的角平分线交AC于点F，连接DF，若∠BDE=∠CDF，求证：AE+DE= BE；
（3）如图3，若∠C=30°，将△BCE沿BE折叠，得到△BEF，且BF与AC交于点G，连接AD，DF，点E在AC边上运动的过程中，当BF⊥AC时，直接写出的值．
参考答案
1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．C 8．A
9．x≥-1且x≠3 10．-5 11．-3 12．x＞3 13．19
14．（1）解x+4＞-2x+1得：x＞-1，
解得：x≤4，
故原不等式组的解集是-1＜x≤4；
（2）2m（x-y）2；
（3）方程两边都乘（x+1）（x-1），得：（x+1）2-4=x2-1，
解得x=1，
检验：当x=1时，（x+1）（x-1）=0，
故原分式方程无解.
15．解：x−1x2+2x+1÷1−2x+1=1x+1
当x=3−1时，
原式=3
16．（1）如图所示△A1B1C1即为所求
（2）如图所示△A2B2C2即为所求．
17．（1）设甲种办公桌每张x元, 乙种办公桌每张y元,
则有，解得x=400,y=600
答：甲种办公桌每张400元, 乙种办公桌每张600元.
（2）设购买甲种办公桌x张，则购买乙种办公桌（40-x）张,
，解得
当x=28时，购买乙种办公桌40-28=12张；
当x=29时，购买乙种办公桌40-29=11张；
当x=30时，购买乙种办公桌40-30=10张.
18．(1) ∵∠BPC=120°，∴∠PBC+∠PCB=60°. ∵∠ABP=90°，△ABC是等边三角形，
∴∠PBC=30°，∴∠PCB=30°. ∴BP=CP.
(2) 如图，以AP为边作等边△APD，连接BD．
则∠BAD=60°-∠BAP=∠CAP，
在△ADB和△APC中，
AD=AP．∠BAD=∠CAP，AB=AC
∴△ADB≌△APC（SAS）
∴BD=PC=5，又PD=AP=3，BP=4
∴BP2+PD2=42+32=25=BD2
∴∠BPD=90°
∴∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°．
（3）将△ABP绕A逆时针旋60°，得到△ACE，点P的对应点为E，连接PE，
同理可知，△EAP是等边三角形，
∴∠APE=∠AEP=60°，
∵∠APC+∠BPM=180°，
∴∠APE+∠EPC+∠BPM=180°，
∴∠EPC+∠BPM=120°，
又∠BPC=∠CPM+∠BPM=120°，
∴∠FPC=∠CPD，
过点C作CN∥BP，交PM的延长线于点N，则∠PBC=∠NCB，
∵∠BPC=120°，∴∠PBC+∠PCB=180°-120°=60°，
又∠ACP+∠PCB=60°，∠ABP+∠PBC=60°，
∴∠ACP=∠PBC，
由旋转得，∠ACE=∠ABP，BP=CE，
∴∠ACE+∠ACP=∠PBC+∠ABP=60°，
又∠NCB+∠BCP=∠PBC+∠BCP=60°，
∴∠PCE=∠PCN，
在△PCE和△PCN中，，
∴△PCE≌△PCN（ASA），
∴CE=CN，
∴BP=CN，
在△BPM和△CNM中，，
∴△BPM≌△CNM（AAS），
∴BM=CM．
19．11 20．a>−1
21．2＜x≤4 22． 23．2+23
24．（1）（x-1）（x+1）（x+2）（x+4）+9
=[（x-1）（x+4）][（x+1）（x+2）]+9
=（x2+3x-4）（x2+3x+2）+9
设x2+3x=M，
∴原式=（M-4）（M+2）+9
=M2-2M-8+9
=M2-2M+1
=（M-1）2
=（x2+3x-1）2；
（2）（x-6）（x-2）（x+1）（x+3）+9x2
=[（x-6）（x+1）][（x-2）（x+3）]+9x2
=（x2-5x-6）（x2+x-6）+9x2
设x2-6=M，
∴原式=（M-5x）（M+x）+9x2
=M2-5x2-4Mx+9x2
=M2-4Mx+4x2
=（M-2x）2
=（x2-6-2x）2
=（x2-2x-6）2．
25. （1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：，
解得：m=9．
经检验，m=9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车x辆．则：
99≤7.5x+6（15-x）≤105．
解得：6≤x≤10．
∵x的正整数解为6，7，8，9，10，
∴共有5种进货方案；
（3）购进6辆A款汽车，9辆B款汽车时，对公司更有利．
设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：
W=(9-7.5)x+(8-6-a)(15-x)= (a−12)x−15a+30．
∵0∴当−12当026. （1）解：∵ED⊥AC，∠C=45°，
∴∠EDC=∠C=45°，
∴CE=DE=2，
∴CD＝2，
∵BD＝3，
∴BC＝BD+CD＝5，
在直角△ABC中，∠ABC=90°，∠C=45°，
∴∠BAC=∠C=45°，
∴AB＝BC＝5，
∴AC＝10，
∴AE=AC-CE=8，S△ADE＝×AE⋅DE＝×8×2＝8；
（2）证明：如图2中，过点B作BT⊥BE交ED的延长线于点T．
∵∠BDE=∠CDF，
∴∠CDE=∠BDF，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=∠EDC+∠C=90°，
∴∠EDC=∠A，
∴∠A=∠BDF，
∵∠ABF=∠DBF，BF=BF，
∴△ABF≌△DBF（SAS），
∴AB=BD，
∵∠ABC=∠EBT=90°，
∴∠ABE=∠DBT，
∵∠BDT=∠CDE=∠A，
∴△ABE≌△DBT（ASA），
∴BE=BT，AE=DT，
∴AE+DE=DT+DE=ET，
∴△BET是等腰直角三角形，
∴ET＝BE，
∴AE+ED＝BE；
（3）如图，
∵，
∴，
当时，，
∵将沿折叠，得到，
∴，
又，
∴，
∴是等边三角形，
设，则，
∴，
∴，
∴，
在中，，
如图，连接，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．